陳彥君 王圣業(yè) 符翔 劉偉

(國(guó)防科技大學(xué)空天科學(xué)學(xué)院,長(zhǎng)沙 410073)

雷諾應(yīng)力模型一直是湍流模式理論研究的前沿和難點(diǎn),而提高數(shù)值魯棒性是其廣泛開展工程應(yīng)用的關(guān)鍵.借鑒經(jīng)典的 k-kL湍流模型,本文構(gòu)造了一種新的 νt 尺度方程,并將其用于耦合SSG/LRR 模式從而形成SSG/LRR-νt 雷諾應(yīng)力模型.通過(guò)零壓力梯度湍流平板邊界層、翼型尾跡流、超聲速方腔流和NACA0012 翼型45°迎角分離流動(dòng)4 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)算例對(duì)新模型進(jìn)行了驗(yàn)證與確認(rèn).同時(shí),為了測(cè)試模型的數(shù)值魯棒性,采用高精度數(shù)值格式對(duì)模型方程進(jìn)行了離散求解,并與SA 渦粘模型和SSG/LRR-ω 雷諾應(yīng)力模型進(jìn)行對(duì)比.結(jié)果表明: νt 尺度方程在黏性壁面邊界嚴(yán)格為零,相比傳統(tǒng)的 ω 尺度,具有更好的數(shù)值魯棒性,從而可實(shí)現(xiàn)新模型與高精度數(shù)值格式的匹配并獲得更好的網(wǎng)格收斂效率;新模型具備雷諾應(yīng)力模型的傳統(tǒng)優(yōu)勢(shì),可對(duì)拐角流動(dòng)進(jìn)行很好的模擬;具備尺度自適應(yīng)能力,對(duì)于非定常分離流動(dòng)的模擬存在一定的潛力.

1 引言

湍流是經(jīng)典物理學(xué)中著名的難題,數(shù)百年來(lái)人們一直致力于對(duì)它的研究.其中,湍流模式理論是人們研究湍流運(yùn)動(dòng)規(guī)律得到的主要成果之一,并且依托飛速發(fā)展的計(jì)算機(jī)技術(shù),成為目前解決實(shí)際湍流問(wèn)題的主要手段.無(wú)論是雷諾平均模擬(RANS),大渦數(shù)值模擬(LES)還是混合RANS/LES 模擬,核心均是對(duì)雷諾應(yīng)力張量(或亞格子應(yīng)力張量)進(jìn)行封閉建模.這包括基于Boussinesq 假設(shè)的線性渦粘模式,直接建立應(yīng)力輸運(yùn)方程的雷諾應(yīng)力模式(或亞格子應(yīng)力模式)以及其他非線性模式等[1].

本文主要研究RANS 方法中的雷諾應(yīng)力模式(RSM),它由周培源先生[2,3]首次建立起一般方程框架.RSM相比目前廣泛應(yīng)用的線性渦黏模式,在諸多方面具備優(yōu)勢(shì),如曲壁面流動(dòng)、旋轉(zhuǎn)/渦流動(dòng)、拐角流動(dòng)等[1,4,5].但也存在明顯不足,包括計(jì)算花費(fèi)和數(shù)值穩(wěn)定性兩個(gè)主要方面.前者屬于固有問(wèn)題,是需要離散求解更多的偏微分方程所導(dǎo)致的.但當(dāng)前隨著計(jì)算機(jī)硬件水平的巨大提升,其超出渦黏模式的計(jì)算代價(jià)已經(jīng)可以接受,且遠(yuǎn)未到達(dá)LES 的需求水平.而對(duì)于后者,包括美國(guó)宇航局(NASA)[6]、德國(guó)宇航局(DLR)[7]等均指出需要持續(xù)開展研究投入.

