田春苗 季澤平 阿勇嘎 張學(xué)煒 唐術(shù)鋒 郭世杰

（內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)機械工程學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010051）

數(shù)控機床作為現(xiàn)代加工制造業(yè)的基礎(chǔ)，其精度對制造業(yè)的發(fā)展起到至關(guān)重要的作用[1-2]。影響機床精度主要因素中幾何誤差與熱誤差的占比最大[3-5]。諸多研究表明，熱誤差是影響機床精度的主要因素之一，其占機床總誤差約40%～70%[6-7]，因此減小熱誤差的影響是提高機床精度的主要途徑之一。隨著科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，機床的制造和設(shè)計工藝以及裝配精度得到提高，使得其他因素對精度影響大幅降低。同時，高端制造業(yè)的發(fā)展對機床的精度提出更高的要求，隨著機床精度等級的提高，熱誤差的影響更加突出[8-9]。而主軸是數(shù)控機床核心部件，主軸在高速轉(zhuǎn)動時會產(chǎn)生大量熱，引起機床零部件熱變形，產(chǎn)生加工誤差。因此對主軸熱誤差預(yù)測模型的研究具有重要意義。

近幾年，國內(nèi)外學(xué)者在機床熱特性、熱誤差建模及補償方面做了大量研究[10-11]。熱誤差預(yù)測模型的準(zhǔn)確性是熱誤差補償?shù)幕A(chǔ)。針對熱誤差建模的研究已經(jīng)成為該領(lǐng)域的研究重點。為此，學(xué)者們使用大量方法建立熱誤差預(yù)測模型，其中包括最小二乘法、多元線性回歸、灰色系統(tǒng)理論、支持向量機（SVM）、時間序列模型、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（CNN）和循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（RNN）等，這些方法均能構(gòu)建溫度與熱誤差之間的非線性映射關(guān)系[12-19]。傳統(tǒng)建模方法主要包括多線線性回歸、最小二乘法等適用于結(jié)構(gòu)簡單精度等級較低的數(shù)控機床，但針對復(fù)雜結(jié)構(gòu)機床，傳統(tǒng)建模方法難以表征溫度與熱誤差之間的復(fù)雜關(guān)系，這使得機器學(xué)習(xí)等智能算法成為現(xiàn)今熱誤差建模的主要方法。SVM模型適合處理小樣本數(shù)據(jù)，但其核函數(shù)的選擇較為重要，且核函數(shù)選擇直接影響模型的預(yù)測精度，針對此缺點學(xué)者提出使用雞群（CSO）、遺傳算法（GA）等智能優(yōu)化算法對SVM模型進行優(yōu)化[20-21]。時間序列模型擁有較高的泛化能力，但與其他網(wǎng)絡(luò)模型相比，預(yù)測精度欠佳[22]。循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行建模時難以處理長期依賴問題，為此學(xué)者使用RNN網(wǎng)絡(luò)的變種長短記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（LSTM）進行建模，深度學(xué)習(xí)LSTM預(yù)測模型擁有更高的預(yù)測精度，但網(wǎng)絡(luò)需要更深層的學(xué)習(xí)，因此模型需要更長的訓(xùn)練時間[23]。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模是應(yīng)用最廣泛的建模方法之一，但其易陷于局部最優(yōu)，且網(wǎng)絡(luò)權(quán)值閾值以及隱含層節(jié)點數(shù)等需要依據(jù)經(jīng)驗人為確定，缺乏理論支撐，針對此缺陷學(xué)者們使用優(yōu)化算法來改進BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，如：GA-BP模型[24]、PSO-BP模型[25]以及ACO-BP[26]模型等。ACO優(yōu)化算法是Marco Dorigo等人提出的一種用來尋找優(yōu)化路徑的概率型算法[27]。通過模擬蟻群覓食來搜尋全局最優(yōu)解，蟻群算法采用正反饋機制，具有較強的全局尋優(yōu)能力。然而與其他優(yōu)化算法相同蟻群算法在進行全局尋優(yōu)的同時，網(wǎng)絡(luò)自身也存在易陷于局部最優(yōu)和收斂速度慢等缺陷。

