張君麗

(西北工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,西安 710129)

Hardy-Sobolev不等式可應(yīng)用于分析學(xué)的許多鄰域,如泛函分析,調(diào)和分析,概率論和偏微分方程等。在偏微分方程中,這些不等式常常被用來研究解的先驗(yàn)估計(jì),存在性,正則性以及漸近性等[1-8]。此外,具最佳常數(shù)的Hardy-Sobolev不等式也可用于研究一些非線性特征值問題[9]。對(duì)于Hardy-Sobolev不等式,有許多學(xué)者通過不同的方法在不同的函數(shù)空間上進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[10]在H-型群上通過Hardy不等式得到了Hardy-Sobolev不等式,Hardy不等式的研究還可參見文獻(xiàn)[11-16],在H-型群上的研究還可參見文獻(xiàn)[17]。文獻(xiàn)[18]在各項(xiàng)異性Heisenberg群上同樣通過Hardy型不等式得到了Hardy-Sobolev不等式。文獻(xiàn)[19]在Carnot群上通過Lp(1

注意到,文獻(xiàn)[10，17-19，21]中的Hardy-Sobolev不等式都是由Hardy(型)不等式推出的,而文獻(xiàn)[20]中的Hardy-Sobolev不等式則由Poincaré不等式推得。文獻(xiàn)[22-23]分別是在Baouendi-Grushin向量場和Herz-Morrey空間建立的Hardy-Sobolev不等式。文獻(xiàn)[24-26]均是在歐氏空間上建立的不等式,且文獻(xiàn)[25-26]中的不等式涉及了對(duì)數(shù)。從這些參考文獻(xiàn)中,可以觀察到研究Hardy-Sobolev不等式的難點(diǎn)在于找到合適的切入口,如Hardy(型)不等式和Poincaré不等式等。

文中從Heisenberg群上由次橢圓A- Laplace不等方程導(dǎo)出的Hardy型不等式出發(fā),得到Heisenberg群上兩類帶權(quán)對(duì)數(shù)型Hardy-Sobolev不等式?？紤]次橢圓A- Laplace不等方程

-ΔH,Au≥f(ξ),ξ∈Ω,

(1)

A(s)=B(|s|)s,s∈2n,

(2)

這里B為徑向函數(shù);并記

(3)

即可,其中非負(fù)函數(shù)ω滿足相容性條件(見下文的假設(shè)(H1)和(H1)0)。

(4)

(5)

(6)

關(guān)于N-函數(shù)的定義和性質(zhì)可參見文獻(xiàn)[27]。

文中所需假設(shè)如下:

(H1) 存在一個(gè)非負(fù)的C1((0,∞))函數(shù)Ξ:[0,∞)→[0,∞),滿足如下條件:

(i)存在某個(gè)連續(xù)函數(shù)ω:(0,∞)→(0,∞),使得不等式

ω(t)Ξ′(t)≤-cΞ(t),t>0

(7)

成立,其中c>0(與t無關(guān)),且Ξ(t)/ω(t)是非增的;

(ii)函數(shù)

s

(8)

在0的鄰域內(nèi)非增或有界;

(H1)0存在一個(gè)非負(fù)的屬于C1(u(Ω){0})的函數(shù)Ξ,其中u(Ω)={u(ξ):ξ∈Ω},滿足如下條件:

(i) 對(duì)所有的t∈u(Ω)(〗0}和使得Ξ(t)/ω(t)(t∈u(Ω))非增的連續(xù)函數(shù)ω:(0,∞)→(0,∞)成立不等式ω(t)Ξ′(t)≤-cΞ(t),其中c>0與t無關(guān).對(duì)t?u(Ω),記Ξ(t)≡0。

(ii)由式(8)給定的函數(shù)H(t)在0的鄰域非增或有界。

(H2) 存在δ∈,使得下式成立

(9)

定義

δ0:=inf{δ∈:f+

(10)

