山東省鄒平雙語學(xué)校(256200) 姜坤崇

問題 過圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)上一定點P引兩條斜率之和(積) 為常數(shù)的直線分別交曲線于另一點A,B,那么直線AB有怎樣確定的性質(zhì)呢?

證明 (Ⅰ)當y0=0 時,如圖1,點P為E的左(或右)頂點,由橢圓及兩直線PA,PB關(guān)于x軸對稱知直線AB垂直于x軸(有定方向).

圖1

圖2

(Ⅰ)求C的方程;

(ⅠⅠ)點M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D為垂足. 證明: 存在定點Q,使得|DQ|為定值.的斜率是非零常數(shù).

圖3

圖4

由以上探討,可得一般性結(jié)論為: 過圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)上一定點P引兩條斜率之和(積)為常數(shù)的直線分別交圓錐曲線于另一點A,B,則直線AB有定方向或過一定點.