甘肅 高會(huì)平

《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》指出，“物理學(xué)基于觀察與實(shí)驗(yàn)，建構(gòu)物理模型，應(yīng)用數(shù)學(xué)等工具，通過科學(xué)推理和論證，形成系統(tǒng)的研究方法和理論體系”。在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》中指出，“向量理論具有深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)涵、豐富的物理背景。向量既是代數(shù)研究對(duì)象，也是幾何研究對(duì)象，是溝通幾何與代數(shù)的橋梁?？捎孟蛄空Z(yǔ)言、方法表述解決現(xiàn)實(shí)生活、數(shù)學(xué)和物理中的問題”。充分體現(xiàn)了數(shù)理是一家，也體現(xiàn)了向量在物理中的重要作用。

向量具有“數(shù)與形”兩方面的特性，其“數(shù)”是用一組有序?qū)崝?shù)對(duì)來表示向量的大小和方向；“形”是用一條有向線段來表示向量大小和方向。向量的概念、表示方法和運(yùn)算法則的確立，使幾何圖形得以量化，圖形之間的關(guān)系代數(shù)化，對(duì)于復(fù)雜的圖形，只要能把幾何圖形中的點(diǎn)、線、角等幾何元素用向量來表示，并研究這些向量之間的關(guān)系或利用這些向量之間的關(guān)系研究?jī)蓚€(gè)圖形之間的關(guān)系，再進(jìn)行向量的運(yùn)算，就能得到準(zhǔn)確的解，再把解轉(zhuǎn)化為幾何圖形間的關(guān)系。

矢量是高中物理中的一個(gè)重要的量，貫穿于整個(gè)物理學(xué)習(xí)的始終，無論是在對(duì)物體受力分析、運(yùn)動(dòng)過程的分析還是在電磁學(xué)中都有廣泛地使用。而物理中矢量的運(yùn)算法則和數(shù)學(xué)中向量運(yùn)算法則完全一樣，除此之外還會(huì)用到三角函數(shù)與解三角形等知識(shí)來進(jìn)行求解。

一、根據(jù)向量加法法則和解三角形知識(shí)研究矢量的合成與分解

1.向量加法法則有三角形法則和平行四邊形法則。

2.在△OAC中，∠OAC=π-α，根據(jù)余弦定理，有

當(dāng)α=0°時(shí)，向量a與b方向相同，所以|c|=|a|+|b|；當(dāng)α=180°時(shí)，向量a與b方向相反，所以|c|=||a|-|b||；當(dāng)0°<α<180°時(shí)，||a|-|b||<|c|<|a|+|b|。

( )

A.一定增大

B.可能不變

C.可能增大，也可能減小

D.當(dāng)夾角0°<θ<90°時(shí)，合力F一定減小

【解法1】矢量圖示法

圖1

圖2

【解法2】解三角形法

如圖3，在△OAB中，根據(jù)余弦定理

圖3

所以，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，合力F的大小在區(qū)間(0，-F1·cosθ)內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間(-F1·cosθ，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增，當(dāng)F2=-F1·cosθ時(shí)，F(xiàn)min=F1·sinθ，如圖4所示，故選BC。

圖4

【點(diǎn)評(píng)】方法1是利用合力矢量圖求解，可以很直觀地看出合力F的大小變化規(guī)律；方法2利用余弦定理和二次函數(shù)的性質(zhì)，推理計(jì)算出合力F的變化規(guī)律，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。

【例2】將一個(gè)質(zhì)量為m的鉛球放在傾角為α的斜面上，并用豎直擋板擋住，鉛球處于靜止?fàn)顟B(tài)，如圖5所示。緩慢逆時(shí)針繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)擋板至水平位置，不考慮鉛球所受到的摩擦力，試分析鉛球?qū)醢宓膲毫蛯?duì)斜面的壓力的大小變化。

