廣州市華南師范大學(xué)附屬中學(xué)(510630) 周建鋒

一、題目及解析

題目 (2022 年新高考Ⅰ卷第22 題) 已知函數(shù)f(x) =ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.

(1)求a;

(2)證明: 存在直線y=b, 其與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個(gè)不同的交點(diǎn),并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

1. 第(1)問(wèn)解析

2. 第(2)問(wèn)解析

第(2)問(wèn)不同于前些年常考的雙變量不等式的函數(shù)證明題,問(wèn)法別出心裁,需要仔細(xì)分析,結(jié)合所學(xué)知識(shí)求解,沒(méi)有現(xiàn)成的模式. 這符合新高考重點(diǎn)考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力的宗旨,對(duì)學(xué)生是個(gè)不小的考驗(yàn).

分析1 在第(1)問(wèn)的基礎(chǔ)上,容易發(fā)現(xiàn)f(x),g(x)兩個(gè)函數(shù)有唯一的交點(diǎn),而且除了有相同的最小值,圖象兩端向上均可趨于正無(wú)窮大,因而有唯一的b ＞1,使得y=b與兩條曲線y=f(x),y=g(x)有三個(gè)不同的交點(diǎn),這一點(diǎn)證明并不困難. 其次,要證明從左到右三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列,這是本題真正困難的地方.

不過(guò), 注意到x ＞0 時(shí),g(x)=f(lnx),就容易發(fā)現(xiàn)y=b與y=g(x) 的兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)x2,x3對(duì)應(yīng)的lnx2,lnx3正好也是y=b與y=f(x)的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo), 因而可以和x1,x2對(duì)應(yīng)起來(lái).

圖1

反思1 證法1 是用了同構(gòu)的思想, 觀察f(x),g(x)的結(jié)構(gòu), 只要將f(x) 中的x替換成lnx, 即為函數(shù)g(x) 的結(jié)構(gòu). 類(lèi)似的同構(gòu)思想在函數(shù)中較為常見(jiàn), 如x1ex1=x2lnx2=lnx2·elnx2,左端的x1與右端的lnx2均可作為函數(shù)f(x)=xex的自變量的值.

反思2 這種構(gòu)造的方法是從我們熟悉的極值點(diǎn)偏移入手而得來(lái),學(xué)生容易想到,利用f(x2)=g(x2)作為橋梁,尋求證明的路徑. 這其中,仍然要用到f(x2) =g(x2) =f(lnx2),但要注意lnx2?=x2, 所以只能lnx2=x1, 由此即可證明t1=lnt2.

分析3 談到交點(diǎn)問(wèn)題, 是一個(gè)典型的圖形問(wèn)題, 因而數(shù)形結(jié)合是一個(gè)常見(jiàn)的思考方向. 將y=b與y=f(x)的交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為y=x+b與y= ex的交點(diǎn). 同理,將y=b與y=g(x)的交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為y=x-b與y= lnx的交點(diǎn). 此時(shí)發(fā)現(xiàn)兩對(duì)曲線及交點(diǎn)關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng),四個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成矩形,利用對(duì)角線互相平分即可證明.

證法3 由前所證,x1＜0＜x2＜1＜ x3, 存在唯一的實(shí)數(shù)b ＞1, 使得b= ex1-x1=ex2-x2=x2-lnx2=x3-lnx3,即y=x+b與y= ex交于橫坐標(biāo)為x1,x2的兩點(diǎn),y=x-b與y= lnx交于橫坐標(biāo)為x2,x3的兩點(diǎn).

圖2

反思3 數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想,在本題中巧妙地利用y=x+b,y=ex及y=x-b,y=lnx關(guān)于y=x的對(duì)稱(chēng),得到ABCD為矩形,所以對(duì)角線互相平分,對(duì)角線中點(diǎn)橫坐標(biāo)相等,進(jìn)而證明了x1,x2,x3成等差數(shù)列. 用數(shù)形結(jié)合方法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),要注意在圖形基礎(chǔ)上加強(qiáng)邏輯推理,將圖形的感性認(rèn)識(shí)上升為理性認(rèn)識(shí).

二、新高考帶來(lái)的啟示

今年全國(guó)高考數(shù)學(xué)Ⅰ卷被稱(chēng)為近十年來(lái)難度最大的一套卷,由本卷的壓軸題可見(jiàn)一斑. 明年將是廣東新教材實(shí)施后的第一年高考,我們應(yīng)該注意什么呢?

1. 重視教考銜接. 新高考強(qiáng)調(diào)考查“一核四層四翼”,“一核”即“立德樹(shù)人、服務(wù)選拔、導(dǎo)向教學(xué)”,“四層”即“必備知識(shí)、關(guān)鍵能力、學(xué)科素養(yǎng)、核心價(jià)值”,“四翼”即“基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性”. 總的來(lái)說(shuō),就是要讓學(xué)生真正學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題,平常的教學(xué)中要全面落實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),拋棄“應(yīng)試教育”、“題海戰(zhàn)術(shù)”的陳舊思想. 以本題為例,學(xué)生之所以難以入手,根本的原因還是習(xí)慣了“熟悉”問(wèn)題的“熟練”解法,遇到新問(wèn)題就不會(huì)尋找問(wèn)題的關(guān)鍵,不會(huì)從數(shù)學(xué)“通識(shí)”角度去理解問(wèn)題,尋找解決問(wèn)題的切入點(diǎn),而本題用到的“同構(gòu)”、“萬(wàn)能t法”、“數(shù)形結(jié)合”均是數(shù)學(xué)“通識(shí)”在具體問(wèn)題中的體現(xiàn).

2. 要提升學(xué)生的核心素養(yǎng),平常的教學(xué)多以學(xué)生為本.通過(guò)課堂上充分挖掘?qū)W生潛能,課后多引導(dǎo)學(xué)生研究性學(xué)習(xí),鍛煉學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力. 在新教材中,數(shù)學(xué)建模是一個(gè)重要模塊,要真正以此為契機(jī),開(kāi)展以此為平臺(tái)的學(xué)習(xí)模式.

3. 教師要充分領(lǐng)會(huì)新課標(biāo)、新教材、新高考,不斷提升自己,同時(shí)也給學(xué)生樹(shù)立終身學(xué)習(xí)的榜樣. 身教重于言傳,一個(gè)固步自封、不思進(jìn)取的教師,很難培養(yǎng)出積極向上、學(xué)業(yè)優(yōu)秀的學(xué)生. 教師的學(xué)習(xí)來(lái)于教材更要高于教材,才能給學(xué)生更好的引領(lǐng).