針對以上問題，本文提出K-means++算法對溫度變量進行聚類分組，并結(jié)合Person、Sperman和Kendall3種相關(guān)性分析方法確定最佳熱敏感點；提出一種融合算法，利用GA算法初始化蟻群信息素并生成新的種群，進而解決蟻群算法收斂速度慢和易陷于局部最優(yōu)的缺陷，建立基于GA-ACO-BP網(wǎng)絡(luò)的數(shù)控機床主軸熱誤差預(yù)測模型。使用GA-ACOBP網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建溫度變量與主軸熱伸長誤差、主軸熱偏移誤差和主軸熱傾斜誤差間的非線性映射關(guān)系。依據(jù)實測數(shù)據(jù)，比較BP模型與GA-ACO-BP模型的預(yù)測能力。

1 熱誤差建模

1.1 基于 K-means++算法的溫度測點分組

通過K-means++算法對溫度變量進行聚類分組，再利用相關(guān)性分析計算每個溫度測點與熱誤差之間的相關(guān)系數(shù)，確定最佳熱敏感點，減小溫度測點個數(shù)，從而解決溫度測點間的多重共線性，以提高熱誤差預(yù)測模型的計算速度及預(yù)測精度。設(shè)T={T1,T2,···,Tn}，是待進行 K-means++聚類分析的全部溫度變量樣本，T中每個對象稱為樣本Ti(i=1, 2, ···,n)。

聚類算法具體流程如下：

（1）確定聚類數(shù)K

由于K-means++算法需要人為設(shè)置聚類個數(shù)K的值，K值直接影響聚類結(jié)果準(zhǔn)確性，本文采用手肘法計算誤差平方和(SSE)，確定最優(yōu)K值。

式中：p表示集群Ci中的所有點溫度數(shù)值；m表示每一類的聚類中心。

（2）選擇初始聚類中心

從溫度數(shù)據(jù)集中隨機選擇一個溫度測點作為初始聚類中心。

（3）計算溫度樣本中每個溫度數(shù)據(jù)到初始聚類中心Tu的歐氏距離D，為

式中：j=1, 2, ···,m(m為溫度向量中數(shù)據(jù)樣本的個數(shù))；Ti,j表示溫度向量Ti中的所有溫度數(shù)據(jù)；Tk,j表示初始聚類中心Tk中的所有溫度數(shù)據(jù)。

（4）增加距離最遠溫度向量作為下一個聚類中心的概率。

（5）重復(fù)步驟（3）和步驟（4），直至選出k個初始聚類中心。

（6）計算溫度向量到每個初始聚類中心的歐氏距離。

（7）將每一個溫度變量分配到歐氏距離最近的聚類中心的類簇中。得到k個類簇{C1,C2, ···,Ck}，在每一個簇中更新聚類中心。

式中：∣Cl∣表示各簇中溫度測點的個數(shù)，1≤l≤k；Ti表示各簇中第i個溫度測點，1≤l≤∣Cl∣。

（8）重復(fù)步驟（6）和步驟（7）直至聚類中心的位置不再發(fā)生改變。

1.2 溫度測點優(yōu)化

進行分組后，還需消除溫度變量之間的多重共線性。為此，本文在K-means++算法分組后，分別采用person、sperman和kendall這3種相關(guān)系數(shù)來確定溫度變量與熱誤差之間的相關(guān)程度，并在每一簇中選擇一個溫度測點作為熱敏感點。

依據(jù)上述K-means++聚類分組結(jié)果，計算全部溫度變量與熱誤差之間相關(guān)系數(shù)：

（1）person相關(guān)系數(shù)

式中：Ei表示熱誤差數(shù)據(jù)。

（2）sperman相關(guān)系數(shù)

式中：n是數(shù)據(jù)的數(shù)量；rg為數(shù)據(jù)的秩次。

（3）kendall相關(guān)系數(shù)

溫度變量和熱誤差變量T與E中包含的數(shù)據(jù)個數(shù)均為N，第i(1≤i≤N)個組合為 (Ti,Ei)，第j(1≤j≤N)組合為 (Tj,Ej)，若Ti＞Tj且Ei＞Ej，或Ti＜Tj且Ei＜Ej出現(xiàn)時，則稱第i個組合和第j個組合是一致的；若Ti＞Tj且Ei＜Ej， 或Ti＜Tj且Ei＞Ej出 現(xiàn)時 ，則稱兩組合不一致。kendall相關(guān)系數(shù)表達式為