圖5

【解法1】設(shè)球受到的重力為mg，擋板對(duì)小球的壓力為N1，斜面對(duì)小球的支持力為N2，如圖6所示，因三力處于平衡狀態(tài)，則三力合成的矢量圖是封閉的三角形，如圖7所示，隨著擋板的轉(zhuǎn)動(dòng)，N1先減小，后增大，當(dāng)擋板與斜面垂直時(shí)，N1取最小，因?yàn)镹2方向不變，所以N2一直在變小，且當(dāng)擋板處于水平位置時(shí)，N2取值最小為0。而小球?qū)醢迮c斜面的壓力分別與N1、N2方向相反，但大小變化相同。

圖6

圖7

【點(diǎn)評(píng)】解法1是矢量圖示法，關(guān)鍵是要先確定恒力和方向不變的力，其次利用三角形法則，畫出不同狀態(tài)下的三力平衡矢量圖來研究力的變化情況，這就是“化動(dòng)為靜，靜中求動(dòng)”的解題策略；解法2是利用正弦定理、誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的性質(zhì)、極限等數(shù)學(xué)知識(shí)分析力的變化。

二、利用向量的正交分解和直角三角形知識(shí)解力的平衡問題。

圖8

設(shè)矢量a和b與x軸的夾角分別為α和β，合矢量記為c，如圖9所示，則他們?cè)趚軸和y軸方向上的分矢量分別可寫成：

圖9

ax=a·cosα，ay=a·sinα；

bx=b·cosβ，by=b·sinβ；

cx=ax+bx=a·cosα+b·cosβ；

cy=ay+by=a·sinα+b·sinβ

矢量c的大小為

【例3】(2019·全國(guó)卷Ⅲ·3)(改編)用卡車運(yùn)輸質(zhì)量為m的勻質(zhì)圓筒狀工作，為使工件保持固定，將其置于兩光滑斜面之間，如圖10所示。兩斜面Ⅰ、Ⅱ固定在車上，傾角分別為30°和60°。重力加速度為g。當(dāng)卡車沿平直公路以加速度a水平向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的過程中，求圓筒對(duì)斜面Ⅰ、Ⅱ壓力的大小。

圖10

【解析】設(shè)兩斜面對(duì)圓筒的支持力分別為N1、N2，則圓筒對(duì)兩斜面的壓力與N1、N2大小相等，方向相反，設(shè)為F1、F2。

解法1：建立以水平和豎直方向?yàn)樽鴺?biāo)軸的正交坐標(biāo)系，如圖11所示，根據(jù)物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，可列出水平和豎直方向的運(yùn)動(dòng)方程

圖11

N1cos60°-N2cos30°=ma

①

N1sin60°+N2sin30°=mg

②

解法2：建立沿兩斜面Ⅰ、Ⅱ方向的正交坐標(biāo)系，且將加速度分解到兩坐標(biāo)軸上，如圖12所示。

則有N1-mgcos30°=masin30°,mgsin30°-N2=macos30°；

【解法3】在卡車運(yùn)動(dòng)過程中，圓筒除了受到豎直向下的重力mg，還受到兩斜面對(duì)圓筒的支持力N1，N2，由重力mg的起點(diǎn)至支持力N2的終點(diǎn)的矢量就是這三個(gè)力的合力ma，如圖13所示，則

圖13

則有N1cos30°+N2sin30°=mg，N1sin30°-N2cos30°=ma

【點(diǎn)評(píng)】解法1和解法2都是正交分解法，但建系方法不同，體現(xiàn)了根據(jù)問題的特點(diǎn)建立所需的坐標(biāo)系。對(duì)于運(yùn)動(dòng)平衡狀態(tài)，首先對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行受力分析，畫出受力示意圖；其次依據(jù)平衡條件，建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系；第三，根據(jù)圖示，尋找?guī)缀侮P(guān)系；第四，列出相應(yīng)的等式或不等關(guān)系式；第五，化簡(jiǎn)計(jì)算；最后定量分析結(jié)果的物理含義。

三、數(shù)學(xué)中向量分解原則與物理中矢量分解原則的區(qū)別

數(shù)學(xué)中向量的分解要求是只要選定一組基底即可，同一向量所選基底不同，分解結(jié)果也就不同，但都是正確的。而物理中矢量的分解一般具有唯一性條件，其原則是由矢量所產(chǎn)生的效果或由問題的需要來確定分解的方向，即按照“效果或需要”來分解是矢量分解的基本原則。

