高彩云

（山西大同大學物理與電子科學學院，山西大同 037009）

慣性是物體的一種固有屬性，它表現(xiàn)為物體對其運動狀態(tài)變化的一種阻抗程度。當物體受力為零時，慣性表現(xiàn)為物體保持其原有的靜止或勻速直線運動狀態(tài)；當物體受力不為零時，慣性表現(xiàn)為外力改變其原有運動狀態(tài)的難易程度。物體的運動分為平動和轉動，物體平動時表現(xiàn)出的慣性大小用物體的質量來量度，質量越大，平動慣性越大；物體轉動時表現(xiàn)出的慣性大小用物體的轉動慣量來量度，轉動慣量越大，轉動慣性越大。[1-3]

任何物體在受外力作用時都會發(fā)生形變，但如果形變的程度相對于物體本身線度來說極為微小，或者物體的形變不影響所研究的問題時，就可將形變忽略不計，把物體視為剛體。剛體轉動慣量是剛體轉動特性的一個重要的物理量，它的大小取決于物體的形狀、質量分布及轉軸的位置，而與其繞軸轉動的角速度無關。剛體轉動慣量的計算一直備受關注，目前已有不少文獻對其進行了研究。對于形狀不規(guī)則或非均質剛體的轉動慣量，一般采用實驗的方法進行測定，而對于形狀規(guī)則的均質剛體，其轉動慣量可直接利用公式計算。在大學物理教材中是通過微積分的方法，結合平行軸定理和垂直軸定理進行計算的。此外，還有質量投影法、量綱法、縮減法、等邊n 角形極限法等。[4-10]本研究以幾種常見的均質剛體為例，用不同的方法進行計算分析，有利于拓寬學生計算轉動慣量的思路，并深刻理解剛體轉動慣量的物理意義。

1 微元法

1.1 算法

轉動慣量是剛體繞軸轉動時慣性大小的量度，其定義式為：

式中，Δmi是剛體中某一質元的質量，ri是該質元到轉軸的垂直距離，這里剛體中的質元是獨立分布的。

對于質量連續(xù)分布的剛體，可以寫成積分形式：

式中，dm是剛體中某一質元的質量，r是該質元到轉軸的垂直距離，積分遍及整個剛體。在實際問題中，均勻剛體的質量可能是體分布（如均質正方體、圓柱體）、面分布（如均質圓盤）或線分布（如均質細棒），故質元的質量dm=ρdV=σds=λdl，式中ρ、σ、λ分別表示剛體的體密度、面密度和線密度。

1.2 算例

1.2.1 均質剛性桿的轉動慣量

設質量均勻分布的剛性桿質量為m，長為l，繞z軸轉動，如圖1所示。

由圖1 知，剛性桿上的質元是連續(xù)分布的，利用微元法計算時，可將剛性桿分割成無數(shù)個長為dx的微元，質量為dm，可視為質點,該微元到z軸的距離都為x，則該質元繞z軸轉動的轉動慣量為dI=x2dm，設剛性桿的線密度為λ，則dm=λdx，則剛性桿繞z軸轉動的轉動慣量為：

又知z′軸與z 軸的距離為，則由平行軸定理可得，剛性桿繞z′軸轉動的轉動慣量為：

可見，當剛體形狀和質量分布不變時，其轉動慣量和轉軸的位置有關，且過質心軸線轉動時的轉動慣量最小。

1.2.2 均質圓盤的轉動慣量

設質量均勻分布的圓盤質量為m，半徑R，厚度不計，繞過圓心且垂直于盤面的o軸轉動，如圖2所示。

由圖2 知，均質圓盤上的質元是連續(xù)分布的，利用微元法計算時，可將圓盤分割為無數(shù)個半徑為r，寬為dr的薄圓環(huán)。設圓盤的面密度為σ，則dm=σ·2πrdr,圓環(huán)繞中心o軸轉動的轉動慣量dI=r2dm=r2·σ·2πrdr，則圓盤繞中心o軸線轉動的轉動慣量為：

這里也可以將圓盤分割成長rdθ，寬為dr的小面元，積分將轉化為二重積分，計算較為復雜。故將圓盤分割成一系列的圓環(huán)，根據(jù)轉動慣量的定義，圓環(huán)上各點到中心軸的距離都相等，只需沿著半徑方向進行一重積分。

2 質量投影法

2.1 算法

由轉動慣量的定義I=可知，若質元到剛體轉軸的距離保持不變，則對該轉軸的轉動慣量就不變。由此可引入質量投影法：將剛體上各質元向垂直于轉軸的平面投影，保持總質量不變，得到新的剛體，轉動慣量不變。這樣，可將三維剛體轉化為與其轉動慣量相等的二維剛體，同理，將二維剛體轉化為與其轉動慣量相等的一維剛體。

2.2 算例

2.2.1 均質矩形板的轉動慣量

設質量均勻分布的矩形板質量為m，長為a、長為b，厚度不計，繞y軸轉動，如圖3所示。

根據(jù)質量投影法，把矩形板投影到與y軸垂直的平面，總質量保持不變，這樣將二維剛體（矩形板）轉化成一維剛體（剛性桿），它們繞y軸轉動的轉動慣量相等，那么，只需要計算剛性桿繞y軸轉動的轉動慣量。

依據(jù)上述微元法可得剛性桿繞y軸轉動的轉動慣量為Iy=，故矩形板繞y軸轉動的轉動慣量也為Iy=，同理可得，矩形板繞x軸轉動的轉動慣量也為Ix=。此方法計算簡便，但是需要已知均質剛性桿繞軸轉動的轉動慣量。

