鄭金秀

(中國西南電子技術(shù)研究所,成都 610036)

0 引 言

航天測控地面站的研制過程中，常常需要衛(wèi)星信號模擬器，產(chǎn)生目標(biāo)信號，以支撐測控相關(guān)裝備的設(shè)計驗證。

對衛(wèi)星信號模擬往往要求進行角誤差、時延及多普勒頻率的模擬。角誤差受衛(wèi)星當(dāng)前位置與接收天線指向角的影響，而時延和多普勒頻率則由衛(wèi)星與接收平臺之間的相對位置及其變化決定。在某些應(yīng)用中，常常要求衛(wèi)星模擬器具有較高的時延和多普勒頻率模擬精度，所以，連續(xù)地獲取衛(wèi)星位置并根據(jù)接收天線當(dāng)前位置及指向計算角誤差、時延及時延變化，進而逐采樣點地計算衛(wèi)星模擬信號，是一種極為有效的衛(wèi)星信號模擬方法。衛(wèi)星模擬信號的采樣率越高，相應(yīng)的衛(wèi)星位置采樣周期越小，再結(jié)合高的衛(wèi)星位置計算精度，角誤差、時延和多普勒頻率的模擬精度則會越高，越接近真實情況。

衛(wèi)星位置獲取可以通過存儲查表和實時計算兩種方式。存儲查表方式是把衛(wèi)星運行歷經(jīng)的位置數(shù)據(jù)按順序存儲起來，然后通過實時查表的方式獲取衛(wèi)星當(dāng)前的位置。該方法難以實現(xiàn)衛(wèi)星位置的高時空分辨率。對應(yīng)于目標(biāo)模擬信號的采樣周期，若衛(wèi)星位置采樣頻率為100 Msample/s，衛(wèi)星位置數(shù)據(jù)若采用3個20位數(shù)據(jù)表示,則1 s的位置數(shù)據(jù)需要750 MB的存儲空間，十分龐大。

本文基于現(xiàn)場可編程門陣列(Field Programmable Gate Array，F(xiàn)PGA)器件，根據(jù)星歷中的軌道參數(shù)和攝動參數(shù)進行衛(wèi)星位置的實時計算設(shè)計，以在每個目標(biāo)模擬信號的采樣時刻給出高精度的衛(wèi)星位置數(shù)據(jù)，最大限度支撐模擬器盡可能精確地模擬誤差角、時變多普勒等，實現(xiàn)衛(wèi)星目標(biāo)信號的高時空分辨率模擬。

1 衛(wèi)星位置計算

通過衛(wèi)星下發(fā)的廣播星歷參數(shù)模擬衛(wèi)星運動軌跡，星歷參數(shù)包括軌道參數(shù)和修正軌道的攝動參數(shù)，每2 h更新一次，在參考時間前后1 h內(nèi)，衛(wèi)星的誤差可以控制在米級別[1]。星歷中的軌道參數(shù)包括橢圓半長軸a、橢圓離心率e、軌道傾角i、升交點赤經(jīng)Ω0、近地點角距ω、真近點角f。星歷中的攝動參數(shù)包括星歷中的攝動參數(shù)包括升交點角距余弦調(diào)和校正振幅Cμc、升交點角距正弦調(diào)和校正振幅Cμs、軌道半徑余弦調(diào)和校正振幅Crc、軌道半徑正弦調(diào)和校正振幅Crs、軌道傾角余弦調(diào)和校正振幅Cic、軌道傾角正弦調(diào)和校正振幅Cis、平均運動角速度校正值Δn、軌道傾角對時間的變化率id和軌道升交點赤經(jīng)對時間的變化率Ωd[2]。

本文采用了軌道平面坐標(biāo)系、WGS-84坐標(biāo)系(協(xié)議地球坐標(biāo)系)和站心坐標(biāo)系，最后根據(jù)衛(wèi)星在站心坐標(biāo)系中的位置得到衛(wèi)星相對地面接收站俯仰角、距離和方位角[3]。

衛(wèi)星軌道的平近點角M可以通過平均角速度n和運行時間計算得到。平近點角與衛(wèi)星運行的角度——偏近點角可通過解開普勒方程得到，該方程不能通過直接求出數(shù)值解，需迭代幾次求解[4]。整理得到開普勒方程如下：

