劉洪慧,劉亮,李明華,東曉,孫清超

(大連理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,遼寧大連 116024)

航空發(fā)動機(jī)裝配質(zhì)量是保證航空發(fā)動機(jī)整機(jī)性能的重要因素,其中轉(zhuǎn)子不平衡量過大是引起的不平衡力是影響整機(jī)振動的關(guān)鍵因素之一。而多級盤轉(zhuǎn)子裝配后的初始不平衡量過大,會給后續(xù)平衡工藝帶來困難,同時在轉(zhuǎn)子出現(xiàn)故障時會產(chǎn)生更大的振動,所以在裝配過程中控制初始不平衡量的大小十分重要。

國內(nèi)外很多學(xué)者對此進(jìn)行了研究,李常有等[1]通過振動信號和不平衡響應(yīng)信號進(jìn)行不平衡量的預(yù)測。張冬梅等[2]和紀(jì)福森[3]通過改進(jìn)平衡工藝和分步平衡精度控制,有效降低了整機(jī)振動。隨著研究深入,大家通過圓度儀圓柱度儀測量的跳動數(shù)據(jù)進(jìn)行誤差分析,Whitney等[4-5]建立了基于齊次坐標(biāo)變換的公差表示方法。文獻(xiàn)[6-10]通過多級轉(zhuǎn)子空間的矢量投影特征實(shí)現(xiàn)多級轉(zhuǎn)子直線裝配誤差傳遞的分析,文獻(xiàn)[11-12]結(jié)合偏心偏斜預(yù)測方法采用小位移旋量通過齊次坐標(biāo)變換建立了轉(zhuǎn)子裝配精度預(yù)測模型。優(yōu)化方面,曹國茂[13]和李立新等[14]分別利用Powell法和遺傳算法對多級盤轉(zhuǎn)子裝配相位進(jìn)行優(yōu)化,有效降低了不平衡量引起的力和力矩。吳法勇等[15-17]通過分析多級盤轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)同心度、垂直度與不平衡量的堆疊機(jī)理及裝配參數(shù)對不平衡量的影響關(guān)系進(jìn)行雙目標(biāo)優(yōu)化,極大降低了裝配后的初始不平衡量。

目前對裝配不平衡量的分析中存在一定不足。沒有考慮實(shí)際回轉(zhuǎn)軸線的位置,裝配體空間位姿表達(dá)不夠清楚,對各種不平衡量的分析計算不夠清晰,很少考慮位姿引起的偶不平衡量,很少區(qū)分裝配后轉(zhuǎn)子整體的靜、偶不平衡量情況,優(yōu)化過程沒有考慮各零件質(zhì)心分布情況。

本文使用齊次坐標(biāo)變換,根據(jù)回轉(zhuǎn)軸線的位置確定轉(zhuǎn)子的空間位姿,分析了轉(zhuǎn)子裝配后的初始靜、偶不平衡量及質(zhì)心分布情況,得到了多級盤轉(zhuǎn)子裝配不平衡量預(yù)測模型,然后介紹了一種基于預(yù)測模型以初始靜、偶不平衡量及質(zhì)心分布為優(yōu)化目標(biāo)的多目標(biāo)優(yōu)化方法。

1 不平衡量預(yù)測模型

轉(zhuǎn)子在設(shè)計上一般都使其相對于回轉(zhuǎn)軸線完全對稱,但是由于加工、裝配等一系列因素,裝配后的轉(zhuǎn)子總不能夠?qū)崿F(xiàn)動力上的完全對稱,也就是說存在一定的不平衡量,這種不平衡量一般稱作初始不平衡量。由于不平衡量影響因素較為復(fù)雜,通常通過平衡機(jī)旋轉(zhuǎn)試驗(yàn)(動平衡)來測量,而本文通過實(shí)驗(yàn)測試的零件端面跳動及徑向跳動數(shù)據(jù),以及零件自身的質(zhì)量、轉(zhuǎn)動慣量等因素計算預(yù)測轉(zhuǎn)子的初始不平衡量。

1.1 單件靜、偶不平衡量

所有的回轉(zhuǎn)體的不平衡量都能表示成靜不平衡量和偶不平衡量疊加的形式,如圖1所示,其中質(zhì)心的偏移形成靜不平衡量,零件的偏斜,即基準(zhǔn)軸線與回轉(zhuǎn)軸線的夾角形成偶不平衡量。