式中：C和D分別表示一致和不一致組合的數(shù)量。

通過對溫度數(shù)據(jù)和熱誤差數(shù)據(jù)的相關(guān)性分析，可確定各聚類分組中的最佳溫度測點。將各分組中相關(guān)性最大的溫度變量作為熱誤差預(yù)測模型的輸入，避免了溫度變量之間的多重共線性。

1.3 BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模

BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種多層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，具有極強的非線性映射能力，是目前應(yīng)用最廣泛的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型之一[28]，具體建模過程如下：

依據(jù)Kolmogorov定理，確定BP網(wǎng)絡(luò)隱含層節(jié)點數(shù)，最大迭代步數(shù)，學(xué)習(xí)效率。初始化網(wǎng)絡(luò)權(quán)值閾值。

計算隱含層輸出

式中：g(x)為激活函數(shù)sigmoid；n為輸入層節(jié)點數(shù)；wij為輸入層到隱含層的權(quán)值；aj為輸入層到隱含層的閾值。

計算輸出層的輸出

式中：l為隱含層節(jié)點數(shù)；wjk為隱含層到輸出層的權(quán)值；bk為隱含層到輸出層的閾值。

計算輸出誤差

式中：m為輸出層節(jié)點數(shù)Yk為期望輸出。

更新權(quán)重

式中：η為學(xué)習(xí)速率；ek=Yk-Ok。

更新閾值

1.4 GA-ACO-BP 熱誤差建模

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有較強的非線性映射、自學(xué)習(xí)和自適應(yīng)能力，但BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同樣擁有易陷于局部最優(yōu)解，收斂速度慢等缺點。針對其缺點，構(gòu)建具有全局尋優(yōu)能力和高收斂精度的GA-ACO算法，以提升BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測精度。

GA-ACO-BP算法實現(xiàn)的原理是：將蟻群覓食路徑賦值為BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值和閾值，通過螞蟻覓食路線來表征待優(yōu)化問題的可行解，蟻群中所有個體的覓食路徑構(gòu)成待優(yōu)化問題的解空間，在較短路徑上的螞蟻所釋放的信息素更濃，選擇這條路徑的螞蟻也逐漸增多，最終整個蟻群在正反饋的作用下選擇此路徑，這條路徑所對應(yīng)的解便是最優(yōu)的權(quán)值和閾值。在蟻群進行搜索時，通過遺傳算法對信息素濃的蟻群個體進行交叉變異處理，隨機生成的蟻群加快了算法的收斂速度，提高了蟻群算法尋優(yōu)的準(zhǔn)確性?；贕A-ACO-BP的熱誤差建模預(yù)測流程圖如圖1所示。

圖1 基于 GA-ACO 優(yōu)化 BP 網(wǎng)絡(luò)流程圖

基于GA-ACO-BP的熱誤差預(yù)測模型具體步驟如下：

（1）初始化網(wǎng)絡(luò)。包括BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入層到隱含層的權(quán)值wij和閾值aj；隱含層到輸出層的權(quán)值wjk和閾值bk。將全部待優(yōu)化參數(shù)記作p1,p2, ···,pn，針對任意參數(shù)，隨機選取N個非零值，組成集合Ipi(1≤i≤n)，集合Ipi中元素的信息素為τj(Ipi)(t)=C，(1≤j≤N)，蟻群算法中螞蟻數(shù)量為S，目標(biāo)函數(shù)誤差為E。

（2）所有螞蟻進行搜索，依據(jù)概率公式（13）在集合Ipi中隨機選擇路徑，全部螞蟻完成路徑搜索為止。在集合Ipi中，螞蟻α(α=1, 2, ···,S)任意挑選第j個元素的概率為

（3）構(gòu)造解空間，更新信息素。從蟻群中隨機挑選h個螞蟻，h=[r·S]，r為動態(tài)變化選取率。最優(yōu)解為信息素濃度最大的螞蟻個體MAX(τj(Ipi))，螞蟻i下次迭代行走的路徑為