E=M0+n(t-t0)+esinE。

(1)

在求得衛(wèi)星運行的偏近點角后，再求解真近點角f、向徑r′和角距μ′，整理得

(2)

求出的極坐標(biāo)系坐標(biāo)可以直接參與運算，但是為了得到較高精確度的采樣點，這里根據(jù)星歷參數(shù)的攝動對軌道參數(shù)修正：

(3)

修正后的向徑、升交角距和軌道傾角參與計算衛(wèi)星軌道坐標(biāo)系位置坐標(biāo)，整理得

(4)

根據(jù)求得的衛(wèi)星在軌道平面上的實時位置(X″,Y″,Z″),再利用式(5)得到衛(wèi)星在WGS-84坐標(biāo)系中的實時位置(Xk,Yk,Zk)[5]：

(5)

利用WGS-84坐標(biāo)系與站心坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系式，得到衛(wèi)星在站心坐標(biāo)系中的向量(Δe,Δn,Δu)T，整理得到式(6)所示的計算公式：

(6)

式中：(x,y,z)T為地面接收站在WGS-84坐標(biāo)系中的位置坐標(biāo)，(x′,y′,z′)T為衛(wèi)星在WGS-84坐標(biāo)系中的位置坐標(biāo)，λ和φ分別式地面接收站的經(jīng)度和緯度。利用式(7)可以得到衛(wèi)星相對于地面接收站的距離、俯仰角、方位角：

(7)

式中：I、θ、α分別表示地面觀測站與衛(wèi)星之間的距離、俯仰角和方位角；θ的范圍在(0,π/2)之間，與天頂角之間為互余關(guān)系。

2 衛(wèi)星位置計算FPGA實現(xiàn)

根據(jù)第1節(jié)所述衛(wèi)星軌道計算過程綜合設(shè)計FPGA實現(xiàn)過程，為了實現(xiàn)高時空分辨率，也就是高數(shù)據(jù)精度和采樣率，從模塊設(shè)計、流水設(shè)計、精度控制三個方面完成FPGA設(shè)計。

圖1所示為計算流程圖。整個計算過程可以劃分成5個模塊進行，分別為t更新模塊、t時刻衛(wèi)星參數(shù)計算、軌道平面坐標(biāo)計算、WGS-84坐標(biāo)系坐標(biāo)計算、站心坐標(biāo)系坐標(biāo)計算和相對位置計算。通過在信號線上插入緩存模塊的方式同步數(shù)據(jù)，完成流水設(shè)計。在模塊之間建立Valid和Ready控制信號，來判斷數(shù)據(jù)傳輸?shù)挠行浴?/p>

圖1 衛(wèi)星軌道計算系統(tǒng)框圖

圖1中的t更新模塊是在輸入t1的基礎(chǔ)上進行循環(huán)迭代，將更新后的t送入寄存器進行緩存。圖1中也給出了各個計算模塊之間的數(shù)據(jù)傳輸關(guān)系以及數(shù)據(jù)位寬，所有數(shù)據(jù)均由有符號浮點數(shù)量化成了有符號定點數(shù)，以達到提高運算速率和減少資源占用的目的。

2.1 功能模塊實現(xiàn)設(shè)計

根據(jù)第1節(jié)中算法的敘述和圖1所示計算流程，圖2給出了t時刻衛(wèi)星參數(shù)計算模塊的設(shè)計框圖，框圖中的軌道參數(shù)和攝動參數(shù)都是星歷下發(fā)的參數(shù)。

當(dāng)calc_en為由低電平跳變到高電平時，整個模塊開始工作。同理，其他子模塊在對應(yīng)的控制信號拉高的時候開始工作，送出輸出參數(shù)和控制信號。部分?jǐn)?shù)據(jù)信號插入緩存，以達到數(shù)據(jù)同步的目的。若模塊計算一個數(shù)據(jù)需要T時間，某個時刻輸入t，則同時輸出(t-T)時刻的μ、r、i、Ωk，T時間后輸出t時刻的參數(shù)，通過預(yù)先偏移時間T完成實時計算。