無(wú)論何種形式的RSM,方程中往往仍包含一個(gè)未知量,即各向同性耗散率ε.在物理上實(shí)質(zhì)是需要提供一個(gè)標(biāo)量的湍流長(zhǎng)度尺度或時(shí)間尺度.多年實(shí)踐表明,尺度提供方程對(duì)RSM 的數(shù)值穩(wěn)定性有非常大的影響.例如,早期的RSM 往往耦合ε尺度方程求解[8].但與在k-ε模型中類似,ε方程存在兩個(gè)問(wèn)題[9]: 一是缺乏自然邊界條件;二是在壁面附近需要處理高階關(guān)聯(lián),易造成數(shù)值剛性問(wèn)題.這些問(wèn)題使得早期的RSM 應(yīng)用效果很不理想.Wilcox[1]發(fā)展的ω方程是在尺度建模中里程碑式的工作,它避免了ε方程在近壁附近的數(shù)值剛性問(wèn)題.其后Menter[10]又進(jìn)一步發(fā)展了ω尺度方程,通過(guò)設(shè)計(jì)過(guò)渡函數(shù),使得ω尺度方程在遠(yuǎn)場(chǎng)也具良好表現(xiàn)(過(guò)渡到類似ε模型,減弱來(lái)流湍流度敏感性).2005年,Eisfeld和Brodersen[7]將Menter 的ω尺度方程用于RSM,提出了SSG/LRR-ω模型.該模型經(jīng)過(guò)10 多年的研究和改進(jìn),在很多工程問(wèn)題中取得了良好的模擬效果[11-14].

盡管如此,ω方程本身在理論上仍然存在一些問(wèn)題.Togiti和Eisfeld[15]指出ω在壁面附近存在奇性且缺乏自然邊界條件.因此將g方程[9](g1/在壁面邊界為0)用于RSM(SSG/LRR-g模型),并表明可降低對(duì)近壁區(qū)網(wǎng)格分辨率的依賴.其后,Eisfeld和Togiti等[14]又將Ilinca和Pelletier[16]發(fā)展的 l og(ω)尺度變換用于RSM(SSG/LRR-log(ω)模型),同樣獲得了明顯的魯棒性提升.Abdol-Hamid[17]也提出了將kL尺度方程用于RSM 的思路,但并未深入研究.舒博文等[18]對(duì)SSG/LRR-g模型在多個(gè)典型航空問(wèn)題中進(jìn)行了應(yīng)用研究,指出了該模型預(yù)測(cè)分離問(wèn)題的優(yōu)秀能力.本文作者借鑒 Rotta[19],Menter和Egorov[20]以 及 Abdol-Hamid等[21]發(fā)展的k-kL模型,推導(dǎo)了新的νt尺度方程(νt),并用于RSM.該尺度方程從變量形式上看,類似Spalart-Allmaras (SA)模型[22],在壁面邊界為0 具有更好的數(shù)值潛力.同時(shí)相比g方程和l og(ω)方程,具備尺度自適應(yīng)能力,還可用于非定常分離問(wèn)題的模擬.

2 湍流模型及數(shù)值方法

2.1 νt 尺度方程

方程右端依次為生成項(xiàng)、耗散項(xiàng)、耗散修正項(xiàng)和擴(kuò)散項(xiàng).“—”代表一般Reynolds 平均量;“∧”代表Favre 平均量.dw為網(wǎng)格到壁面的距離.

LvK為von Karman 長(zhǎng)度尺度,通過(guò)下式得到:

同時(shí),為防止出現(xiàn)非物理現(xiàn)象,需要對(duì)LvK進(jìn)行限制: 0.1Lt＜LvK＜1.3κdwfp.其中,限制函數(shù)fp為

耗散修正項(xiàng)中的經(jīng)驗(yàn)函數(shù)fε由下式得到:

其余經(jīng)驗(yàn)系數(shù)通過(guò)豐富的湍流算例進(jìn)行標(biāo)定.本文分別取κ0.41,Cp10.775,Cp21.47,Cε和σν2/3.最后需要指出,νt在壁面邊界為0;在遠(yuǎn)場(chǎng)或入口處根據(jù)實(shí)際的湍流黏性比賦值,缺省值為 0.009ν.

2.2 SSG/LRR-νt 雷諾應(yīng)力模型

對(duì)NS 方程進(jìn)行Reynolds 平均后會(huì)出現(xiàn)雷諾應(yīng)力項(xiàng).傳統(tǒng)線性渦黏模型,如SA 模型,基于Boussinesq 假設(shè)對(duì)雷諾應(yīng)力項(xiàng)封閉;而雷諾應(yīng)力模型則是直接建立雷諾應(yīng)力輸運(yùn)方程:

雷諾應(yīng)力模型中,最關(guān)鍵的是再分配項(xiàng).本文采用Eisfeld和Brodersen[7]發(fā)展的SSG/LRR 混合模型,即通過(guò)過(guò)渡函數(shù)F實(shí)現(xiàn)在近壁區(qū)使用Launder-Reece-Rodi 模型[8],在遠(yuǎn)離壁面過(guò)渡到Speziale-Sarkar-Gatski 模型[23].

表1 再分配項(xiàng)系數(shù)Table 1.Coefficients in redistribution item.

