許芝卉，李建華

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，山西大同 037009）

定義1設(shè)A=(aij)n×n(1≤i,j≤n)，含數(shù)集N={1,2,3,…,n2}的全部元素，若A中的諸元素是按自然數(shù)從小到大的順序排列而成，則稱方陣A為自然方陣[1]。

定義2設(shè)方陣含數(shù)集N={1,2,3,…,16}的全部元素，若該方陣每行、每列及主、副對角線元素之和都相等，都等于幻和值34，則稱該方陣為四階全對稱幻方[2]。

定義3設(shè)有四階方陣，將字母a,b,c,d和數(shù)字0,1,2,3這八個元素對應(yīng)起來，使a,b,c,d四個字母在每一行、每一列及主、副對角線上只出現(xiàn)一次，且每個數(shù)字和每個字母不會相遇兩次。此時的幻和值是a+b+c+d+6=34。稱這種幻方為字母和數(shù)字組合幻方，簡稱組合幻方[1]。

定理1自然方陣A=(aij)n×n(1≤i,j≤n)，(其中n=4)經(jīng)過以下幾種方法構(gòu)造而成的方陣，若滿足幻和值都相等，則該方陣為四階全對稱幻方[2]。

四階幻方是最簡單的雙偶幻方，關(guān)于四階幻方的構(gòu)造方法介紹如下3種情況。

1 自然方陣對稱交換構(gòu)造法

（1）順序填數(shù)（自然方陣，如圖1）。

圖1 自然方陣

（2）以中心點對稱互換數(shù)字。

（I）以中心點對稱交換對角線上的數(shù)，即1－16，6—11，4－13，7－10 互換位置（如圖2），其幻和值為34。

圖2 對稱幻方1

（Ⅱ）以中心點對稱交換非對角線上的數(shù)，即2－15，3－14，5－12，8－9（如圖3）。

（Ⅲ）由圖3 中互換二、三行元素，即12－8，6—10，7－11，9－5（如圖4）。

（Ⅳ）由圖3 中互換二、三列元素，即15－14，6—7，10－11，3－2（如圖5）。圖5 中互換二、三行元素，可得圖6。當(dāng)然由圖4、圖5、圖6 仍能構(gòu)造出不同的幻方[3]。

圖3 對稱幻方2

圖4 對稱幻方3

圖5 對稱幻方4

圖6 對稱幻方5

2 字母數(shù)學(xué)組合構(gòu)造法

對定義3 中的字母和數(shù)字組合幻方，若再給定{a,b,c,d}={1,5,9,13}。這里采用集合的寫法，而集合又具有無序性和不重復(fù)性。因此上面集合共有24種不同的全排列。當(dāng)然可構(gòu)造24 種全對稱四階幻方。具體方法如下：

（1）將a,b,c,d和數(shù)字0,1,2,3 組合填入方陣（如圖7）。

圖7 字母數(shù)字組合方陣

（2）a,b,c,d可以任意排列，可得到24 種不同的四階全對稱幻方。

（3）構(gòu)造全對稱幻方程序文件為file1.cpp，且程序能夠正確運行，并能得到滿意的結(jié)果（如圖8）。

按上面方法構(gòu)造的四階幻方程序如下[4]，程序文件名為file1.cpp。

程序運行的部分結(jié)果如圖8。

圖8 file1.cpp文件運行結(jié)果

3 程序設(shè)計構(gòu)造法

定義一個數(shù)組，讓數(shù)組元素按自然方陣排列，對換方陣中元素的位置，經(jīng)過對換后的方陣，應(yīng)滿足：①每個位置上的元素必須互不相同；②每行、每列、及主、副對角線上元素之和都相等，都等于幻和值34。

通過編寫程序來實現(xiàn)上面的操作，同時在程序中加以驗證。若滿足條件，就輸出該幻方，若不滿足，則通過循環(huán)繼續(xù)進(jìn)行上述操作。這樣構(gòu)造的幻方共有880 個，設(shè)計的程序，只構(gòu)造四階幻方中第一個元素為1 的情況，這樣的幻方共有416 個。且程序能夠正確運行，并可得到滿意的結(jié)果（如圖9）。按上述方法生成四階幻方的程序如下[4]，

程序文件名為file2.cpp。

程序運行的部分結(jié)果如圖9。

圖9 file2.cpp文件運行結(jié)果

4 結(jié)語

幻方的構(gòu)造多種多樣，形態(tài)變化萬千，它所蘊(yùn)含的哲學(xué)思想最為豐富，給人以美的遐想，論文中的四階全對稱幻方就具有富態(tài)的美。當(dāng)然幻方的研究是無止境的，將會探討四階幻方是否存在平方幻方，仍用程序設(shè)計來實現(xiàn)并加以驗證。（注：若四階全對稱幻方同時滿足每行、每列及主、副對角線上元素的平方和也都相等，則該幻方為四階全對稱平方幻方。）