廣東 鄒范勇

《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》中物理教學(xué)的基本理念旨在培養(yǎng)適應(yīng)學(xué)生終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的核心素養(yǎng)，尤其強(qiáng)調(diào)推理論證、質(zhì)疑創(chuàng)新與合作交流等必備品格和關(guān)鍵能力。在高三復(fù)習(xí)備考中，筆者從一道高考模擬題出發(fā)，通過質(zhì)疑、論證和探索，對題設(shè)條件的自洽性進(jìn)行了討論和證明，并對題設(shè)問題進(jìn)行拓展，一方面可以鍛煉學(xué)生的科學(xué)思維，提升解決問題的能力；另一方面，可以使學(xué)生舉一反三，提高備考復(fù)習(xí)效率。

1.原題

(2021·貴州省新高考聯(lián)盟復(fù)習(xí)考·2)在水平直線上的A、B兩點(diǎn)分別固定有不等量點(diǎn)電荷，其中A處為正電荷，B處電荷電性未知，O1為A、B連線中點(diǎn)。由絕緣材料制成的光滑圓軌道的圓心O2在AB連線上A點(diǎn)左側(cè)，其軌道平面與AB在同一水平面內(nèi)，如圖1所示。在軌道上穿一帶正電的小球并置于軌道上的某一點(diǎn)P，給小球一沿軌道切線方向的初速度，小球恰好能沿軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，小球可視為質(zhì)點(diǎn)，下列說法正確的是

圖1

( )

A.B處點(diǎn)電荷帶負(fù)電，其電荷量小于A處電荷電荷量

B.小球沿軌道運(yùn)動(dòng)過程中，小球的電勢能不變

C.小球沿軌道運(yùn)動(dòng)過程中，小球受到的電場力大小不變

D.小球沿軌道運(yùn)動(dòng)過程中，軌道對小球的彈力大小不變

2.解析

由于小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，動(dòng)能不變，根據(jù)能量守恒定律，小球在圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)的電勢能也不變，則圓軌道一定處在電場的一個(gè)等勢面上，所以B選項(xiàng)正確。

圖2 不等量異種點(diǎn)電荷的電場線

由于電場強(qiáng)度的疊加，軌道上各處的場強(qiáng)大小不都相等，故小球受到的電場力大小會(huì)發(fā)生變化，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤。

【答案】B

3.質(zhì)疑

題設(shè)中的關(guān)鍵條件是小球能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知條件是否自洽呢？或者說，異種電荷是否真的存在一個(gè)球形的等勢面呢？如果存在，球心的位置在何處？結(jié)合題設(shè)條件，能否確定出B處小球的電荷量大小與A處小球的關(guān)系呢？

4.論證

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B連線為x軸，在水平面內(nèi)建立xAy坐標(biāo)系。設(shè)A處點(diǎn)電荷的電荷量為q1，B處點(diǎn)電荷的電荷量為q2，A、B距離為l，則A、B點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0，0)、(l，0)。在電勢為φ的等勢面上，設(shè)任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，其滿足如下方程(為便于討論，設(shè)靜電力常量為1)。

①

5.探索

應(yīng)用Geogebra軟件，可以方便地探索兩個(gè)點(diǎn)電荷的等勢面的分布情況。在Geogebra中建立滑動(dòng)條q1、q2、φ，在命令欄中輸入“q_1/(x2+y2)^0.5+q_2/[(x-l)2+y2]^0.5=φ”，打開“開啟跟蹤”選項(xiàng)，移動(dòng)滑動(dòng)條改變參數(shù)q1、q2、φ的值，得到如下等勢面的分布圖。

如圖3，4所示，同種點(diǎn)電荷的等勢面隨電勢升高連續(xù)變化，逐漸分化為兩個(gè)電勢相等且分別圍繞兩個(gè)點(diǎn)電荷的等勢面；而后隨電勢升高，等勢面越發(fā)趨近以點(diǎn)電荷為球心的球面，但由于另一個(gè)點(diǎn)電荷的存在而不會(huì)完全變成球形。

圖3 等量同種點(diǎn)電荷

圖4 不等量同種點(diǎn)電荷

如圖5，6所示，異種點(diǎn)電荷的等勢面，當(dāng)電勢為負(fù)值時(shí)，是圍繞q2的曲面，當(dāng)電勢為正值時(shí)，是圍繞q1的曲面。但當(dāng)電勢為零時(shí)，等勢面會(huì)發(fā)生突變，等量異種點(diǎn)電荷的零勢能面會(huì)突變?yōu)槠矫?，不等量異種點(diǎn)電荷的零勢能面會(huì)突變?yōu)榍蛎妗?/p>

圖5 等量異種點(diǎn)電荷

圖6 不等量異種點(diǎn)電荷

6.證明

不等量異種點(diǎn)電荷形成的電場中，必存在球形的零勢能面。

(1)代數(shù)證明

令q1=q，q2=-kq，則電勢φ=0時(shí)，方程①變?yōu)?/p>

②

k≠1時(shí)，化簡方程②得

③

(2)幾何證明

k=1時(shí)，方程②代表到點(diǎn)A和點(diǎn)B距離相等的點(diǎn)的集合，即兩點(diǎn)連線的中垂面。

圖7

不等量異種點(diǎn)電荷電場中的球形等勢面，其球心位置O和球面半徑R完全由兩個(gè)點(diǎn)電荷的電荷量比值k和相對距離l決定，此模型在高考模擬題、自主招生試題和競賽題中時(shí)有出現(xiàn)，下面結(jié)合兩個(gè)例題進(jìn)行拓展。

7.拓展

圖8

( )

A.q2恰好位于圓軌道的圓心處

B.q2帶正電，電荷量為2q

C.小球在B點(diǎn)受到的電場力最大

D.小球的電勢能保持不變

【答案】BD

【點(diǎn)評】本題很好的考查了兩個(gè)不等量異種點(diǎn)電荷電場的基本特點(diǎn)以及零勢能面的半徑與兩點(diǎn)電荷距離的關(guān)系，以小球在電場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)為突破口，可判斷小球的運(yùn)動(dòng)軌跡必與異種點(diǎn)電荷電場中的零勢能面重合。

【例2】(原創(chuàng))如圖9所示，兩個(gè)點(diǎn)電荷q1=+q、q2=-2q固定在絕緣光滑水平面上。質(zhì)量為m、電荷量為-q的帶電小球在水平面內(nèi)沿著半徑為R的光滑絕緣圓軌道內(nèi)側(cè)做完整的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知圓軌道圓心O在兩點(diǎn)電荷的連線上，靜電力常量為k，求：

圖9

(1)小球的速度至少為多少；

解得Q=q，所以需要在圓心O放置負(fù)電荷，其電荷量至少為q。

【點(diǎn)評】本題第(1)問結(jié)合質(zhì)點(diǎn)在軌道內(nèi)部做完整圓周運(yùn)動(dòng)的條件，考查了不等量異種點(diǎn)電荷零勢能面的基本特征；第(2)問中，利用在零勢能面的球心處放置點(diǎn)電荷只改變電勢高低，不改變等勢面形狀的特點(diǎn)，進(jìn)一步加深了對不等量異種點(diǎn)電荷電場中球形等勢面的理解。

8.結(jié)論