甘肅省蘭州市榆中縣恩玲中學(xué)(730100) 張 科

江蘇省南京市金陵中學(xué)(210005) 郭建華

向量是溝通代數(shù)、幾何以及三角函數(shù)等知識的一種工具,在處理代數(shù)、幾何、三角等不同數(shù)學(xué)分支的問題中,向量起到了紐帶的作用,使得解題視角多維和方法多樣. 因此,在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,教師應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生思維,幫助學(xué)生形成批判性、創(chuàng)造性、敢質(zhì)疑的數(shù)學(xué)思維品質(zhì),達(dá)到能夠厘清數(shù)學(xué)知識的來龍去脈、建立數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系、把握數(shù)學(xué)本質(zhì)以及更深層次的應(yīng)用,不斷促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)和落實.

下面筆者對2021 年浙江卷高考數(shù)學(xué)第17 題從幾個不同的視角進(jìn)行了探究,以期拋磚引玉.

1 真題再現(xiàn)

題目 (2021 年高考浙江卷第17 題) 已知平面向量a,b,c(c ?=0)滿足|a|=1,|b|=2,a·b=0,(a-b)·c=0.記d在a,b方向上的投影分別為x,y,d-a在c方向上的投影為z. 則x2+y2+z2的最小值為.

2 試題分析

該填空題以學(xué)生最熟悉的平面向量為數(shù)學(xué)情境,考查了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想方法,體現(xiàn)新高考評價體系“四翼”的綜合性;測試的核心知識點是平面向量相關(guān)知識,最終轉(zhuǎn)化為多元變量最值問題,考查學(xué)生邏輯推理素養(yǎng);試題結(jié)構(gòu)美麗,把平面向量與多元最值問題綜合的如此美妙,考查學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng). 本題切入口寬,解法多樣,區(qū)分度高,能較好地甄別學(xué)生的思維水平和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng),是一道很好的壓軸題.

筆者立足數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng),培養(yǎng)學(xué)生提出問題的思維品質(zhì),對該題從多視角探索其解法做了一些探究和嘗試,現(xiàn)整理成文與讀者共饗.

3 解法探究

通過對此題多種解法的探究,不僅讓學(xué)生獲取問題的具體解法,而且還要在順應(yīng)學(xué)生思維發(fā)展規(guī)律的基礎(chǔ)上注重培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力,讓學(xué)生掌握本題的實質(zhì)是向量外皮下的不等式問題.

3.1 等價轉(zhuǎn)化,化生為熟

因為a·b=0,所以a⊥b,也注意到|a|=1,|b|=2,則建立直角坐標(biāo)系xOy,使得a= (1,0),b= (0,2),c= (m,n).因為(a-b)·c= 0, 所以m-2n= 0, 即m= 2n, 于是c= (2n,n)(n ?=0). 又因為d在a,b方向的投影分別為x,y,所以由向量投影的定義得d= (x,y). 而又d-a在c方向上的投影為z,所以

3.2 多維視角,拓展思維

視角1 消元視角,主客分明

評析 此方法從平面坐標(biāo)視角求解. 將平面向量問題轉(zhuǎn)化為點到直線的距離問題,即代數(shù)問題幾何化,利用點到直線的距離公式求出最值,提升學(xué)生邏輯推理和直觀想象素養(yǎng).

3.3 高階思維,以簡馭繁

視角8 空間視角,點到面距

評析 此方法利用空間坐標(biāo)法將平面向量問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題,通過學(xué)生空間幾何中求點到平面距離常用方法——等體積法求得點到平面的距離,培養(yǎng)學(xué)生的高階思維,促進(jìn)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

評析 此方法利用高等數(shù)學(xué)中的拉格朗日乘數(shù)法求解.Lagrange 乘數(shù)法是高等數(shù)學(xué)中求極(最)值非常重要的一種方法,在高考中借助高等數(shù)學(xué)背景考查高中數(shù)學(xué)知識越來越熱門,因此在解決多元函數(shù)最值時,巧妙地利用拉格朗日乘數(shù)法去解答,不僅可以簡馭繁,達(dá)到難題巧解的目的,而且還能培養(yǎng)學(xué)生的高階思維,提升學(xué)生的“四能”,具有事半功倍之效.