例如，在傾斜角為α的斜面上放置一塊質(zhì)量為m的木塊，木塊靜止在斜面上，則重力mg所產(chǎn)生的效果，既有使木塊沿斜面下滑的趨勢(shì)，又有對(duì)斜面產(chǎn)生的壓力，所以對(duì)重力進(jìn)行分解時(shí)，應(yīng)沿平行斜面和垂直于斜面兩個(gè)方向來分解，如圖14，得到的兩個(gè)分力分別是mgsinα和mgcosα。

圖14

圖15

圖16

【例4】如圖17所示，小船在繩的牽引作用下勻速前進(jìn)，假設(shè)水的阻力不變，試分析小船在靠岸的過程中，所受浮力和繩的拉力如何變化的。

圖17

【解法1】小船所受的力包括重力G、繩子的拉力F、向上的浮力Q和水的阻力f。由于小船勻速前進(jìn)，則四力處于平衡狀態(tài)，且f和G為恒力。

設(shè)繩子和水平方向的夾角為α，如圖18所示，則有

圖18

Fcosα=f

①

Fsinα+Q=G

②

【解法2】依據(jù)解法1的受力分析，可知四力構(gòu)成了封閉的矢量圖，如圖19所示，在小船靠岸的過程中，角α逐漸增大，拉力F會(huì)逐漸增大(由F1到F2)，而豎直向上的浮力Q逐漸減小(由Q1向Q2)。

圖19

【例5】如圖20所示，小船在繩的牽引作用下前進(jìn)，假設(shè)水的阻力不變，繩子以恒定的速度v0收縮使小船靠岸，求小船的速度v。

圖20

圖21

【點(diǎn)評(píng)】學(xué)生對(duì)例4與例5的矢量分解最容易混淆，例4中繩子的拉力、浮力、阻力及船的重力處于平衡狀態(tài)，合力F被分解為沿豎直和水平方向的兩個(gè)分力，但在例5中，好多同學(xué)誤把繩子的收縮速度當(dāng)成了船實(shí)際的運(yùn)動(dòng)速度而分解為沿豎直和水平方向的兩個(gè)分速度，如圖22所示，這反映出學(xué)生缺乏對(duì)各分量做必要的物理意義分析的能力，如果船有豎直向上的分速度，那么船就會(huì)騰空而起，這顯然是不正確的。所以在教學(xué)中有必要提醒學(xué)生要注意各矢量的分解是否符合實(shí)際意義，也要辨析清楚物體實(shí)際運(yùn)動(dòng)速度才是運(yùn)動(dòng)的合速度。

圖22

四、向量的坐標(biāo)法在物理中的應(yīng)用

【例6】已知兩個(gè)力(單位：N)F1與F2的夾角為60°，其中F1=(2，0)，某質(zhì)點(diǎn)在這兩個(gè)力的共同作用下，由點(diǎn)A(1，1) 移動(dòng)到點(diǎn)B(3，3)(單位：m)。

(1)求F2；

(2)求F1與F2的合力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功。

圖23

所以有y=x+2

①

②

【解法2】(1)依照題意和圖23所示，|F1|=2，在△ADC中，∠D=120°，∠DCA=15°

【點(diǎn)評(píng)】本題的關(guān)鍵一是要知道力F1的大小和方向，且與另一個(gè)力F2的夾角和合力方向，利用向量加法的平行四邊形法則做出矢量合成圖示；二是在求值方法的選取上，因?yàn)榱1是用向量坐標(biāo)表示的，可選取向量坐標(biāo)法來解，也可以選用正弦定理來解。以上兩點(diǎn)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與物理兩學(xué)科在相對(duì)應(yīng)知識(shí)點(diǎn)上的一致性。本題的解題方法和作圖步驟，有利于培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維和方法解決物理問題的意識(shí)和能力。

以上各例題有多種解法，每種解法所用的數(shù)學(xué)知識(shí)側(cè)重點(diǎn)不同，從不同的角度思考和解決同一物理問題，既能提高學(xué)生物理的解題能力，又能培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和能力，更能為學(xué)生樹立起數(shù)理是一家的觀念，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維與方法思考物理問題的意識(shí)。