張 波，陳 珍，袁季兵*

(1.衡陽(yáng)師范學(xué)院物理與電子工程學(xué)院， 421002 ，湖南，衡陽(yáng)；2.衡陽(yáng)市第八中學(xué)，421008， 湖南，衡陽(yáng))

0 引言

1 有理真分式分解成分項(xiàng)分式

有理真分式有如下形式

(1)

其中n>m。

(2)

發(fā)現(xiàn)有理真分式可分解成下面分項(xiàng)分式

(3)

其中常系數(shù)可以用下面公式求出

(4)

2 有理真分式的拉普拉斯積分變換反演

接下來(lái)介紹如何對(duì)分解后的有理真分式(3)執(zhí)行拉普拉斯積分變換反演。首先簡(jiǎn)要介紹拉普拉斯積分變換的基本概念和一些基本性質(zhì)。對(duì)于一個(gè)自變量定義在[0,∞]區(qū)間的函數(shù)f(t),對(duì)它執(zhí)行拉普拉斯積分變換的形式如下

(5)

拉普拉斯積分變換具有如下一些重要性質(zhì)：

1)線性定理￡[c1f1(t)+c2f2(t)]=c1￡[f1(t)]+c2￡[f2(t)]；

同時(shí)還介紹一個(gè)本文需要用到的一個(gè)重要的拉普拉斯積分變換反演關(guān)系式

(6)

其中n為正整數(shù)，s為復(fù)常數(shù)。

利用拉普拉斯積分變換的線性定理以及關(guān)系式(6)，得到有理真分式(3)可反演成如下形式

(7)

根據(jù)得到的一般有理真分式的拉普拉斯積分變換反演式(7)，具體討論2種常見(jiàn)有理真分式下的拉普拉斯積分變換反演式。

1)n個(gè)單根的情形。有理真分式分母只有n個(gè)單根時(shí)，式(3)可化簡(jiǎn)成

(8)

它的拉普拉斯積分變換的反演式為

(9)

其中系數(shù)

(10)

進(jìn)一步討論n個(gè)單根中存在s對(duì)共軛復(fù)單根，n-2s個(gè)單實(shí)根的情形。當(dāng)所求的根為復(fù)數(shù)時(shí)，那么這個(gè)根的共軛復(fù)數(shù)必然也是N(p)=0的根，因此設(shè)p1,2j=α2j+iβ2j，p1,2j-1=α2j-iβ2j，j=1,2,3，…s，其中α2j，β2j為實(shí)數(shù)。當(dāng)有理真分式為實(shí)系數(shù)有理真分式時(shí)，可以證明它們對(duì)應(yīng)的系數(shù)A1,2j,0=A1,2j-1,0*=a2j+ib2j，其中a2j，b2j為實(shí)數(shù)。它的拉普拉斯積分變換的反演式可以進(jìn)一步化為

(11)

2)1個(gè)s重根，n-s個(gè)單根的情形。在這種情形下，式(3)可化簡(jiǎn)成

(12)

它的拉普拉斯積分變換的反演式為

(13)

其中系數(shù)分別為：

3 有理真分式拉普拉斯積分變換反演的應(yīng)用

(14)

(15)

最后介紹另一個(gè)應(yīng)用。2個(gè)RLC串聯(lián)電路相互感應(yīng)，互感系數(shù)為M，2個(gè)線圈具有相同的R、L、C，如果第1個(gè)線圈的電壓為E，第2個(gè)線圈無(wú)電源，求第2個(gè)線圈感應(yīng)的電流？通過(guò)對(duì)2個(gè)線圈的電壓分別進(jìn)行分析，可以得到有關(guān)2個(gè)線圈電流的微積分方程組

(16)

其中j1，j2為2個(gè)線圈的電流。利用線性定理、導(dǎo)數(shù)定理和積分定理對(duì)上面的方程組執(zhí)行拉普拉斯變換，可以得到下面的代數(shù)方程

(17)

上面方程假設(shè)了2個(gè)線圈初始時(shí)刻的電流均為零。整理上面的代數(shù)方程，可以得到

(18)

4)△1=0,△2<0, 此時(shí)1個(gè)根為2重實(shí)根，一對(duì)共軛復(fù)根，j2(t)的形式為j2(t)=2eα2t(a2cosβ2t-b2sinβ2t)+A2,1,0tep2,1t+A2,1,1ep2,1t。

4 結(jié)束語(yǔ)

按照有理真分式分母等于零所得的根的分類，把一般的有理真分式分解成了分項(xiàng)分式的形式。每個(gè)分項(xiàng)分式的系數(shù)可以用3個(gè)參數(shù)表達(dá)，并給出了求解各個(gè)系數(shù)的表達(dá)式。基于分項(xiàng)分式，利用拉普拉斯積分變換的線性定理和關(guān)系式(6)對(duì)有理真分式進(jìn)行了反演，給出了一般有理真分式原函數(shù)的具體形式(7)。通過(guò)這個(gè)表達(dá)式(7)，討論了單實(shí)根、共軛復(fù)根、s重根等性質(zhì)的根分別對(duì)應(yīng)的原函數(shù)。這對(duì)于理解物理學(xué)中多樣的運(yùn)動(dòng)方式背后的物理原因具有一定的啟發(fā)意義。最后介紹了有理真分式拉普拉斯積分變換反演的2個(gè)應(yīng)用。本文在快速求解常系數(shù)微積分方程組方面具有一定的指導(dǎo)意義。