圖1 不平衡量類型

靜不平衡量[18-19]:靜不平衡量等于不平衡質(zhì)量與該質(zhì)量中心(質(zhì)心)到回轉(zhuǎn)軸線距離的乘積,方向與質(zhì)心相位方向相同。

U=e·m

(1)

偶不平衡量[18-19]:力偶不平衡是由兩個大小相等、方向相反的不平衡慣性力所引起的,力偶不平衡量的大小可以表示為

M=mra

(2)

式中:m為不平衡力偶中質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量;r為質(zhì)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)軸的距離;a為兩質(zhì)點(diǎn)垂直旋轉(zhuǎn)軸平面的距離。由于這些參數(shù)難以求出,這里使用下面的方法進(jìn)行計算。

圖2 單件偶不平衡量計算

毛榮寶[20]對圓柱體偶不平衡量計算,這里對普通回轉(zhuǎn)體由位姿引起的不平衡量進(jìn)行推導(dǎo)。應(yīng)用等效動力系統(tǒng)方法, 用7個質(zhì)點(diǎn)等效原系統(tǒng),回轉(zhuǎn)體繞回轉(zhuǎn)軸線一周的情況完全相同,設(shè)一周4個點(diǎn)的質(zhì)量和距離分別是m1和a;理想回轉(zhuǎn)軸線上的兩個質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量和距離分別設(shè)為m2、b和m3、c;中心點(diǎn)質(zhì)量為m0;各軸轉(zhuǎn)動慣量為Ix、Iy、Iz。使Y軸和Z軸在回轉(zhuǎn)軸線與實(shí)際慣性軸線去掉靜不平衡量后所組成的平面內(nèi),X軸垂直于該平面。

根據(jù)偏斜角θ可以求得力偶距m0,進(jìn)而獲得偶不平衡量大小為

(3)

偶不平衡量方向與去掉靜不平衡量后的實(shí)際慣性軸線相對回轉(zhuǎn)軸線的相位相同。

1.2 裝配體幾何精度計算

描述裝配體空間位姿的方法有很多,本文采用齊次坐標(biāo)變換的方法[11]來描述,即用一個4×4的矩陣來表示坐標(biāo)的變換,即

(4)

單件:對于單件來說可以使用上下兩結(jié)合面及上下止口圓心連線來表示。通過止口處徑向跳動的擬合獲得圓心位置;通過結(jié)合面端面跳動的擬合獲得平面位置。為了更清晰的表示零件,這里通過平移變換使下圓心O1與基準(zhǔn)坐標(biāo)系原點(diǎn)重合,通過旋轉(zhuǎn)變換使下平面與基準(zhǔn)XOY平面重合,這樣就可以通過表示上零件原點(diǎn)及平面的空間位姿表示這個零件。單件的表征方法如圖3所示。

圖3 單件的表征方法

單個回轉(zhuǎn)體零件的空間位置和姿態(tài)可表示為

(5)

裝配體:裝配體的空間位姿可以表示成各個單件堆疊的形式,即通過任意一點(diǎn)局部坐標(biāo)系的位置都能由一級一級的旋轉(zhuǎn)與平移變換得到其對于整體基準(zhǔn)坐標(biāo)系的位置。在齊次坐標(biāo)變換中即左乘旋轉(zhuǎn)平移綜合變換矩陣。若以第一級轉(zhuǎn)子下端面坐標(biāo)系為整體基準(zhǔn)坐標(biāo)系可以表示為

(6)

若考慮裝配相位:相當(dāng)于從第二級轉(zhuǎn)子開始每級轉(zhuǎn)子多乘一個繞Z軸旋轉(zhuǎn)的變換矩陣,即

(7)

此時,第n級轉(zhuǎn)子質(zhì)心在基準(zhǔn)坐標(biāo)系(即第一級轉(zhuǎn)子下結(jié)合面坐標(biāo)系)下的位置為

(8)

若轉(zhuǎn)換到以回轉(zhuǎn)軸線為Z軸的坐標(biāo)系,則相當(dāng)于再左乘一個軸線變換矩陣M0,即

(9)

1.3 整體靜、偶不平衡量

整體靜、偶不平衡量影響裝配后振動的大小,能直接反映裝配體的裝配質(zhì)量。本文通過空間位姿、轉(zhuǎn)動慣量等因素對轉(zhuǎn)子裝配后的不平衡量進(jìn)行計算。

這里進(jìn)行如下假設(shè)[14]:

