馬 誠，李云紅，陳錦妮

(西安工程大學 電子信息學院 西安 710048)

0 引 言

信源數(shù)目估計是盲信號分離算法應(yīng)用的前提，也是一個技術(shù)難點[1-2]。盲信號分離[3-6]也一直是信號處理領(lǐng)域的研究熱點，其可以根據(jù)混合信號和源信號的維數(shù)分為欠定[7]、適定[8]、超定[9]三種情況。目前，大多數(shù)盲信號分離算法屬于適定盲分離[10-11]，即源信號維數(shù)與混合信號維數(shù)相等，然而在實際應(yīng)用中，源信號維數(shù)往往未知且處于動態(tài)變化中，并且信號在傳播過程中易受噪聲的干擾，因此，信源數(shù)目準確估計的難度大幅度提高，并直接影響盲信號分離效果。

隨著盲信號分離算法的發(fā)展，出現(xiàn)了一些性能較好的盲信號分離算法。主分量分析[12]作為其中分離性能較好的方法之一，其假定信號服從高斯分布，只考慮信號的二階統(tǒng)計特性，而無法描述信號的概率分布特性。非線性主分量分析[13](Nonlinear Principle Component Analysis)方法通過在算法中添加非線性函數(shù)，使得變換后的信號服從高斯分布，因而算法實質(zhì)上考慮了信號的高階統(tǒng)計特性。核主分量分析方法的提出，進一步拓展了其應(yīng)用范圍。

目前，盲信號分離主要面臨兩個主要難題：一是傳感器接收到的信號會受到信道噪聲的影響；二是混合信號的維數(shù)不一定和源信號的維數(shù)相等。這就使得信道噪聲去除和源信號維數(shù)估計顯得尤為重要。因此，針對上述問題，本文提出基于信源數(shù)目估計的超定盲源信號分離方法，能有效去除信道中的噪聲，并對源信號維數(shù)準確估計，實現(xiàn)盲信號的準確分離。

1 數(shù)據(jù)預(yù)處理

1.1 含噪數(shù)據(jù)的預(yù)白化處理

含信道噪聲的盲信號分離的數(shù)學模型如下：

X(m×N)=A(m×n)·S(n×N)+ξ(m×N)。

(1)

式中：S=[s1,s2,…,sn]T為n維源信號，A是m×n維混合矩陣，ξ表示信道噪聲，N代表信號樣本個數(shù)，X=[x1,x2,…,xn]T表示傳感器觀測的m維數(shù)據(jù)向量即混合信號。

白化是有效的盲源分離預(yù)處理方法。白化不僅可以消除原數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性，而且一定程度上可以抑制噪聲。

當樣本個數(shù)N足夠大時，并且假定源信號S已經(jīng)經(jīng)過單位化處理，根據(jù)中心極限定理觀測信號的協(xié)方差矩陣Σ可以表示為

Σ=AAT+ψ。

(2)

式中：Σ=XXT/N，噪聲協(xié)方差矩陣ψ=ξξT/N是對角矩陣。

標準主分量分析算法用于預(yù)白化處理，當公式(1)的噪聲為零時或者信噪比非常高時C-AAT應(yīng)該趨近于零。根據(jù)主分量分析思想，可將AAT進行特征值分解，如公式(3)所示：

(3)

式中：Λn表示由矩陣C的前n個最大的特征值組成的對角矩陣，Un是其對應(yīng)的特征向量。則有

(4)

令

z=Λn-1/2UnTX，

(5)

則有E(zzT)=In，代表z各個分量之間相互正交，即各維信號之間不相關(guān)。

對于包含信道噪聲的數(shù)據(jù)，特別是當信噪比較低時，公式(2)中的噪聲協(xié)方差矩陣ψ無法忽略，上述方法無法直接應(yīng)用。

采用類似于標準主分量分析方法，由公式(2)可發(fā)現(xiàn)，C-ψ應(yīng)該與AAT相等。式(2)中假定噪聲協(xié)方差矩陣ψ是已知的，然而實際上噪聲協(xié)方差矩陣ψ未知，因此必須估計噪聲協(xié)方差矩陣。建立如下的評價函數(shù)：

J(A,ψ)=tr[AAT-(C-ψ)][AAT-(C-ψ)]T。

(6)

很顯然，評價函數(shù)越小，C-ψ應(yīng)該與AAT越接近。評價函數(shù)的微分為

(7)

則可得到

(8)

1.2 噪聲協(xié)方差矩陣的估計

設(shè)x=Af+ε，其協(xié)方差矩陣具有結(jié)構(gòu)Σ=AAT+ψ。這里A是n×m階矩陣，rank(A)=m，則A和ψ的極大似然估計滿足下面的方程組：

(9)

式中：矩陣S滿足

(10)

公式(9)方程組的解并不唯一，并且迭代法求解方程組時算法也有可能不收斂。Joreskog提出了一種求解方法，同時滿足解的唯一性條件和算法的收斂性要求。

假設(shè)A和ψ滿足唯一性條件ATψ-1A=Δ，則A和ψ的極大似然估計滿足

(11)

而且tr[(AAT+ψ)S-1]=n。通過公式(11)可得到ψ的估計。

2 源信號維數(shù)估計

(12)

則變換完后新的數(shù)據(jù)為

z=Qx。

(13)