對(duì)假設(shè)條件(H1)和(H1)0,文中給出下列兩個(gè)注。

注1假設(shè)(H1)(i)蘊(yùn)含了Ξ在(0,∞)上是遞減的,這從式(7)看出。此外,為確保Ξ(t)/ω(t)是非增的,只需ω′(t)≥-c即可,其中c如式(7)中所示。

注2 可以看到假設(shè)(H1)0比(H1)弱,舉例如下:取

(11)

則u(Ω)?(0,σβ)。容易看到Ξ在(1,∞)上不是一個(gè)減函數(shù),從注1知Ξ不滿足(H1)(i)中的條件,但滿足條件(H1)0(i)中的條件。

文中主要結(jié)果包括Heisenberg群中如下兩類帶權(quán)對(duì)數(shù)型Hardy-Sobolev不等式:

(12)

其中

|ξ|β-2|z|)dξ,

這里ξ=(x,y,t),z=(x,y),

(13)

其中

|ξ|p(β-2)-β|z|plnα(2+β|ξ|β-2|z|)dξ,

lnα(2+|ξ|β|βln|ξ||-1)dξ,

1 預(yù)備知識(shí)

Heisenberg群Hn是指在2n+1上賦予群運(yùn)算所得的群,其中ξ=(z,t)=(x,y,t)=(x1,x2,…,xn,y1,y2,…yn,t);z=(x,y),x∈n,y∈n,t∈,n≥1;ξ′=(x′,y′,t′)∈2n+1。Heisenberg群上的齊次維數(shù)為Q=2n+2,左不變向量場為

i=1,2,…,n。

記Hn上的水平梯度為

?H=(X1,X2,…,Xn,Y1,Y2,…,Yn),

散度為

次Laplace ΔH為

對(duì)任意的ξ,ξ′∈Hn,Hn上的距離函數(shù)定義為

d(ξ,ξ′)={[(x-x′)2+(y-y′)2]2+

[t-t′-2(xy′-x′y)]2}1/4。

若ξ′=0,則

d(ξ)=d(ξ,0)={|z|4+t2}1/4,

其中 |z|=(x2+y2)1/2,

(14)

通常稱d(ξ)為齊次范數(shù)。

對(duì)d=d(ξ)>0,容易計(jì)算出

(15)

(16)

(17)

關(guān)于Heisenberg群的更多細(xì)節(jié)見文獻(xiàn)[28]。

在Luxemburg范數(shù)

下是一個(gè)Banach空間。

類似于文獻(xiàn)[1]中定理4.1(歐氏空間上的Hardy型不等式)的證明,可得如下Heisenberg群上的結(jié)論:

(18)

則對(duì)每一個(gè)在Ω中有緊支集的Lipschitz函數(shù)ζ,成立

(19)

其中

(20)

(21)

(22)

2 主要結(jié)果的證明

為證明定理1,需要以下兩個(gè)引理。

(23)

其中

μ1(dξ)=

(24)

μ2(dξ)=ωp-1(u)lnα(2+ω(u))Ξ(u)χ{|?Hu|≠0}dξ,

(25)

(26)

證明利用引理1.1來證明。設(shè)0

所以

(27)

因?yàn)?/p>

所以式(6)中的

(28)

(29)

再注意到

因此,直接應(yīng)用引理1.1,即得式(22)。

在引理2.1的基礎(chǔ)上,取式(1)中的

|z|p|ξ|(β-2)(p-1)-2lnα(2+β|ξ|β-2|z|),

0<β<1,

則可以證明u=|ξ|β是式(1)的一個(gè)非負(fù)弱解,進(jìn)而有下列結(jié)論。

假設(shè)(H1)滿足,其中

(30)

則存在常數(shù)C>0使得對(duì)每一個(gè)在Ω中有緊支集的Lipschitz函數(shù)ζ有

(31)

其中

μ1(dξ)=

(32)

μ2(dξ)=Ξ(|ξ|β)ωp-1(|ξ|β)lnα(2+

ω(|ξ|β))dξ,

(33)