過(guò)渡函數(shù)根據(jù)Menter[10]在SST 模型中提出的F2得到:同時(shí),擴(kuò)散項(xiàng)系數(shù)也通過(guò)該函數(shù)得到:σR0.5F+0.44(1-F)/(3Cμ).

2.3 高精度數(shù)值方法

本文采用團(tuán)隊(duì)自研的高精度CFD 軟件[4,24,25].該軟件主要基于單元中心型有限差分格式,包括二階精度MUSCL 格式、五階和七階WCNS 系列高階精度格式[26]等.需要強(qiáng)調(diào)的是,本文對(duì)NS 方程和湍流模型方程求解采用松耦合模式,但針對(duì)兩者的空間離散精度是一致的.換句話說(shuō),湍流模型將同樣采用高階精度離散,以此驗(yàn)證新模型的數(shù)值魯棒性.另一方面,本文采用鄧小剛等[27]提出的對(duì)稱守恒網(wǎng)格導(dǎo)數(shù)算法(SCMM)計(jì)算網(wǎng)格導(dǎo)數(shù),以降低網(wǎng)格變換引入的數(shù)值誤差.

3 計(jì)算結(jié)果

3.1 零壓力梯度湍流平板邊界層

零壓力梯度湍流平板邊界層是湍流模型研究中最基礎(chǔ)的驗(yàn)證算例.本節(jié)參考NASA 湍流模型資源網(wǎng)站[28]中推薦的流動(dòng)條件: 入口馬赫數(shù)Mainlet0.2,每米雷諾數(shù)Rem5×106.通過(guò)控制第一層網(wǎng)格距壁面的高度,生成了5 套網(wǎng)格.網(wǎng)格輪廓見圖1(a),其中平板長(zhǎng)度為2 m.

圖1 平板邊界層網(wǎng)格收斂性分析 (a)平板網(wǎng)格示意圖;(b)阻力系數(shù)結(jié)果Fig.1.Convergence analysis on plate boundary layer meshs: (a)Sketch of plate mesh;(b)drag coefficient results.

圖1(b)給出了SSG/LRR-νt模型在5 套網(wǎng)格上得到的阻力系數(shù)結(jié)果.該模型分別用二階MUSCL 格式和七階WCNS 格式進(jìn)行離散求解.同時(shí)添加了二階和七階精度下的SA 模型和二階精度下的SSG/LRR-ω模型進(jìn)行了對(duì)比.值得一提的是,SSG/LRR-ω模型由于ω在壁面附近存在奇性,無(wú)法搭配低耗散的七階格式進(jìn)行穩(wěn)定的計(jì)算.而νt尺度在壁面邊界嚴(yán)格為零,使得整個(gè)模型具有更好的魯棒性.再搭配高精度數(shù)值格式,可實(shí)現(xiàn)類似SA 模型的優(yōu)秀網(wǎng)格收斂特性.

圖2 給出了SSG/LRR-νt模型結(jié)合七階WCNS格式在0.37 網(wǎng)格上的計(jì)算結(jié)果.在x0.97處速度型與經(jīng)典的Coles 公式符合;整個(gè)平板上摩阻分布與經(jīng)驗(yàn)公式符合.證明了SSG/LRR-νt模型能夠?qū)ψ罨A(chǔ)的湍流平板邊界層進(jìn)行有效模擬.

圖2 SSG/LRR-νt 模型在=0.37 網(wǎng)格上的結(jié)果 (a)x=0.97 處速度型;(b)摩擦阻力分布Fig.2.Results of SSG/LRR-νt model on grid of=0.37 : (a)u-velocity profile at x=0.97;(b)friction drag coefficient along the plate.

圖3 表明,相同網(wǎng)格時(shí),七階精度格式的計(jì)算花費(fèi)約為二階格式的1.8 倍,但隨著網(wǎng)格尺度的減小,高精度格式的計(jì)算誤差下降更快.所以,在達(dá)到相同誤差水平的條件下,七階格式的花費(fèi)比二階格式小,即效率更高.另一方面,相同網(wǎng)格時(shí),SSG/LRR-νt模型的計(jì)算花費(fèi)約是SA 模型的1.6 倍.其花費(fèi)的增加比率小于方程數(shù)的增加(前者共12 個(gè)偏微分方程;后者6 個(gè)),說(shuō)明SSG/LRR-νt模型的求解效率是良好的.