1) 部件的慣性軸為直線,且和單件兩結(jié)合面的圓心連線重合。

2) 部件的質(zhì)量分布均勻,即不考慮加工不均引起的不平衡量。

3) 部件是剛性裝配,兩件結(jié)合面處圓心重合。

通過1.1節(jié)的靜、偶不平衡量計算方法及1.2節(jié)中的裝配堆疊后的空間位姿可以得到每個單件的靜、偶不平衡量,進(jìn)而可以計算兩端軸承處的不平衡質(zhì)量矩，如圖4所示。

圖4 軸承處不平衡質(zhì)量矩計算

將每一級轉(zhuǎn)子靜不平衡量Dn矢量分解到左右軸承L、R處,然后疊加:

(10)

式中：an為轉(zhuǎn)子質(zhì)心距左端軸承的距離;l為兩軸承之間距離。

將每級轉(zhuǎn)子偶不平衡量C1矢量相加分解到兩軸承位置L,R得到質(zhì)量矩為:

(11)

則每個軸承處的質(zhì)量矩為:

EL=DL+CL

ER=DR+CR

(12)

左右兩軸承處的不平衡質(zhì)量矩,可以分解為方向相同的靜不平衡量,和大小相等方向相反的偶不平衡量,即對整個裝配體的靜、偶不平衡量。

圖5 整體不平衡量計算

對整體靜不平衡量表示為

DA=EL+ER

(13)

對整體偶不平衡量表示為:

CAL=(b-z)EL+(a-z)ER

CAR=(z-b)EL+(z-a)ER

(14)

式中:z表示整體質(zhì)心位置;a、b表示左右兩軸承位置;CAL和CAR大小相等方向相反,不平衡量相位使用其中CAR的方向表示。

1.4 質(zhì)心分布情況

質(zhì)心分布情況表示裝配體各個單件質(zhì)心位置的分布范圍,質(zhì)心分布情況不止通過影響裝配體不平衡量影響裝配質(zhì)量,同時在工作的過程中,由于質(zhì)心不在同一條直線會給各零件結(jié)合面帶來附加的彎矩,其次質(zhì)心分布更分散在轉(zhuǎn)子在工作過程中如果發(fā)生變形時還會引起較大的附加不平衡量。所以在裝配體不平衡量預(yù)測的同時,各單件的質(zhì)心分布情況也值得考慮分析。

參考國際標(biāo)準(zhǔn)ISO1101-2012[21]中同軸度誤差的定義方法,以基準(zhǔn)軸線(根據(jù)實(shí)際情況以回轉(zhuǎn)軸線為基準(zhǔn)軸線)為軸線,以包容各質(zhì)心截面提取質(zhì)心點(diǎn)的最小圓柱面半徑t表示質(zhì)心分布情況。

t=max(δ1,δ2,…,δn)

(15)

式中δ表示質(zhì)心到基準(zhǔn)軸線(回轉(zhuǎn)軸線)的距離。

至此就得到了完整的轉(zhuǎn)子不平衡量預(yù)測模型,即通過圓柱度儀測試的跳動數(shù)據(jù)等計算獲得在回轉(zhuǎn)軸線坐標(biāo)系下的單件靜、偶不平衡量,整個轉(zhuǎn)子裝配體的靜、偶不平衡量及質(zhì)心分布情況。

2 不平衡量多目標(biāo)優(yōu)化

多級盤轉(zhuǎn)子主要采用螺栓連接,上下連接件相對相位不同直接影響裝配后的初始不平衡量。進(jìn)行裝配相位的多目標(biāo)優(yōu)化可以找到滿足目標(biāo)要求的最佳裝配相位,實(shí)現(xiàn)裝配后各個因素綜合性能達(dá)到最佳,從而達(dá)到提高轉(zhuǎn)子裝配質(zhì)量的目的。

2.1 優(yōu)化目標(biāo)

評價多級盤轉(zhuǎn)子的裝配質(zhì)量的因素有很多,包括同心度、同軸度、不平衡量等,本文根據(jù)不平衡量預(yù)測模型選擇3個優(yōu)化目標(biāo),包括整體的靜不平衡量和偶不平衡量的大小,還有各零件質(zhì)心分布情況。三者都是影響裝配質(zhì)量的重要因素,這3個值越小裝配后的轉(zhuǎn)子質(zhì)量越高,所以目標(biāo)函數(shù)取它們的最小值,即:

(16)