蟻群遍歷完所有元素后，使用Ant-Cycle更新集合Ipi中每個元素的信息素，得

式中：ρ為信息素揮發(fā)系數(shù)；Δβjk(Ipi)為螞蟻k本次迭代中在集合Ipi中第j個元素路徑的信息素[24]。

（4）使用遺傳算法對蟻群進行交叉變異操作。隨機選擇交叉點，對兩個染色體進行交叉處理，獲得兩個新的序列。依據(jù)變異概率，隨機確定變異個體和變異位置。

（5）依據(jù)適應(yīng)度函數(shù)F-FMeasure計算螞蟻個體適應(yīng)度，同時還需計算每個個體搜尋路徑的時間，若滿足最優(yōu)解條件，轉(zhuǎn)入步驟（6），反之轉(zhuǎn)入步驟（3）。

（6）將GA-ACO算法獲取的最優(yōu)權(quán)值閾值輸入至BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，通過公式（9）計算預(yù)測誤差的差值E。

（7）通過式（11）和式（12）更新BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值和閾值。

（8）若輸出結(jié)果滿足要求，得到最優(yōu)解算法結(jié)束，否則重復(fù)過程（2）～（7）。

2 實例分析

2.1 主軸熱誤差測量

本文以武漢高科機械生產(chǎn)的雙轉(zhuǎn)臺五軸加工中心GS200-i5-a為研究對象，依據(jù)ISO 230-3[29]標(biāo)準(zhǔn)對機床主軸熱誤差進行測量，并通過五點法辨識出主軸5項熱誤差，使用電渦流位移傳感器測量位移數(shù)據(jù)，傳感器遠離檢驗棒時，位移數(shù)據(jù)記為正，反之則記為負，傳感器布置位置如圖2所示。

圖2 五點法測量示意示意圖

機床關(guān)鍵測點溫度數(shù)據(jù)測量選用高精度磁吸式鉑熱電阻PT100溫度傳感器。傳感器分布位置如表1所示，主要包括軸承、電機外殼、冷卻液進出管、主軸基座以及環(huán)境溫度。基于紅外熱成像儀器檢測機床主軸溫度場，以確定主要熱敏感區(qū)域。

表1 溫度傳感器分布位置

其中溫度傳感器精度等級為A級，量程為-50～100 ℃。電渦流位移傳感器量程為2 mm，分辨率為 0.1 μm，工作溫度在-30 ～150 ℃。檢驗棒為φ20 mm×200 mm 的軸承鋼。五點法夾具選用 7075鋁合金整塊切割制成。

為了最大程度符合實際生產(chǎn)加工，分別設(shè)計3種不同轉(zhuǎn)速的實驗：低速實驗、中速實驗和高速實驗。實驗工況設(shè)計如表2所示。為避免隨機誤差的影響，每種工況分別進行3次實驗。

表2 試驗工況設(shè)計

2.2 測試結(jié)果與分析

以高速實驗中的一組試驗結(jié)果為例，溫度和位移數(shù)據(jù)的檢測結(jié)果如圖3～4所示。

由圖3可知，在主軸運行53 min時，冷卻液管處溫度傳感器數(shù)值突然下降，此時機床自動冷卻系統(tǒng)開始運行。在運行至200 min時達到熱平衡，溫度變化趨于平穩(wěn)。

圖3 溫度變化曲線

由圖4可知，熱效應(yīng)引起的位移量在300 min以后趨于平穩(wěn)狀態(tài)，相比溫度場達到穩(wěn)態(tài)時間稍有滯后。位移量變化曲線呈現(xiàn)為先增大再減小最后趨于平穩(wěn)的趨勢，位移量最大值出現(xiàn)在200 min，剛好此時達到熱穩(wěn)態(tài)，穩(wěn)態(tài)和非穩(wěn)態(tài)狀態(tài)下傳熱效率和接觸熱阻不同，導(dǎo)致位移量在溫度達到熱穩(wěn)態(tài)后出現(xiàn)一段下降趨勢，而后在趨于平衡。