2.2.2 長方體的轉動慣量

設質量均勻分布的長方體質量為m，棱長分別為a、b、c，繞z軸轉動，如圖4所示。

根據(jù)質量投影法，把長方體投影到與z軸垂直的平面，總質量保持不變，這樣將三維剛體（長方體）轉化成二維剛體（矩形板），它們繞z軸轉動的轉動慣量相等，那么，只需要計算矩形板繞z軸轉動的轉動慣量。

由垂直軸定理，矩形板對z軸的轉動慣量為Iz=Ix+Iy=，則長方體對z軸的轉動慣量也為。顯然，此方法計算簡便，但是需要已知均質矩形板繞軸轉動的轉動慣量。

2.2.3 均質圓柱體的轉動慣量

設質量均勻分布的圓柱體質量為m，半徑為R，繞z軸轉動，如圖5所示。

根據(jù)質量投影法，把圓柱體投影到與z軸垂直的平面，總質量保持不變，這樣將三維剛體（圓柱體）轉化成二維剛體（圓盤），它們繞z軸轉動的轉動慣量相等，那么，只需要計算矩形板繞z軸轉動的轉動慣量。

由微元法可知，圓盤繞z 軸的轉動慣量為Iz=，則長圓柱體對z軸的轉動慣量也為。用此方法計算需要已知圓盤繞過中心且垂直于盤面軸轉動的轉動慣量。

3 縮減法

3.1 算法

轉動慣量的量綱是ML2,引入無量綱常數(shù)k，設m為物體的質量，則一維物體的轉動慣量可以表示為：

I=kmx2，

其中，x是物體的獨立長度。

二維物體的轉動慣量可表示為：

I=∑ikmxiy2-i，i∈R，

其中，x、y是物體的兩個獨立長度。

三維物體的轉動慣量可表示為：

I=∑i∑jkmxiyjz2-i-j，(i,j)∈R2，

其中，x、y、z是物體的3個獨立長度。

3.2 算例

3.2.1 均質等腰三角形的轉動慣量

設質量均勻分布的等腰三角形質量為m，腰長為a、底邊為b，繞垂直穿過其質心的o軸的轉動，如圖6所示。

等腰三角形是二維剛體，其慣量可寫成I=∑ikmxiy2-i?，F(xiàn)將其分割為4個全等的小等腰三角形，其質量、腰長、底邊分別為。分割縮小后的4個小三角形腰長和底邊都為原三角形的，縮放倍數(shù)n=,每個小三角形的o1軸與o軸的距離為，o2、o3軸與o軸的距離為，繞垂直穿過其新質心軸的轉動慣量為。

原等腰三角形的轉動慣量應為4個小等腰三角形相對于原轉動o軸的轉動慣量之和，根據(jù)平行軸定理，得：

化簡得：I=。

可知，等腰三角形繞質心o軸的轉動慣量與其質量、底邊和腰長有關。若三角形為等邊三角形，則a=b，I=。

3.2.2 均質矩形板的轉動慣量

設質量均勻分布的矩形板質量為m，長為a、長為b，厚度不計，繞垂直穿過其質心的o 軸的轉動，如圖7所示。

圖7 等腰三角形繞質心軸轉動

矩形板是二維剛體，其慣量可寫成I=∑ikmxiy2-i?，F(xiàn)將其分割為4個全等的小矩形，其質量、長、寬分別為。分割縮小后的4個小矩形的長和寬都為原矩形板的，縮放倍數(shù)n=,每個小矩形的新質心軸o1、o2、o3、o4與原質心o軸的距離為，o2、o3軸與o軸的距離為，繞垂直穿過其新質心軸的轉動慣量為。

原矩形繞質心o軸的轉動慣量應為4個小矩形繞o軸的轉動慣量之和，根據(jù)平行軸定理，得：

化簡得I=。若是正方形，則a=b,I=。

3.2.3 長方體的轉動慣量

設質量均勻分布的長方體質量為m，棱長分別為a、b、c，繞oo′軸轉動，如圖8所示。

圖8 長方體繞質心軸轉動

長方體是三維剛體，其慣量可寫成I=∑i∑jkmxiyjz2-i-j?，F(xiàn)將其分割為8 個相同的小長方體，其質量和棱長分別為。分割縮小后的8 個小長方體的棱長都為原長方體的，縮放倍數(shù)n=，小長方體的新質心軸o1o1′與原質心軸oo′的距離為，繞垂直穿過其新質心軸的轉動慣量為。

原長方體繞質心軸oo′的轉動慣量應為8 個小長方體繞oo′軸的轉動慣量之和，根據(jù)平行軸定理，得：

化簡得I=。若是正方形，則a=b,I=。

4 結語

轉動慣量是剛體轉動慣性的量度，其大小與剛體質量分布及軸的位置有關，質元的質量越大，質元到軸的距離越大，其轉動慣量就越大。從剛體轉動慣量的定義出發(fā)，分別采用微元法、質量投影法和縮減法計算了剛性桿、圓盤、三角形、長方形、長方體和圓柱體的轉動慣量。通過計算可得，微元法積分法易于理解，但只能計算形狀規(guī)則的均質剛體的轉動慣量，對于形狀不規(guī)則、質量分布不均勻的剛體，涉及到復雜的積分運算，故運用較少；質量投影法是根據(jù)轉動慣量的定義推導而得，已于理解，可將問題化簡，但是需要已知投影之后剛體的轉動慣量；縮減法是將剛體按比例放大或縮小，引入無量綱常數(shù)，計算時需要結合平行軸定理，對于簡單的問題不能簡便，但可以拓展思路。