式中:F1表示轉(zhuǎn)子整體靜不平衡量大小;F2表示轉(zhuǎn)子整體偶不平衡量大小;F3表示質(zhì)心分布情況;多級盤轉(zhuǎn)子共有n級;xi表示第i+1級轉(zhuǎn)子的安裝相位;R=[R1,R2,…,Rn]T表示轉(zhuǎn)子的基本數(shù)據(jù)包括質(zhì)量、高度、轉(zhuǎn)動慣量等;ε=[ε1,ε2,…,εn]T表示轉(zhuǎn)子的跳動數(shù)據(jù);函數(shù)f表示轉(zhuǎn)子裝配不平衡量預(yù)測模型的計算過程。

設(shè)計變量:多級盤轉(zhuǎn)子由多個單件逐級堆疊而成的,每一級轉(zhuǎn)子都有自己的安裝相位,所以以第一級轉(zhuǎn)子以外的單件裝配相位為設(shè)計變量,設(shè)計變量的總個數(shù)取決于多級轉(zhuǎn)子的級數(shù)。

x=[x1,x2,…,xn-1]T

(17)

式中n是轉(zhuǎn)子總級數(shù)。

約束條件:由于多級盤轉(zhuǎn)子主要由螺栓連接,所以裝配相位主要由連接上下單件的螺栓孔數(shù)量限制,若多級盤轉(zhuǎn)子第i級和第i+1級間的連接螺栓有mi個,則第i+1級的裝配相位取值為

(18)

可以看出設(shè)計變量為離散型變量,是裝配相位優(yōu)化的主要約束條件。綜上,得到的優(yōu)化方程為:

(19)

2.2 優(yōu)化方法

裝配相位優(yōu)化屬于離散變量的求極值問題,優(yōu)化算法有很多,這里選擇一種效率較高且結(jié)果可以滿足要求的一種多目標(biāo)遺傳算法(NSGA-Ⅱ),算法流程圖如圖6所示。

結(jié)果篩選:經(jīng)過遺傳算法NSGA-Ⅱ優(yōu)化獲得最終種群,由于3個優(yōu)化目標(biāo)沒有明確的優(yōu)劣關(guān)系,理論上最終的種群中所有值即為優(yōu)化非劣解組(即沒有任何一個個體的3個目標(biāo)值均小于另一個),這里為了得到唯一確定優(yōu)化結(jié)果,需要進(jìn)一步的篩選,即進(jìn)行優(yōu)中選優(yōu)。需要根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行選擇,本文的篩選函數(shù)設(shè)置為:

(20)

式中M表示結(jié)果中的中位數(shù)。

3 航空發(fā)動機(jī)高壓轉(zhuǎn)子算例

本文以某型航空發(fā)動機(jī)高壓模擬轉(zhuǎn)子(圖7)為例,對轉(zhuǎn)子裝配不平衡量進(jìn)行計算與優(yōu)化。該模擬轉(zhuǎn)子由前軸、一級盤、二級盤、三級盤、渦輪盤和后軸等6個單件組成,轉(zhuǎn)子相鄰兩級盤間采用法蘭盤連接、止口過盈配合定位、螺栓鎖緊的結(jié)構(gòu)形式。為更接近實(shí)際情況,這里假設(shè)整個轉(zhuǎn)子上下兩測量處徑向跳動擬合圓圓心連線為整體回轉(zhuǎn)軸線,即不平衡量計算及質(zhì)心分布的基準(zhǔn)軸線。

圖7 高壓模擬轉(zhuǎn)子模型

3.1 高壓轉(zhuǎn)子裝配不平衡量計算

首先通過測試的端面跳動、徑向跳動數(shù)據(jù)及測量位置和測量半徑等信息計算表示每個單件的4×4表征矩陣。經(jīng)過堆疊裝配,計算獲得每個結(jié)合面處擬合圓心的位置;根據(jù)假設(shè)求回轉(zhuǎn)軸線位置,即首末兩圓心連線。再旋轉(zhuǎn)裝配體使Z軸與回轉(zhuǎn)軸線重合,即在堆疊過程中,左乘矩陣M0。

(21)

進(jìn)而計算獲得各個單件裝配后在回轉(zhuǎn)軸線坐標(biāo)系的質(zhì)心坐標(biāo)，如表1所示。

表1 質(zhì)心位置

根據(jù)質(zhì)心坐標(biāo)及質(zhì)量數(shù)據(jù),計算得到靜不平衡量，如表2所示。

表2 各單件靜不平衡量

根據(jù)單件軸線與回轉(zhuǎn)軸線的位置及轉(zhuǎn)動慣量計算得到各單件裝配后的偶不平衡量，如表3所示。

表3 各單件偶不平衡量

根據(jù)各個單件靜、偶不平衡量,計算對于整個裝配體的靜、偶不平衡量，如表4所示。

表4 整個裝配體不平衡量

3.2 高壓轉(zhuǎn)子裝配不平衡量多目標(biāo)優(yōu)化

利用Python geatpy工具包進(jìn)行裝配相位優(yōu)化。種群規(guī)模200,算子變異概率0.1,算子交叉概率0.9,最大進(jìn)化代數(shù)1 000。

