謝 偉，陳 穎，楊 龍，王 娜，袁 田，王 茗

(1.中國西南電子技術研究所，成都 610036；2.中國人民解放軍63760部隊，南寧 530009)

0 引 言

在衛(wèi)星通信和測控通信等領域，隨著國內外關于全空域相控陣系統(tǒng)的研究與應用[1-2]，具有全空域覆蓋能力的相控陣系統(tǒng)大有替代傳統(tǒng)拋物面系統(tǒng)的趨勢。

對于相控陣的測角，常用的方法包括CAPON算法、子空間類算法[3]以及單脈沖測角方法[4-6]等。CAPON算法和子空間類算法雖然具備超分辨特性，但其計算過程復雜。相對而言，單脈沖類方法利用目標輻射信號的單個采樣快拍即可完成測角，對目標信號起伏不敏感，且原理簡單、實現(xiàn)復雜度低，在實際工程中應用最為廣泛。

單脈沖技術主要包括和差比幅[7]以及和差比相[8]兩類方法，且均已廣泛應用于相控陣系統(tǒng)。對于平面陣列，單脈沖技術的應用已趨于成熟，但對于具備全空域覆蓋能力的相控陣系統(tǒng)，僅有和差比相方法成功進行了應用擴展[2,9]，尚未見和差比幅方法在全空域系統(tǒng)中成功應用的報道。

受遮擋效應的影響，全空域系統(tǒng)在使用過程中需首先根據(jù)波束指向進行陣元激活狀態(tài)的計算[2]，這導致在不同的波束指向時陣列具有不同的激活狀態(tài)。與此同時，和差比相方法的應用需要將激活陣元進行區(qū)域劃分，且各區(qū)域增益的一致性和等效相位中心的對稱性直接決定了和差比相方法的性能。在子陣化、多面體拼接等工程化因素的約束下，全空域系統(tǒng)難以保證增益一致性和區(qū)域的對稱性，進而對適用陣列具有一定的限制。

和差比幅方法從不同波束接收信號的幅度中估計目標偏離等強軸方向的程度。顯然，和差比幅方法同樣適用于全空域系統(tǒng)，且其性能主要由幅度響應或波束方向圖決定，對陣元分布并沒有對稱性要求，因此可以作為和差比相方法的有效補充。

為將和差比幅方法擴展到全空域系統(tǒng)，本文給出了測向輔助波束的指向計算方法和子陣級多波束形成的計算方法，以降低多波束形成的計算和實現(xiàn)復雜度。仿真結果驗證了所提方法的有效性和優(yōu)越性。

1 信號模型

假設一個窄帶陣列系統(tǒng)由M個子陣組成，子陣內的陣元個數(shù)為L，則可將陣列指向方向p∈3×1的導向矢量寫作b(p)=[b1(p),…,bM(p)]T，其中，(·)T表示轉置，bm(p)=[bm1(p),…,bmL(p)]T表示子陣m指向方向p的導向矢量。若將陣元坐標和陣列波長分別表示為{dml∈3×1}m,l和λ，則有

(1)

式中：vml(p)和aml(p)分別表示子陣m中陣元l在方向p處的幅度和相位響應。若考慮子陣均是由均勻平面陣組成，則在子陣內不同陣元在同一方向的幅度響應可假設一致，也即

vm(p)?vm1(p)=…=vmL(p),m=1,2,…M。

(2)

ym(t)=vm(pt)am(pt)s(t)+nm(t)。

(3)

式中：am(p)=[am1(p),…,amL(p)]T，pt∈3×1表示目標信號的入射方向向量(對應球坐標系下方向可假定為方位角θt和俯仰角φt)，s(t)∈1×1表示目標信號傳輸?shù)阶鴺嗽c處的信號波形，nm(t)∈L×1表示子陣m接收到的噪聲矢量。對于數(shù)字相控陣系統(tǒng)而言，所有測角算法都是基于采樣得到的IQ信號{y(t)}t進行處理。