圖2 t時刻衛(wèi)星參數(shù)FPGA設(shè)計框圖

在圖2中的計算除了加、減、乘等簡單運算，還涉及到了大量了的三角函數(shù)、反三角函數(shù)和開方運算這樣的復(fù)雜運算。本文采用CORDIC算法來進行這些復(fù)雜運算的求解。CORDIC算法相比于ROM查找表和多項式近似法等方法，節(jié)約了硬件資源[6]，增加角度的旋轉(zhuǎn)次數(shù)就可以提高精度，方便FPGA的實現(xiàn)。CORDIC算法的實現(xiàn)可采用循環(huán)迭代結(jié)構(gòu)或流水線結(jié)構(gòu)，流水線結(jié)構(gòu)能夠提高系統(tǒng)的工作頻率，循環(huán)迭代結(jié)構(gòu)節(jié)約硬件邏輯資源，應(yīng)根據(jù)系統(tǒng)的速度和資源占用的需求來選擇合適的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)。圖3為CORDIC算法實現(xiàn)的硬件結(jié)構(gòu)圖，其采用流水線結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)系統(tǒng)速度的提升。

圖3 CORDIC算法硬件結(jié)構(gòu)圖

如圖3所示，CORDIC算法將三角和反三角等函數(shù)的計算轉(zhuǎn)化成加、減和移位等便于硬件實現(xiàn)的操作。arctan(2-i)查找表通過一個小容量的ROM實現(xiàn)。圖3所對應(yīng)的迭代公式為

(8)

式(8)中的zi為角度累加器，在計算三角函數(shù)時，zi=0時結(jié)束迭代。di的正負由角度累加器來進行判斷，di=1時，表示逆時針旋轉(zhuǎn)；di=-1時，表示順時針旋轉(zhuǎn)。式(8)中對tanθi=2-i做了近似的代替，這使得復(fù)雜的超越方程成了簡單的移位運算，大大提升了運算效率。

CORDIC算法的旋轉(zhuǎn)模式可以求解正弦函數(shù)sin和余弦函數(shù)cos，向量化模式可以求解反正切函數(shù)arctan和向量模值。

根據(jù)文獻[7],在圓坐標(biāo)系中，對輸入向量(X0,Y0)經(jīng)過n次角度旋轉(zhuǎn)，得到結(jié)果為

(9)

在圓坐標(biāo)系中向量化模式的原理和旋轉(zhuǎn)模式是類似的，唯一的不同就在于，輸入向量通過n次旋轉(zhuǎn)后與X軸對齊，旋轉(zhuǎn)的方向由Yi決定。

CORDIC旋轉(zhuǎn)器對輸入向量旋轉(zhuǎn)n次之后，得到的結(jié)果為

(10)

2.2 時序設(shè)計

為了獲得高速的運算速度，整個FPGA程序設(shè)計采用了流水線技術(shù)。流水線技術(shù)只需占用少量的硬件資源，就可以大大的提高運算速度，是以面積換取速度的典型設(shè)計方法[8]。將整個衛(wèi)星軌道的運算系統(tǒng)進行分解，分解成小規(guī)模的運算單元，將運算結(jié)果存儲在寄存器中，隔離兩個運算單元，該運算單元在下一個時鐘周期又根據(jù)輸入進行計算，從而實現(xiàn)流水線。這樣大大縮短了整個系統(tǒng)在首次延遲后的運算的時間。本文中FPGA的流水線結(jié)構(gòu)圖如圖4所示。

圖4 流水設(shè)計

根據(jù)圖4的流水結(jié)構(gòu)圖可以看出，整個系統(tǒng)被分解成了5個大的運算模塊構(gòu)成4級流水系統(tǒng)。每一個運算模塊中也采用了流水式的設(shè)計，以提高每個模塊的運算速率。第1級流水，Step1讀取衛(wèi)星星歷參數(shù)、更新后的觀測時間t和控制信號，根據(jù)圖2中所設(shè)計框圖的流程運算，輸出t時刻攝動校正后的μ、r、i、Ωk和控制信號，將其存入1級寄存器，在input2時重復(fù)上述操作。第2級流水，Step2讀取控制信號和存入1級寄存器中的數(shù)據(jù)，進行衛(wèi)星在軌道平面的位置計算，將計算結(jié)果和控制信號存入2級寄存器，再讀取1級寄存器中更新后的數(shù)據(jù)重復(fù)上述操作。第3級流水，Step3讀取控制信號和存入2級寄存器中的數(shù)據(jù)，進行衛(wèi)星在WGS-84坐標(biāo)系的位置計算，將計算結(jié)果和控制信號存入第3級寄存器，再讀取2級寄存器更新數(shù)據(jù)后和控制信號重復(fù)上述操作。第4級流水，Step4讀取第3級寄存器中的數(shù)據(jù)和控制信號，計算衛(wèi)星在WGS-84坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，將運算結(jié)果和控制信號存入第4級寄存器，再讀取第3級寄存器更新后的數(shù)據(jù)和控制信號重復(fù)上述操作。最后如圖4所示，整個系統(tǒng)就實現(xiàn)了流水并行式的操作。每一模塊都在時時刻刻進行運算，不需要等上一模塊的結(jié)束，大大地提高了整個系統(tǒng)運算速率。