交叉驗證法(Cross-validation)是多變量統(tǒng)計技術(shù)常用的一種方法，其基本思想是，一組數(shù)據(jù)用來提取特征，另一組數(shù)據(jù)來對數(shù)據(jù)進行驗證。本文也將采用該方法對源信號的維數(shù)進行估計。

(14)

根據(jù)上述描述方法，用于噪聲去除和源信號估計的方法的簡要步驟如下：

Step1 根據(jù)信號X計算其協(xié)方差矩陣C，并設(shè)置噪聲協(xié)方差矩陣ψ的初始值。

Step5 重復Step 3和Step 4，直至估計值收斂。

3 仿真實驗

為了驗證本文方法的性能，選擇盲信號分離中常用的信噪比作為評價指標，其計算方式如式(15)所示：

(15)

3.1 輕拖尾與輕拖尾混合信號的源信號維數(shù)估計

圖1是由Matlab的系統(tǒng)函數(shù)生成的正弦波信號，周期分別為20 s和80 s，采樣點數(shù)為1 000，歸一化峭度分別為-1.297和-1.521。

圖1 源信號

圖2是線性混合后的信號。混合矩陣A服從區(qū)間[0,1]上均勻分布的6×2隨機矩陣，并在信道中添加高斯噪聲，信噪比為-10 dB。從圖2可看出，經(jīng)過線性混合之后，由于包含較強的高斯白噪聲，源信號已經(jīng)淹沒在噪聲信號中，無法看出原始信號。

圖2 線性混合信號

圖3 源信號維數(shù)估計

圖4是針對輕拖尾與輕拖尾混合信號采用擴展最大熵、Kernel ICA與高斯混合模型三種盲信號分離算法的信號分離結(jié)果。圖4(a)為擴展最大熵的信號分離效果，圖4(b)為Kernel ICA的信號分離效果，圖4(c)是經(jīng)過數(shù)據(jù)預(yù)處理后采用基于高斯混合模型盲信號分離算法的分離結(jié)果。通過對比可看出，經(jīng)過預(yù)處理后，可以很好地分離信號，并且分離信號與源信號較為接近。

(a)擴展最大熵分離信號

表1為三種方法的分離性能、運算時間的對比。從表中可知，高斯混合模型盲信號分離方法的信噪比最高，說明該方法的分離效果最好；同時，該方法運算時間也較少。

表1 三種方法分離輕拖尾與輕拖尾信號實驗結(jié)果

3.2 重拖尾與輕拖尾混合信號的源信號維數(shù)估計

圖5是兩個正弦波信號和一段真實語音信號，三個源信號的歸一化峭度分別為0.373 9、-1.297和-1.521，樣本點個數(shù)為1 000個。

圖5 源信號

圖6是線性混合后的信號，混合矩陣A為服從區(qū)間[0,1]上均勻分布的6×3隨機矩陣，并在信道中添加高斯噪聲，信噪比為-12 dB。從圖中可看出，經(jīng)過混合之后，各維信號混合較為明顯，已經(jīng)無法看出原始信號。

圖6 線性混合信號

圖7是采用本文預(yù)處理方法對源信號維數(shù)進行估計的結(jié)果，橫坐標為源信號數(shù)目的估計值，范圍為1～6。從圖中可以看出，當估計的維數(shù)為3時誤差值最小，也就是源信號的維數(shù)為3，這與真實信號數(shù)目是一致的。

圖7 源信號維數(shù)估計

圖8是針對重拖尾與輕拖尾混合信號采用擴展最大熵、Kernel ICA與高斯混合模型三種盲信號分離算法的信號分離結(jié)果。圖8(a)為擴展最大熵對重拖尾與輕拖尾混合信號的分離效果，圖8(b)為Kernel ICA的分離結(jié)果，圖8(c)是經(jīng)過數(shù)據(jù)預(yù)處理后采用基于高斯混合模型盲信號分離算法的分離結(jié)果。從圖中可看出，采用基于高斯混合模型盲信號分離算法經(jīng)過預(yù)處理后可以很好地分離信號，并且分離信號與源信號較為接近，該方法還可以有效地恢復出源信號。

(a)擴展最大熵分離信號

表2為三種方法的實驗對比結(jié)果。從運算時間和恢復效果來看，本文方法能在相對較短的時間內(nèi)對信號進行有效恢復。

表2 三種方法對比實驗性能

從兩組實驗的仿真結(jié)果可得出，對于多種類型的混合信號，本文提出的噪聲去除和源信號維數(shù)估計方法能對源信號維數(shù)準確估計，根據(jù)估計結(jié)果可對盲信號準確分離。

4 結(jié)束語

本文提出了一種用于信道噪聲去除和源信號維數(shù)估計的數(shù)據(jù)預(yù)處理方法。采用本文算法對含噪聲的輕拖尾與輕拖尾、重拖尾與輕拖尾兩組混合信號的源信號個數(shù)進行估計，仿真結(jié)果表明，該算法能去除信道中的噪聲并準確估計盲源個數(shù)，平均信噪比增加了2.4 dB，平均運行時間提高了近50%。但是，該方法主要適合于服從高斯分布的噪聲，對于其他分布類型噪聲去除效果并不理想，這一點還有待進一步改進。