式(3)給出了陣列信號的一般性接收模型。該模型可以兼容實際工程中的絕大部分陣列，例如，對于小規(guī)模全空域陣列，陣面未進行子陣化分，則只需將上述參數(shù)L置1即可；而對于大規(guī)模共形陣(包括平面等常規(guī)陣列)，為了工程實現(xiàn)方便，大都采用子陣化設計、多級波束形成的架構[1]。

2 測向輔助波束的指向計算

比幅單脈沖技術需要至少形成4個指向不同的測向輔助波束，對于輔助波束的波束指向配置，可采用圖1所示方案(其他配置方案可參見文獻[7-8])。

圖1 波束指向配置示意圖

對于拋物面而言，pb1～pb4與pb的夾角關系固定且相等，而對于相控陣系統(tǒng)，各波束指向與等強軸方向的夾角可以由不同指向條件下橫縱向的實際波束寬度而進行靈活配置。

假定橫縱向輔助波束的偏角已確定(參見后文討論)，可在輔助坐標系下對測向輔助波束的具體角度進行計算，再通過輔助坐標系與陣面坐標系之間的關系計算陣面坐標系下測向輔助波束的具體指向。該輔助右手坐標系可選擇如下：坐標原點與陣面坐標系重合，x0軸指向等強軸方向，y0軸指向橫向方向，如圖2所示。由橫縱向和等強軸方向相互正交的關系可知，z0軸方向縱向方向重合。

圖2 陣面坐標系Oxyz和輔助坐標系Ox0y0z0關系示意圖

由定義可知，橫向同時垂直于等強軸方向和陣面坐標系中的z軸，因此橫向一定在陣面坐標系中的xOy平面內，且輔助坐標系的z軸、陣面坐標系的z軸以及等強軸方向一定共面。

根據(jù)兩個坐標系之間的幾何關系，可以通過兩次坐標旋轉實現(xiàn)兩個坐標系的轉換。以輔助坐標系到陣面坐標系的旋轉為例，可首先將Ox0y0z0坐標系繞y0軸逆時針旋轉φb，再繞z0軸順時針旋轉θb即可實現(xiàn)兩坐標系的重合，對應旋轉矩陣可表示為

(4)

根據(jù)等強軸方向pb、橫向(同時與pb和俯仰向相垂直的方向)波束寬度θh3dB、縱向(俯仰向)波束寬度θz3dB，可以直接確定在輔助坐標系下，測向輔助波束1～4的方向分別為(0,-qθz3dB)、(qθh3dB,0)、(0,qθz3dB)和(-qθh3dB,0)，其中，q是一個比例常數(shù)，表示輔助波束相對等強軸指偏角與3 dB波束寬度的比值，q越大，指偏越大，S曲線(即差和比)越陡峭，但波束接收信號的增益損失越大，且由于整個比幅測角的表達式是基于對方向圖函數(shù)進行高斯擬合的假設下得到，且利用到一階泰勒近似(參見第4節(jié))，因此方向圖僅在主瓣內的擬合誤差較小，綜合仿真分析結論(參見仿真驗證小節(jié))，建議q的取值在0.45左右。

利用輔助坐標系與陣面坐標系之間的轉換關系，可以得到

pb1=Γp0(0,-qθz3dB),pb3=Γp0(0,qθz3dB)，

(5)

pb2=Γp0(qθh3dB,0),pb4=Γp0(-qθh3dB,0)。

(6)

式中：p0(θ,φ)=[cosθcosφ,sinθcosφ,sinφ]T。至此，利用式(5)和式(6)并結合實際波束寬度，以及式(4)的兩坐標系的轉換矩陣便可計算得到測向輔助波束的具體指向。

3 子陣級多波束形成

由于和差比幅方法需要形成4個測向輔助波束，對于大規(guī)模陣列，可采用文獻[8]所述的子陣級多波束形成方法，以降低資源消耗。

子陣級波束形成分為子陣內加權合成和子陣間加權合成兩級。在子陣內，各子陣均指向等強軸方向pb，子陣m的合成數(shù)據(jù)可表示為(此處忽略了噪聲項)：

(7)