圖3 x=0.97 處摩擦阻力誤差與網(wǎng)格尺度和計(jì)算時(shí)間的關(guān)系 (a)誤差與網(wǎng)格尺度;(b)誤差與計(jì)算時(shí)間Fig.3.Relationship between friction drag error at x=0.97 and grid scale as well as CPU time: (a)Error vs.grid scale;(b)error vs.CPU time.

3.2 翼型尾跡流

翼型尾跡流同樣來(lái)自NASA 湍流模型資源網(wǎng)站,用來(lái)考核湍流模型在自由剪切流動(dòng)中對(duì)雷諾應(yīng)力分量的模擬準(zhǔn)確度.流動(dòng)條件為: 來(lái)流馬赫數(shù)Ma∞0.088,基于弦長(zhǎng)的雷諾數(shù)Rec1.2×106.網(wǎng)格采用該網(wǎng)站提供的粗網(wǎng)格(2 81×49),如圖4 所示.

圖4 翼型尾跡流網(wǎng)格及切面Fig.4.Airfoil wake mesh and slices.

圖5 給出了圖4 所示切面上雷諾切應(yīng)力分布.與平板算例類似,采用七階WCNS 離散,僅在粗網(wǎng)格上即可實(shí)現(xiàn)較好的模擬效果.證明了高精度離散對(duì)于湍流量的預(yù)測(cè)同樣有意義.SSG/LRR-νt模型由于更好的數(shù)值魯棒性,能夠成功與高精度格式結(jié)合進(jìn)行求解.而SSG/LRR-ω模型卻無(wú)法穩(wěn)定求解.

圖5 翼型尾跡流雷諾切應(yīng)力分布Fig.5.Reynolds shear stress distribution on airfoil wake case.

3.3 超聲速方腔流

方腔是典型的考察拐角流動(dòng)模擬能力的算例.對(duì)于傳統(tǒng)基于Boussinesq 假設(shè)的湍流模型,無(wú)法分辨雷諾正應(yīng)力各向異性,導(dǎo)致很難得到正確的拐角渦結(jié)構(gòu).該算例的條件設(shè)置和網(wǎng)格同樣參考NASA湍流模型資源網(wǎng)站.入口馬赫數(shù)Mainlet3.9,基于方腔寬度的雷諾數(shù)ReD5.08×105,方腔的寬或高D25.4 mm.由于方腔為對(duì)稱結(jié)構(gòu),可取四分之一部分進(jìn)行計(jì)算.網(wǎng)格和邊界條件設(shè)置如圖6(a)所示.

圖6 方腔流動(dòng)示意圖 (a)計(jì)算網(wǎng)格及邊界條件;(b)SA 模型在 x/D=50 面上的速度矢量圖;(c)SSG/LRR-ω 模型在x/D=50 面上的速度矢量圖;(d)SSG/LRR-νt 模型在 x/D=50 面上的速度矢量圖Fig.6.Sketch of square duct flow: (a)Mesh and boundary conditions;(b)velocity vector distributions on x/D=50 by SA;(c)velocity vector distributions on x/D=50 by SSG/LRR-ω;(d)velocity vector distributions on x/D=50 by SSG/LRR-νt .

圖6(b)—(d)給出了三種湍流模型在x/D50剖面上的速度矢量圖,顏色通過(guò)橫向速度大小標(biāo)識(shí).在拐角處,會(huì)形成一對(duì)反向旋轉(zhuǎn)且對(duì)稱的角渦.對(duì)于SA 這類的線性渦黏模型而言,是無(wú)法有效捕捉到的.而對(duì)于雷諾應(yīng)力模型,則天然具備優(yōu)勢(shì).本文作者發(fā)展的SSG/LRR-νt模型同樣繼承了該特點(diǎn).

圖7 給出了x/D40和50 兩個(gè)剖面上,流向速度沿對(duì)角線的分布.網(wǎng)格采用的 2 41×41×41 的粗網(wǎng)格.SSG/LRR-νt模型由于可以進(jìn)行高精度離散,因而獲得了較好的結(jié)果.而SSG/LRR-ω模型則無(wú)法采用七階WCNS 格式穩(wěn)定求解.

圖7 流向速度沿對(duì)角線的分布 (a)x/D=40;(b)x/D=50Fig.7.Distribution of u-velocity along diagonal: (a)x/D=40;(b)x/D=50 .