C見式(26)。

證明為了用引理2.1,文中來檢驗(yàn)假設(shè)(H0)和(H2)滿足。假設(shè)(H0)顯然滿足,下面驗(yàn)證假設(shè)(H2)。先證u=uβ(ξ)=|ξ|β是式(1)的一個(gè)非負(fù)弱解。注意到當(dāng)t>0時(shí),

令u=uβ(ξ)=|ξ|β,其中β>0。由式(16)和式(17)知

所以

?Hu=β|ξ|β-1?H|ξ|,

|?Hu|=β|ξ|β-2|z|,

ΔHu=divH(β|ξ|β-1?H|ξ|)

=β(β-1)|ξ|β-2|?H|ξ||2+

β|ξ|β-1ΔH|ξ|

=β(β-1)|ξ|β-4|z|2+

=β(2n+β)|ξ|β-4|z|2。

從而

=|?Hu|P-2lnα(2+|?Hu|)ΔHu

-|?Hu|P-2lnα(2+|?Hu|)

≥|?Hu|P-2lnα(2+|?Hu|)ΔHu·

|z|plnα(2+β|ξ|β-2|z|)=f。

因此,u=uβ(ξ)=|ξ|β是式(1)的一個(gè)非負(fù)弱解。

|z|plnα(2+β|ξ|β-2|z|)ω(u) +

δβp|ξ|p(β-2)|z|plnα(2+β|ξ|β-2|z|)

=βp|ξ|p(β-2)|z|plnα(2+β|ξ|β-2|z|)·

因此假設(shè)(H2)滿足。

現(xiàn)在引理2.1的條件滿足,于是應(yīng)用引理2.1得引理2.2成立。

定理1的證明令引理2.2中的Ξ(t)=t-c,c>0,ω(t)=t。顯然Ξ和ω在(0,∞)上都是正函數(shù),Ξ∈C1(0,∞),Ξω-1遞減,且

Ξ′(t)ω(t)=-ct-c=-cΞ(t)。

且當(dāng)p-1-c≥0時(shí),H(t)在0的鄰域內(nèi)是有界的;當(dāng)p-1-c<0時(shí),H(t)在0的鄰域內(nèi)遞減。因此假設(shè)(H1)成立。因?yàn)?/p>

所以引理2.2的條件滿足,因此應(yīng)用引理2.2得定理1成立。

注4將假設(shè)條件(H1)換成更弱的(H1)0,仍有相應(yīng)的引理1.1,引理2.1和引理2.2成立,證明是類似的,不再敘述。

從而取(H1)01) 中的c=1。

進(jìn)一步

容易計(jì)算出對(duì)充分小的t>0有

=ωp-1(t)lnα(2+ω(t))·

因?yàn)閷?duì)u=|ξ|β,有

所以存在δ∈[δ0,c)=[δ0,1)。從而滿足假設(shè)(H1)0的引理2.2的條件滿足,因此應(yīng)用引理2.2得定理2成立。

3 結(jié) 論

1) 文中從Heisenberg群上次橢圓A-Laplace不等方程-ΔH,Au≥f(ξ),ξ∈Ω出發(fā),推導(dǎo)Heisenberg群上兩類帶權(quán)對(duì)數(shù)型Hardy-Sobolev不等式。

2) 在假設(shè)條件(H0),(H1)和(H2)下,利用A-Laplace不等方程導(dǎo)出一個(gè)Hardy型不等式,通過取滿足假設(shè)(H0),(H1)和(H2)的函數(shù),進(jìn)行一系列的計(jì)算和估計(jì)便得第一類帶權(quán)對(duì)數(shù)型Hardy-Sobolev不等式,即定理1。

3) 將假設(shè)條件(H1)換成更弱的(H1)0,同樣可得Hardy型不等式成立,通過取滿足假設(shè)(H0),(H1)0和(H2)的函數(shù),進(jìn)行一系列的計(jì)算和估計(jì)便得第二類帶權(quán)對(duì)數(shù)型Hardy-Sobolev不等式,即定理2。