在子陣間，欲使全陣合成波束指向輔助波束方向pbk，子陣m的加權值wbkm可表示為[10]

(8)

進而，全陣合成指向第k個輔助波束方向pbk的波束數(shù)據(jù)zbk(t)以及對應幅度ubk(t)分別為

(9)

ubk(t)=|zbk(t)|。

(10)

4 和差比幅測角

基于相控陣的和差比幅測角在橫縱兩個方向上的處理完全一致，因此可以首先以一維測角(縱向)的情況對測角原理進行討論。

考慮圖3所示一維測向場景，圖中φt表示目標方向；φd、φ1、φ3分別表示等強軸方向、測向輔助波束1和3的指向且φd=φb-φ1=φ3-φb；Δz=φt-φb表示目標方向與等強軸方向的夾角，也即待估計的縱向指向角誤差。

圖3 一維比幅和差測角示意圖

在圖3所示場景下，兩波束在接收合成信號的幅度可分別表示為(以單快拍數(shù)據(jù)進行說明)

ub3=P0Fz(φ3-φt)=P0Fz(φd-Δz)，

(11)

ub1=P0Fz(φt-φ1)=P0Fz(φd+Δz)。

(12)

式中：P0是由目標信號發(fā)射EIRP、距離衰落和G/T值等因素決定的比例系數(shù)，F(xiàn)z(·)表示縱向的波束幅度方向圖。

對兩個波束接收信號做和差計算，可以得到縱向和信號uzΣ以及差信號uzΔ分別為

uzΣ=ub3+ub1，

(13)

uzΔ=ub3-ub1。

(14)

方向圖函數(shù)可用高斯函數(shù)對方向圖函數(shù)進行擬合，其表達式如下：

(15)

考慮誤差Δz是一個較小的數(shù)，則可將Fz(φd-Δz)和Fz(φd+Δz)在φd進行泰勒展開，近似后得到

(16)

(17)

uzΣ=2P0Fz(φd)，uzΔ=2P0rzφdFz(φd)Δz。

(18)

進而，縱向差波束信號與和波束信號的比值

(19)

以上結果說明，差和信號比值在一定范圍內是角誤差的線性函數(shù)，斜率為ρz。

對于橫向，類似于縱向的推導，可以得到橫向和信號uhΣ以及差信號uhΔ分別為

uhΣ=ub2+ub4，

(20)

uhΔ=ub2-ub4，

(21)

以及橫向差和比值

(22)

(23)

式中：Δh表示橫向角誤差，ρh表示橫向比例系數(shù)，θd表示橫向波束指向相對于等強軸的偏角。

基于式(9)、式(22)和式(23)，可以得到橫縱向誤差估計。與輔助波束指向的計算類似，方位向角誤差的估計并不能直接從橫向角誤差直接得到，但橫縱向誤差剛好就是在輔助坐標系下的方位角和俯仰角，因此在陣面坐標系下的目標方向可直接通過以下坐標旋轉的方式得到

pt=Γp0(Δh,Δz)。

(24)

式中：向量函數(shù)p0(Δh,Δz)與式(5)中的定義一致。

5 角度濾波與跟蹤

整個測角算法的推導過程中利用高斯函數(shù)對方向圖函數(shù)進行擬合，在目標方向先驗誤差較大或方向圖函數(shù)不夠對稱的條件下擬合誤差較大。同時，波束寬度會隨著波束指向的變化而變化，而實際工程中不可能將每個指向的波束寬度進行測量。

高斯擬合誤差和波束寬度誤差均會引入誤差到比例系數(shù)ρh和ρz當中，進而惡化比幅測角的性能。由于比例系數(shù)是由波束寬度和指偏角決定的正實數(shù)，因此可將誤差建模為乘性誤差。