3.4 NACA0012 翼型45°迎角分離流動(dòng)

最后考察非定常分離湍流問(wèn)題.算例選擇45°迎角的NACA0012 翼型,來(lái)流馬赫數(shù)Ma∞0.5,基于弦長(zhǎng)的雷諾數(shù)Rec1.3×106.該算例常被用來(lái)考核像分離渦模擬(DES)等混合RANS/LES模型[29],而對(duì)于單純的RANS 模型而言具有挑戰(zhàn)性.圖8(a)給出了計(jì)算網(wǎng)格,參考Strelets[29]工作,網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)為 1 93×103×31,展向長(zhǎng)度為1c.計(jì)算采用非定常雙時(shí)間步法,每個(gè)外迭代步推進(jìn)0.01T(Tc/U∞).計(jì)算 5 0T后開始平均統(tǒng)計(jì),一直到 1 50T結(jié)束.圖8(b)對(duì)比了SSG/LRR-νt和SA模型得到的平均壓力系數(shù)分布.可以看到: SA 模型明顯高估了背風(fēng)面(上表面)的吸力;而SSG/LRR-νt模型給出了與實(shí)驗(yàn)符合的結(jié)果.

圖8 NACA0012 翼型網(wǎng)格及表面壓力分布對(duì)比Fig.8.NACA0012 airfoil mesh and comparison of surface pressure distributions.

圖9 分別給出了兩種模型在100T時(shí)刻得到的展向渦量云圖.傳統(tǒng)的RANS 模型會(huì)在分離區(qū)高估渦黏性,導(dǎo)致小尺度渦結(jié)構(gòu)被耗散掉.而本文提出的SSG/LRR-νt模型,νt尺度方程參考了k-kL模型具有尺度自適應(yīng)能力((1)式生成項(xiàng)中包含湍流長(zhǎng)度尺度和von Karman 長(zhǎng)度尺度的比值).因而在WCNS 格式的配合下,分辨出了豐富的渦結(jié)構(gòu).

圖9 展向渦量云圖Fig.9.Spanwise vorticity distributions.

上述特點(diǎn)反應(yīng)在氣動(dòng)力上,如圖10 所示.由于SA 模型只保留了前緣和后緣的脫體渦,因而氣動(dòng)力隨時(shí)間的變化類似簡(jiǎn)諧振蕩,并且偏離實(shí)驗(yàn)值.而SSG/LRR-νt模型得到的氣動(dòng)力變化更符合湍流隨機(jī)性的特點(diǎn),且在實(shí)驗(yàn)值周圍振蕩.

圖10 氣動(dòng)力隨時(shí)間的變化過(guò)程 (a)升力系數(shù);(b)阻力系數(shù)Fig.10.History of aerodynamic forces over time: (a)Lift coefficient;(b)Drag coefficient.

4 結(jié)論

本文參考k-kL模型推導(dǎo)了一種νt尺度方程,并用于耦合SSG/LRR 模型.形成的新型雷諾應(yīng)力模型稱為SSG/LRR-νt模型.該模型通過(guò)4 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)算例進(jìn)行了初步研究.結(jié)合高精度WCNS格式,并與SA 渦黏模型和SSG/LRR-ω雷諾應(yīng)力模型對(duì)比,得到以下結(jié)論:

1)νt尺度方程在黏性壁面具有嚴(yán)格為零的邊界條件,相比傳統(tǒng)的ω尺度,可減小因數(shù)值奇性帶來(lái)的不穩(wěn)定;

2)νt尺度方程與SA 模型類似,在數(shù)值耗散較小的情況下仍能穩(wěn)定求解.這使得SSG/LRR-νt模型能夠與高精度數(shù)值格式結(jié)合,從而獲得更好的網(wǎng)格收斂效率;

3)SSG/LRR-νt模型具備雷諾應(yīng)力模型的傳統(tǒng)優(yōu)勢(shì),可對(duì)拐角流動(dòng)進(jìn)行很好的模擬;

4)SSG/LRR-νtt 模型具備尺度自適應(yīng)能力,對(duì)于非定常分離流動(dòng)的模擬存在一定的潛力.

本文對(duì)SSG/LRR-νt模型的研究尚局限在簡(jiǎn)單算例.在今后的工作中,還需要進(jìn)行更為廣泛的驗(yàn)證與確認(rèn),包括阻力預(yù)測(cè)會(huì)議(DPW)標(biāo)模、高升力預(yù)測(cè)會(huì)議(HiLiftPW)標(biāo)模、國(guó)際渦流實(shí)驗(yàn)(VFE)標(biāo)模等.

感謝中山大學(xué)航空學(xué)院王光學(xué)研究員的討論.