系統(tǒng)的首次延遲為1 374個時鐘周期，大約耗時1.4 μs。當(dāng)整個系統(tǒng)流動起來之后，一個cycle的延時為36個時鐘周期，因此在時鐘頻率為100 MHz時，36 ns就能計算出一個結(jié)果。程序的最終的資源使用情況：寄存器使用37 468；LUT使用26 686；RAM/FIFO使用6；DSP48E1s使用225。

2.3 數(shù)據(jù)量化與精度設(shè)計分析

相比于浮點數(shù)，定點數(shù)在FPGA中占用的資源更少，運算速度更高。在精度滿足要求的情況下，定點數(shù)相比于浮點數(shù)在FPGA中更加合適。因此在本文設(shè)計的衛(wèi)星軌道計算系統(tǒng)中，將有符號浮點數(shù)量化成有符號定點數(shù)，以達到更少的資源占用和更高的運算速度。在有符號浮點數(shù)量化成有符號定點數(shù)的過程中，小數(shù)有效位寬不同量化后的定點數(shù)精度就不同，小數(shù)有效位寬越大，則量化后的定點數(shù)精度就越大。若量化后的小數(shù)有效位寬為n，則定點數(shù)的精度為1/2n。同時在對浮點數(shù)進行量化時，在數(shù)據(jù)不溢出的情況下，存在一定的量化誤差。比如數(shù)7.512，在量化成1位符號位、6位整數(shù)位和1位小數(shù)位的情況下，量化后的定點數(shù)二進制如圖5所示，表示的十進制為22+21+20+2-1=7.500，因此產(chǎn)生了0.012的量化誤差。通過小數(shù)位的所在位置，能夠有效地將定點數(shù)還原成與之對應(yīng)的十進制數(shù)值。

綜上所述，人民幣匯率政策變動的宏觀經(jīng)濟效應(yīng)十分顯著，但影響的方向和程度與人民幣匯率所處的周期密切相關(guān)。具體而言，順應(yīng)匯率周期的制度改革對宏觀經(jīng)濟有正向影響，而逆匯率周期的制度改革對宏觀經(jīng)濟有負向影響；從匯率制度改革的長短期效應(yīng)來看，匯率制度變化往往在短期內(nèi)對宏觀經(jīng)濟的沖擊較大，而在長期逐漸趨于平穩(wěn)。匯率制度變化對宏觀經(jīng)濟的沖擊方向在長短期并不一致，短期內(nèi)有效的政策從長期來看可能有失誤，短期內(nèi)造成“陣痛”的政策從長期來看意義頗大；此外，不僅匯率制度變化對宏觀經(jīng)濟有影響，宏觀經(jīng)濟的運行形勢對匯率制度變化也有相當(dāng)大的制約作用，若兩者出現(xiàn)“錯配”，將會對宏觀經(jīng)濟穩(wěn)定和國內(nèi)金融安全帶來巨大的壓力。

圖5 8 b定點數(shù)結(jié)構(gòu)

浮點數(shù)量化成定點數(shù)的具體量化公式為

(11)

式中：s為符號位的值，ffloat、lbw分別表示小數(shù)位寬和總的量化位寬，xi表示有效位。

整個運算過程中，每一個參數(shù)的小數(shù)部分量化位寬，對最后的運算結(jié)果有極大的影響。在保證精度的情況下，小數(shù)的有效位寬要盡可能地小，避免FPGA資源浪費。因此本文采用控制變量法對每一個參數(shù)做小數(shù)有效位寬對結(jié)果的誤差分析，以尋找每個參數(shù)的最佳小數(shù)部分量化位寬。圖6所示為衛(wèi)星矢徑長度r的小數(shù)有效位寬對距離精度的影響。