圖4 主軸熱位移曲線

3 測點優(yōu)化及模型預(yù)測評價

3.1 溫度測點優(yōu)化

T={T1,T2, ···,Tn}，是待進行 K-means++聚類分析的全部溫度測點，其中n=10，聚類分組數(shù)由手肘法確定，SSE變化曲線如圖5所示，最大拐點出現(xiàn)在K=4處，因此最佳組數(shù)為4組。依據(jù)1.1小節(jié)聚類方法，將全部溫度測點分成(T1、T4、T6)、(T2、T3、T5)、(T7、T8、T9)和 (T10)這 4 組。計算全部溫度測點的相關(guān)系數(shù)，將各簇中相關(guān)系數(shù)最大的溫度測點作為最佳熱敏感點，各測點相關(guān)系數(shù)如表3所示。

表3 溫度測點相關(guān)系數(shù)

圖5 SSE 變化曲線

3.2 模型預(yù)測與評價

以圖3所示的數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練樣本，基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和GA-ACO-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對主軸熱伸長誤差、X向熱偏移誤差、Y向熱偏移誤差、X向熱傾斜誤差和Y向熱傾斜誤差五項熱誤差進行預(yù)測對比，如圖6所示，各模型預(yù)測殘差如圖7所示。

圖6 主軸熱誤差預(yù)測

圖7 預(yù)測殘差

以平均絕對誤差MAE、均方根誤差RMSE、平均絕對百分比誤差MAPE評價模型擬合優(yōu)度。擬合優(yōu)度參數(shù)如表4、表5所示。

表4 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合優(yōu)度

表5 GA-ACO-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合優(yōu)度

由圖6和圖7可知，GA-ACO-BP模型預(yù)測效果明顯優(yōu)于BP模型。經(jīng)過平均絕對誤差MAE、均方根誤差RMSE、平均絕對百分比誤差MAPE和殘差均值的對比，可以看出，本文提出的基于GAACO-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的數(shù)控機床主軸熱誤差預(yù)測模型具有更好的擬合優(yōu)度和更高的預(yù)測精度。

4 誤差實時補償過程

將3.1小節(jié)中優(yōu)化后的溫度熱敏感點作為誤差補償時的溫度采集點，通過PC端接受溫度數(shù)據(jù)，傳輸至已建立好的預(yù)測模型中，由計算機實時計算補償值，計算機通過以太網(wǎng)與數(shù)控系統(tǒng)進行實時通訊。同時在機床PLC中配置相應(yīng)個數(shù)的熱誤差補償模塊“TESPSEM”，如圖8所示。

圖8 PLC 中“TESPSEM”熱誤差補償模塊[30]

PLC中熱誤差補償模塊“TESPSEM”4組參數(shù)的說明如表6所示。

表6 “TESPSEM”模塊參數(shù)[30]

在進行補償前還需結(jié)合溫度傳感器采集溫度數(shù)據(jù)在數(shù)控系統(tǒng)中對各項補償參數(shù)進行設(shè)置。熱誤差補償是在插補周期內(nèi)進行的，即插補后補償。通過監(jiān)控程序來限制補償值大小，以免機床過載，再將其與插補輸出指令位置進行疊加[31]。補償?shù)牧鞒虉D如圖9所示。

圖9 熱誤差補償控制流程圖[31]

5 結(jié)語

本文提出了基于GA-ACO-BP網(wǎng)絡(luò)的主軸熱誤差預(yù)測模型，有效地解決了BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)收斂速度慢、易陷于局部最優(yōu)、預(yù)測精度低等缺陷。結(jié)果表明：K-means++算法與person、sperman和kendall分析相結(jié)合可有效發(fā)掘主軸溫度變量和熱誤差之間的相關(guān)性，降低了溫度測點間的多重共線性?；贕A算法初始化蟻群信息素，并通過交叉和隨機變異生成新的蟻群，解決了ACO算法的缺陷，改進后的ACO算法有效優(yōu)化了BP網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值和閾值，提高了熱誤差預(yù)測模型的精度和泛化能力。實驗對比結(jié)果顯示，GA-ACO-BP預(yù)測模型更適合確定主軸熱誤差的補償值。

熱誤差的精準(zhǔn)預(yù)測是實施補償?shù)那疤?，本文主要關(guān)注的研究內(nèi)容為主軸熱誤差的預(yù)測，后續(xù)的研究中，將在數(shù)控機床上進行實時誤差補償，進一步驗證該模型的可行性和魯棒性是下一步研究的工作重點。