為提升在乘性誤差的條件下的測角精度，可以采用迭代多次實施測角；也可以采用濾波的方式，通過環(huán)路參數(shù)與波束指向的自適應調整，實現(xiàn)目標的角度的閉環(huán)測量與跟蹤。常用的濾波方式包括環(huán)路濾波以及卡爾曼濾波，其中環(huán)路濾波器以其物理含義明確、實現(xiàn)簡單、性能優(yōu)越等特點，已在包括角跟蹤系統(tǒng)在內的眾多領域中得到了廣泛的應用。

基于和差比相與和差比幅的環(huán)路濾波具有相同的原理?，F(xiàn)有角跟蹤方案包括角度跟蹤(對方位角和俯仰角進行濾波)和三軸跟蹤(對直角坐標系下的指向向量進行跟蹤)兩類，其中角度跟蹤會涉及到過頂條件下目標方位角的突變和俯仰角角速度的突變問題。

文獻[2]提出的三軸跟蹤方法在估計到橫縱向角誤差后，首先計算方位向和俯仰向角誤差，然后在此基礎之上計算指向誤差向量，最后再對目標方向向量進行環(huán)路濾波。在方位向角誤差的計算過程中采用了一個近似的表達式，該表達式在低俯仰角處的近似程度很高，但在高俯仰角處其近似誤差不可忽略。為避免該問題，可直接利用式(24)得到的目標指向向量估計結果pt，將其減去等強軸方向pb，即可得到指向誤差向量Δp：

Δp=pt-pb。

(25)

再利用pb和Δp進行環(huán)路濾波，便可實現(xiàn)對目標在下一個時刻方向的預測，進而根據(jù)預測結果調整波束指向pb，再進行指向誤差向量Δp計算、濾波以及其他迭代操作，直到跟蹤穩(wěn)定(對于靜止目標)或者目標消失為止(對于動目標)。環(huán)路濾波技術已趨于成熟，其具體原理此處不做贅述，可參見文獻[2]和[9]。

現(xiàn)將本文討論方法的計算過程匯總如下：

Step1 離線確定橫縱向波束寬度(θh3dB、θz3dB)以及輔助波束的指偏角θd和φd(對于不同指向條件下，波束寬度變化大的陣列，可存儲多個波束寬度值)；確定目標方向向量pb。

Step2 利用式(5)和式(6)計算輔助波束指向pb1～pb4。

Step3 多波束形成，利用式(9)和式(10)計算各輔助波束接收信號幅度ub1(t)～ub4(t)。

Step4 計算橫縱向和信號uhΣ、uzΣ與差信號uhΔ、uzΔ，計算方式參見式(13)、式(14)和式(20)、式(21)。

Step5 利用式(19)和(22)、(23)計算橫縱向比例系數(shù)ρh、ρz和差和比Gh、Gz。

Step6 計算橫縱向角誤差估計值：Δh=Gh/ρh，Δz=Gz/ρz(對于多快拍情況，角誤差估計值做平均即可)。

Step7 利用式(24)和式(25)計算目標方向誤差向量Δp。

Step8 將目標方向誤差向量進行環(huán)路濾波，并將濾波結果更新目標方向向量pb，再重復執(zhí)行Step 2～ 8，直至目標消失(動目標)或收斂(靜止目標)。

在計算量方面，提出方法需要進行4次加權合成，得到4個波束。采用陣元級多波束形成和子陣級多波束形成的計算復雜度分別為O(4MLT)和O(ML(T+1)+4MT)，其中T表示采樣快拍數(shù)。在測角過程中的其他步驟中，主要的計算量在于Step 5中的差和比計算和Step 6中的角誤差估計，其計算復雜度為O(4T)，其余步驟中，輔助波束指向計算(需56個乘加運算)、比例系數(shù)計算(可離線計算)、方向誤差向量計算(需11個乘加運算)均與快拍數(shù)無關?？偟挠嬎銖碗s度約為O((5ML+4M+4)T+ML+67)。