圖6 衛(wèi)星矢徑長度對距離精度影響

圖6縱坐標(biāo)表示的絕對誤差是相關(guān)參數(shù)量化后計算的距離結(jié)果和距離理論值之間絕對誤差。從圖6可以看出，當(dāng)衛(wèi)星矢徑長度r的小數(shù)有效位寬為5 b、6 b、7 b和8 b的時候，絕對誤差是比較接近的。綜合資源占用和精度要求方面考慮，取r的小數(shù)有效位寬長度為6 b，則此時的絕對誤差為0.367 8 cm。根據(jù)圖6中的分析手段，依次對每個參數(shù)量化后的小數(shù)有效位寬對精度的影響進行分析，表1給出了部分參數(shù)量化后的小數(shù)有效位寬對誤差的影響。對比三個小數(shù)有效位寬所帶來的誤差可以得到的結(jié)果是，當(dāng)取到合適的小數(shù)有效位寬后，再增加小數(shù)的有效位寬并不能使誤差明顯減小。因此，本文將中間的小數(shù)有效位寬作為對應(yīng)參數(shù)的最佳小數(shù)有效位寬。

表1 部分參數(shù)量化小數(shù)有效位寬與誤差關(guān)系

3 仿真結(jié)果

為了驗證整個衛(wèi)星軌道實時計算系統(tǒng)的正確性，本文借助ISE DesignSuite14.7軟件搭建衛(wèi)星軌道實時計算系統(tǒng)并進行仿真實驗。衛(wèi)星星歷參數(shù)和參考時間來源于衛(wèi)星PRN-1在某日下發(fā)的一組參數(shù)，該衛(wèi)星軌道高度為20 200 km，屬于中軌GPS導(dǎo)航衛(wèi)星；精確度和實時性基于衛(wèi)星星歷，具體參數(shù)取值如表2所示。

表2 輸入數(shù)據(jù)參數(shù)表

將表2中的衛(wèi)星星歷參數(shù)和觀測時間t，以及地面接收站的WGS-84坐標(biāo)系坐標(biāo)參數(shù)作為仿真實驗的輸入，構(gòu)建仿真環(huán)境，進行仿真實驗。本文將100 MHz作為仿真的時鐘頻率，根據(jù)表2中的參數(shù)仿真出來的結(jié)果如圖7所示。

圖7 衛(wèi)星位置計算FPGA實現(xiàn)仿真

圖7中res_yan、res_a和res_I分表表示仰角、方位角和距離，其中res_yan和res_a均為29 b小數(shù)位的定點小數(shù)，res_l為5 b小數(shù)位的定點小數(shù)。將方位角轉(zhuǎn)換為非定點小數(shù)后，還應(yīng)該將其變換到-π/2～π/2的范圍。將結(jié)果轉(zhuǎn)換成有符號浮點數(shù)，分別為res_yan=1.142 332 764 342 427、res_a=0.709 529 560 180 858和res_I=17 406 452.375，而理論數(shù)據(jù)分別為1.142 332 789 655 088、0.709 529 472 943 342和17 406 452.417 841 10。通過對比理論數(shù)據(jù)和仿真數(shù)據(jù)可以得出仿真數(shù)據(jù)和理論數(shù)據(jù)是非常接近的，驗證了整個衛(wèi)星軌道實時計算系統(tǒng)的正確性。

4 結(jié) 論

本文利用FPGA進行衛(wèi)星位置的實時高時空分辨率預(yù)報，采用CORDIC算法實現(xiàn)開方、三角函數(shù)和反正切運算，采用流水線技術(shù)提高整體的運算速度。采用該方法，衛(wèi)星信號模擬器在生成每一個采樣點的模擬信號時都可以依據(jù)更新的衛(wèi)星位置對時變的角誤差、時變的時延、時變的時延變化或時變多普勒進行高精度的模擬，與存儲查表預(yù)報法相比，可以避免難以實現(xiàn)的海量存儲問題。