3.4 變式訓(xùn)練,舉一反三

設(shè)計意圖 通過變式訓(xùn)練再次讓學(xué)生感受同一數(shù)學(xué)模型的解答過程,提高學(xué)生的解題效率,培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維,讓學(xué)生加深對同一問題的理解,并且把握問題的本質(zhì),真正做到“舉一反三,觸類旁通”,促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的提升.

3.5 歸納總結(jié),揭示本質(zhì)

一道填空題從不同視角得到多種解法,不由得感慨?dāng)?shù)學(xué)世界的優(yōu)美和精彩是其它任何一門學(xué)科所無法比擬! 數(shù)學(xué)中解題樂趣是其他人所無法感受到的! 一道題不同的視角會有不同的認(rèn)識,不同的認(rèn)識會產(chǎn)生不同的解法. 下面歸納總結(jié)多元最值問題的一般解題思路:

4 教學(xué)啟示

在數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生從“解題”到“解決問題”, 從“做題”到“素養(yǎng)”的提升, 筆者認(rèn)為應(yīng)做到以下“三點”:

(1)以學(xué)生參與為落腳點,打造高效課堂

古希臘哲學(xué)家柏拉圖曾說:“寓學(xué)習(xí)于游戲”. 在教學(xué)過程中,教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生立足基礎(chǔ),關(guān)注細(xì)節(jié),注重通性通法,適當(dāng)延伸拓展,鼓勵學(xué)生進(jìn)行一題多解,在多種解法的比較中,讓不同層次的學(xué)生選擇適合自己實際的解法,尊重學(xué)生的差異,讓不同層次的學(xué)生參與到數(shù)學(xué)問題解決的活動中,寓學(xué)于樂. 上海市特級教師文衛(wèi)星先生提出“數(shù)學(xué)生態(tài)課堂”: 即數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要落實“兩個尊重”: 尊重數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展過程,尊重學(xué)生認(rèn)知規(guī)律;同時要把握“兩個度”: 思想(哲學(xué)或數(shù)學(xué))高度與文化厚度.[3]因此,在習(xí)題課中,教師盡量尊重學(xué)生,充分暴露學(xué)生思維的“卡殼”,同時要注重引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念、思想、方法的本質(zhì)的探索和理解,實現(xiàn)學(xué)生在課堂上思維的發(fā)散性和邏輯的縝密性最大化,優(yōu)化教學(xué),最終真正打造高效課堂.

(2)以微專題課為生長點,提升思維品質(zhì)

基于學(xué)生的元認(rèn)知水平和“最近發(fā)展區(qū)”,以微專題形式展開教學(xué),引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)知識內(nèi)在聯(lián)系,突出核心概念的理解應(yīng)用,體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì),提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決新問題的能力,激發(fā)學(xué)生的問題意識,在教師的指引下讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察問題,用數(shù)學(xué)的思維思考問題,用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)問題,用數(shù)學(xué)的思想解決問題,進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生批判性、創(chuàng)造性和敢質(zhì)疑的思維品質(zhì).

(3)以問題串教學(xué)為著力點,引領(lǐng)素養(yǎng)提升

廣東省名師李定平曾提出: 數(shù)學(xué)新知識的產(chǎn)生是為了解決問題的需要,是在問題解決的過程中進(jìn)行構(gòu)建的. 學(xué)生在問題解決的情境中形成數(shù)學(xué)知識, 不僅有助于知識的理解,而且還可以很好的領(lǐng)略數(shù)學(xué)的精神、思想、方法,同時,發(fā)現(xiàn)問題與自我解決問題的能力及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)也得到了提高.[4]就正如數(shù)學(xué)家哈爾莫斯所說:“問題是數(shù)學(xué)的心臟”. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中,通過問題串不僅有利于數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)基本思想方法的梳理與搭建,突破教學(xué)重難點,夯實學(xué)生“四基”,進(jìn)而提升“四能”,還有助于開展深度學(xué)習(xí)、培養(yǎng)學(xué)生高階思維,提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).