6 仿真驗證

本節(jié)主要從差零深、指偏角影響、固定目標測角和運動目標角跟蹤四個方面對比幅單脈沖測角方法進行仿真分析，為保證分析結果在實際工程中應用的合理性，仿真中均考慮了陣元幅度誤差(-0.5～0.5 dB均勻分布)和相位誤差(-20°～20°均勻分布)。

考慮一個由26個面組成(足球32面體去掉6個最低俯仰角處的面)的陣列，該陣列包含正5邊形子陣11個，每個子陣由16個陣元組成，正6邊形子陣15個，每個子陣由19個陣元組成，共計461個陣元。天線頻率考慮為2 GHz，陣列在x、y、z方向的孔徑分別約為1.5 m、1.5 m和1.2 m。在具體布陣方面，兩種類型的子陣內部陣元坐標分布分別一致，對于正6邊形子陣，陣元間距均為0.75λ；對于正5邊形子陣，陣元間距在0.67～0.78λ之間，同時考慮單陣元的波束寬度為100°。整個陣面的子陣劃分以及陣元位置如圖4所示。

圖4 球面陣子陣劃分以及陣元坐標示意圖

為對比幅和比相兩種方法的差方向圖進行對比，需要首先對陣列進行激活與區(qū)域劃分。本文以波束指向與陣元法向夾角為60°為條件進行激活判斷，同時將激活陣元進行橫縱向區(qū)域劃分，可得激活和區(qū)域劃分結果如圖4所示，圖中紅、綠、藍、黃四種顏色分別標識出了在波束指向(72°,26.6°)(剛好是中心正五邊形子陣的法線方向)時的區(qū)域1～4。

圖5給出了基于圖4區(qū)域劃分方式得到的和差差波束方向圖，其中子陣級區(qū)域劃分采用了圖4中數(shù)字編號的劃分方式，子陣化區(qū)域劃分可簡化系統(tǒng)的實現(xiàn)復雜度，但其對稱性已經(jīng)被嚴重破壞。需注意，圖4展示條件在陣元級區(qū)域劃分時對稱性良好，但若改變波束指向，在上述激活規(guī)則下同樣無法保證區(qū)域間的對稱性。

圖5 比相單脈沖方法的和差波束方向圖

由圖5可以看到，陣元級區(qū)域劃分后差零深均在30 dB以內，子陣級劃分后縱向差零深達到了43 dB，但橫向差零深惡化十分嚴重。

根據(jù)圖5中的和波束得到橫縱向波束寬度均為7.4°。圖6給出了q=0.45條件下(波束指偏角均為3.3°)橫縱向指偏波束以及差波束曲線，其中輔助波束的波束形成采用了子陣級波束形成方法。

圖6 比幅單脈沖方法輔助波束以及差波束方向圖

由圖6可以看到，子陣級波束指向與設置值出現(xiàn)了約0.5°的指向偏差和約0.3 dB的增益損失。其原因在于子陣級波束形成中，子陣的波束指向固定且偏離于輔助波束指向，而合成波束由子陣波束和陣因子的乘積決定，由此帶來最大增益與設置方向的偏差與增益損失(在子陣數(shù)量更多時，該損失可以降低)。除此之外，比幅方法展現(xiàn)出了優(yōu)越的差波束性能，差零深均達到50 dB。

圖7考察了式(19)和式(22)、(23)中差和比Gz以及Gh與角誤差的關系，以及利用差和比與比例系數(shù)ρz和ρh計算角誤差的擬合誤差。由比例系數(shù)ρz和ρh的表達式可知，q越大，比例系數(shù)越大，因此差和比僅給出了q取值0.45的曲線；擬合誤差的子圖中給出了q分別取0.15、0.3、0.45、0.6和0.75的情況。