得到的最終非劣解組如表5所示。

表5 非劣解組

其中x1、x2、x3、x4、x5為第2～6級轉(zhuǎn)子單件的裝配相位,x1、x2、x3有36個裝配相位取,相鄰位置相差10°;x4有24個裝配相位,相鄰位置相差15°;x5有18個裝配相位,相鄰位置相差20°;F1為裝配后整體初始靜不平衡量大小,g·mm;F2為初始偶不平衡量大小,g·mm2;F3為單件質(zhì)心分布情況,mm。

經(jīng)過結(jié)果評價選出來的最優(yōu)結(jié)果如表6所示。

表6 優(yōu)化結(jié)果

與初始相位裝配和隨機(jī)裝配對比,結(jié)果如表7和圖8所示。

表7 結(jié)果對比

圖8 結(jié)果對比

由表7和圖8可知,優(yōu)化方案對比初始和隨機(jī)裝配明顯降低了裝配之后的靜不平衡量、偶不平衡量以及零件質(zhì)心分布范圍。其中對比初始狀態(tài)靜不平衡量降低至5.11%,偶不平衡量降低至7.09%,零件質(zhì)心分布范圍降低至14.29%,優(yōu)化效果明顯。

與不考慮質(zhì)心分布的優(yōu)化結(jié)果對比,結(jié)果如表8所示。

表8 兩優(yōu)化方法比較

兩種優(yōu)化方法的質(zhì)心分布范圍及延回轉(zhuǎn)軸線投影對比，如圖9所示。

圖9 質(zhì)心分布范圍及延回轉(zhuǎn)軸線投影對比

如圖9所示,考慮質(zhì)心分布優(yōu)化對比未考慮質(zhì)心分布的優(yōu)化相比,前者能明顯控制質(zhì)心分布范圍,但同時靜、偶不平衡量也隨之升高,工程實(shí)際中需要考慮具體情況選擇合適的優(yōu)化方法。若只關(guān)注裝配不平衡量引起的振動,則不考慮質(zhì)心分布;若考慮質(zhì)心位置引起的零件結(jié)合面彎矩和發(fā)生變形后的不平衡量情況,則可以選擇考慮質(zhì)心分布的優(yōu)化方法。

遺傳算法優(yōu)化結(jié)果與窮舉法優(yōu)化結(jié)果對比，如表9所示。

表9 遺傳算法與窮舉法對比

使用窮舉法最終獲得的非劣解一共103個,按照上述優(yōu)化方法的使用相同的最終篩選方式進(jìn)行選擇,最終結(jié)果見表9。靜、偶不平衡量及質(zhì)心分布范圍對比,兩種優(yōu)化方式優(yōu)化結(jié)果差距不大,而在所用時間方面,使用遺傳算法優(yōu)化效率提升明顯,說明此優(yōu)化方法準(zhǔn)確高效,有實(shí)際工程意義。

4 結(jié)論

1) 本文提出一種新的多級盤轉(zhuǎn)子裝配不平衡量預(yù)測模型,能有效的根據(jù)質(zhì)量、跳動數(shù)據(jù)等條件,預(yù)測轉(zhuǎn)子各個單件及裝配體在回轉(zhuǎn)軸線坐標(biāo)系下的初始靜、偶不平衡量。

2) 該模型在不平衡量預(yù)測的同時,可以根據(jù)實(shí)際回轉(zhuǎn)軸線位置的預(yù)測各個單件的質(zhì)心分布情況。

3) 基于轉(zhuǎn)子不平衡量預(yù)測模型以裝配相位為設(shè)計變量,以轉(zhuǎn)子裝配體初始靜、偶不平衡量及質(zhì)心分布為優(yōu)化目標(biāo)使用遺傳算法進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化。結(jié)果表明:可以有效降低裝配后的初始靜、偶不平衡量同時控制質(zhì)心分布情況,并與窮舉法優(yōu)化效果對比,證明該方法可以保證準(zhǔn)確度同時節(jié)約大量時間。