徐 璇，呂龍波

(宜春職業(yè)技術(shù)學(xué)院，336000，江西，宜春)

1 介紹及引言

令R是實(shí)數(shù)集合，C是復(fù)數(shù)集合，N是正整數(shù)集合。

(1)

并在開單位圓盤U={z∈C:|z|<1}中解析的函數(shù)類。

文獻(xiàn)[1]中的結(jié)果如下。

定理1：令參數(shù)A、B、λ、γ，整數(shù)m，-1≤B

假設(shè)

|γ(A-B)-B(m-2)|≥m-2

(1)

則

定理2：令參數(shù)A、B、λ、γ，整數(shù)n，-1≤B

|γ(A-B)-B(n-2)|≥n-2

(2)

并且函數(shù)f(z)如式(1)所定義，若f∈K(λ,γ,A,B)，則

這個(gè)估計(jì)是精確的。

定理3：令參數(shù)A、B、λ、γ，整數(shù)n，-1≤B

假設(shè)

|γ(A-B)-B(n-2)|≥n-2

(3)

這個(gè)估計(jì)是精確的。

近年來，各位學(xué)者對單葉解析函數(shù)的性質(zhì)研究相對較多，并得到了相應(yīng)函數(shù)的系數(shù)估計(jì)，可見文獻(xiàn)[2-5]。熟知，F(xiàn)ekete-Szeg?問題主要是研究單葉函數(shù)的Taylor展式的第2項(xiàng)和第3項(xiàng)的關(guān)系，其研究背景是著名的Bieberbach猜想。1985年，歷時(shí)68年之久的猜想Bieberbach得到證明，成為20世紀(jì)最重要的數(shù)學(xué)事件之一。此后人們對Fekete-Szeg?問題的研究興趣轉(zhuǎn)向單葉函數(shù)的重要的子族，并得到許多有趣的結(jié)果，詳情可參看文獻(xiàn)[2,6-10]。

本文利用各種函數(shù)類的Fekete-Szeg?不等式，除去定理1中的條件(1)，去掉定理2的條件(2)，去掉定理3的條件(3)，得到以下函數(shù)的系數(shù)估計(jì)。

2 主要結(jié)果

定理4：令參數(shù)A、B、λ、γ，整數(shù)m，-1≤B

(4)

證明：利用歸納法的原理m∈N{1}。事實(shí)上，對于m=2，式(4)是成立的。假設(shè)

對于一些固定的正整數(shù)m∈N{1}成立，顯然得到

在m∈N{1}由數(shù)學(xué)歸納法的原理完成了定理4的證明。

(5)

這個(gè)估計(jì)是精確的。

證明：由于f∈K(λ,γ,A,B)，存在一個(gè)Schwarz函數(shù)w(z)，在U中解析，有w(0)=0,|w(z)<1|(z∈U),使得

即

因此有

寫成以下形式

在U中明顯收斂，注意到|w(z)|<1(z∈U)，因此，由Parseval′s定理，得到

相當(dāng)于

(6)

因此得到當(dāng)k=n，

定理5中不等式的估計(jì)成立。

定理6：令參數(shù)A、B、λ、γ，整數(shù)n，-1≤B

定理6中不等式的估計(jì)成立。

f∈S(λ,γ,1-2β，-1)=SC(γ,λ,β)，

則