圖7 理想與實際S曲線/擬合誤差對比圖

從圖7可以看到S曲線在±5°區(qū)間內基本呈現(xiàn)線性的的關系，與理想曲線重合度較高。同時擬合誤差曲線表明，近似線性的區(qū)域隨著q的增加而減小。若且q取值太小(取值0.15或0.3)或太大(取值0.75)，在近似線性的區(qū)間內誤差波動也較大，且在q取值太小時誤差曲線有個明顯上翹的現(xiàn)象。綜合考慮，可將q取值為0.45～0.6。考慮到q越大增益損失越大，因此建議q取0.45即可，但具體取值應根據(jù)具體應用場景分析決定。

由圖7仿真結論可知，受模型誤差影響，和差比幅方法的單次測角具有一定偏差。同時由于模型誤差屬于乘性誤差，測角偏差可以通過掃描、迭代閉環(huán)求解或環(huán)路濾波的方式解決。其中，后兩類方法均屬于閉環(huán)處理的方法，但迭代閉環(huán)求解僅適合于靜態(tài)目標場景，而環(huán)路濾波對靜態(tài)和動態(tài)目標均適用。因此，此處僅以基于環(huán)路濾波的動態(tài)目標跟蹤為例進行性能驗證。

考慮一個1 000 km高度圓軌道衛(wèi)星的過頂場景，目標從俯仰角60°上升，過頂后下降到另一個方向的60°，其中最高俯仰角到達89.6°。為模擬實際工作場景，考慮波束指向更新周期50 ms，每個指向更新時刻用于測角的采樣快拍數(shù)為512個點，陣元在其法向與波束指向夾角60°以內時激活。環(huán)路濾波采用二階環(huán)路濾波器，環(huán)路帶寬設置為2 Hz。仿真中，將橫縱向波束寬度和輔助波束指偏角分別固定為7°和3.15°(q=0.45)，信號考慮為碼速率為1 Mb/s的BPSK信號，成形因子0.5，初始時刻波束指向相對于真實目標方向的方位、俯仰向誤差分別為-3°和-3°，合成后信號的信噪比設置為10 dB。

圖8在給出目標真實方位和俯仰角的同時也給出了利用本文測角方法結合二階環(huán)路器的跟蹤結果，圖9給出了測角誤差曲線。作為對比，同時對和差比相方法進行了仿真，但對于子陣級和差比相以及陣元級和差比相方法，均無法收斂。

圖8 目標跟蹤角度和估計角度曲線

圖9 目標測角跟蹤誤差曲線

從圖8和圖9可以看到，在實驗條件下，比幅輔助以二階環(huán)路的測角跟蹤方法在高仰角處也能得到很好的跟蹤性能，約1 s即可實現(xiàn)收斂，收斂后夾角誤差的均方根誤差(Root Mean Square Error,RMSE)約為0.07°。

圖10給出了測角RMSE隨信噪比的變化情況，其中，RMSE曲線由200次獨立仿真結果統(tǒng)計得到，其余條件與圖9仿真條件一致。

圖10 目標測角跟蹤誤差曲線

從圖10可以看到，在合成后信噪比-10～10 dB的區(qū)間內，RMSE隨SNR呈近似線性的關系，而在大于10 dB條件下，RMSE減小程度不再明顯。同時，在SNR大于-5 dB時即可實現(xiàn)0.1倍波束寬度的測角性能，且在高SNR(大于10 dB)條件下，夾角均方根誤差達到0.07°。

7 結 論

本文研究了和差比幅方法在全空域陣列系統(tǒng)中的擴展，解決了測向輔助波束的指向計算問題，提出了一種基于高斯擬合的和差比幅測角方法，優(yōu)化了角度濾波實現(xiàn)過程中角誤差向量的估計方法，并通過仿真對算法進行了驗證。仿真結果表明，在陣元對稱性較差的條件下，和差比相方法幾乎失效，但和差比幅方法仍然保持了較好的性能。與和差比相方法相比，和差比幅方法無需進行區(qū)域劃分，在原理上可適用于任意陣型，但受測向輔助波束的限制，其計算復雜度更高，可作為和差比相方法的有效補充。