武沖鋒

（晉能控股陽泉固莊煤業(yè)有限公司，山西陽泉 045060）

0 引言

隨著機械設(shè)備不斷向智能化和精密化方向發(fā)展，軸承作為機械設(shè)備的關(guān)鍵部件，其性能退化直接影響整個設(shè)備的性能[1-4]。為此，對軸承進行實時監(jiān)測和剩余壽命預(yù)測有著十分重要的研究價值和意義。現(xiàn)研究階段可將剩余壽命預(yù)測的方法大致分為基于物理失效模型、基于知識表示和數(shù)據(jù)驅(qū)動的方法[5]。面對復(fù)雜的設(shè)備，獲得物理模型是很困難的，知識表示方法更適合定性推理，不太適合定量計算，而且很難獲得完整的知識。然而，數(shù)據(jù)驅(qū)動的預(yù)測方法，通過對軸承性能數(shù)據(jù)的描述，提取有用的信息并預(yù)測剩余壽命[6]。Si等[7]將數(shù)據(jù)驅(qū)動方法的伽馬分布、回歸模型、Wiener過程和隨機濾波模型[8]等RUL模型進行總結(jié)分析。Pei等[9]提出雙時間尺度的隨機退化設(shè)備的非線性退化模型。Zhai等[10]提出基于高階隱半馬爾科夫模型的剩余壽命預(yù)測模型。上述數(shù)據(jù)驅(qū)動的方法大多需要假設(shè)退化模型和參數(shù)估計，而參數(shù)估計方法在模型選擇上存在局限性，過分依賴概率密度函數(shù)形式的先驗定義，因此不能保證預(yù)測模型的準確性和適用性。

本文提出一種軸承核密度估計的非參數(shù)剩余壽命預(yù)測模型，該方法不對數(shù)據(jù)分布附加任何假設(shè)，而是從數(shù)據(jù)本身研究數(shù)據(jù)分布的特點，避免了大多數(shù)數(shù)據(jù)驅(qū)動方法需要模型假設(shè)和參數(shù)估計的問題。該模型在核估計窗寬的選取上引入局部窗寬因子構(gòu)建自適應(yīng)窗寬模型。模型通過計算樣本點的密度來自適應(yīng)選擇樣本點窗寬，提高了核密度估計窗寬選擇的可靠性，從而提高了預(yù)測精度。最后通過軸承磨損試驗驗證了所提模型的適應(yīng)性和準確性。

1 核密度估計模型的構(gòu)建

核密度估計方法不利用數(shù)據(jù)分布的先驗知識，不對數(shù)據(jù)分布進行假設(shè)，它是一種用于從數(shù)據(jù)本身估計未知變量的概率密度函數(shù)的方法[11-12]。其由已知的N個樣本點，通過選擇任意核函數(shù)及窗寬得到N個核函數(shù)，通過線性疊加得到核密度的估計函數(shù)。設(shè)Δx1,Δx2,…,Δx n為n個獨立且同分布的退化樣本，f(Δx)為其服從十五概率密度函數(shù)，則核密度估計的概率密度函數(shù)f^(Δx)表示為：

式中：h為窗寬；K(·)為核函數(shù)；n為樣本數(shù)。

其中，K(·)和h選用的恰當與否決定了核估計的準確度高低。核函數(shù)作為影響核密度估計的一個因素，一般情況下任何函數(shù)都可作為核函數(shù)，常用的有四次核、均勻核、三角核和高斯核。核函數(shù)的選擇雖多，但對核密度估計的準確度作用不大。本文選用廣泛應(yīng)用的高斯核函數(shù)。即：

窗寬h作為影響核密度估計平滑性和核函數(shù)寬度的主要因素，當h較小時，核密度估計曲線不平滑且曲折，揭示了更多細節(jié)；當h較大時，核密度估計曲線平滑，但會覆蓋更多的細節(jié)。因此，選擇合適的窗寬對核密度估計是非常重要的。

2 自適應(yīng)窗寬模型建立

目前自適應(yīng)窗寬是窗寬選擇的主流方向，其本質(zhì)是隨著樣本點的增加能夠自適應(yīng)的選取窗寬，減少了計算量。在現(xiàn)有研究階段常用的自適應(yīng)窗寬方法大多采用的是通過式（3）積分均方誤差求其最小值得到初始最優(yōu)窗寬h n。

核密度估計模型中的初始最優(yōu)窗寬h n，通過式（3）積分均方誤差求其最小值點得到：

將高斯核函數(shù)代入式（4）可求出h n為：

式中：σn為n個初始樣本特征退化增量的方差。

該窗寬方法解決了樣本數(shù)據(jù)實時變化時選擇窗寬和實際中固定窗寬造成的過度（不足）擬合問題。如果樣本分布是近似正態(tài)的，這種方法是最佳選擇。然而，當樣本分布不對稱或有多個峰值時，該方法會導(dǎo)致過度平滑，精度需要提高。

然而，在實時監(jiān)測軸承的核密度估計過程中，為了提高窗寬對真實樣本數(shù)據(jù)分布的適應(yīng)性，引入了一個反映基于最優(yōu)窗寬h n的樣本點分散度的函數(shù)λi來自適應(yīng)選擇窗寬。λi可通過式（6）各個樣本點處的概率密度得到：

將函數(shù)λi與式（5）計算出窗寬h n相乘可得自適應(yīng)窗寬h i：

從而使得不同樣本的窗寬可以根據(jù)樣本數(shù)據(jù)的稀疏程度進行自適應(yīng)調(diào)整，以更好地滿足實踐中核密度估計的需要。

因此，將自適應(yīng)窗寬h(Δx i)方法引入核密度估計的模型中，從而構(gòu)建自適應(yīng)核密度估計的表達式為：

由于在實際應(yīng)用中樣本數(shù)據(jù)都是實時更新的，如果每增加一個樣本都對其從頭開始計算，那么計算量會隨數(shù)據(jù)的增多變得復(fù)雜化。所以，為使核估計的計算性能得到提升，通過用已知的n個樣本的核估計推導(dǎo)第n+1個樣本的核密度估計，來實現(xiàn)核密度估計的實時更新。

3 實時剩余壽命

3.1 特征退化分布的計算

假設(shè)t n為軸承退化狀態(tài)時間，可得到[0,t n]時間內(nèi)所有退化樣本的特征退化隨時間變化的趨勢可由圖1所示。為使設(shè)備的剩余壽命預(yù)測準確，由核密度估計可得[0,t n]隨機退化增量的概率密度，推出[0,t n]上隨機退化增量累計特征退化量的，可由n重卷積得到：

圖1 樣本特征退化隨時間變化的曲線

3.2 剩余壽命預(yù)測模型

設(shè)t n+t時刻，特征退化量達到（圖1）時軸承失效。剩余壽命預(yù)測的實現(xiàn)，要對當前t n時刻的剩余壽命預(yù)測，通過初始時刻到當前t n時刻的退化量（記，推出t n+t時刻的。設(shè)T為設(shè)備的剩余壽命，則剩余壽命的概率密度分布函數(shù)F T(t)為：

其中，[0,t n+t]特征退化量的概率密度為：

剩余壽命預(yù)測的概率密度為：

從而能夠推出t n時刻剩余壽命的概率密度函數(shù)為：

隨著實時監(jiān)測的進行，監(jiān)測的樣本數(shù)量不斷增加，樣本的核密度估計也不斷更新。當使用非實時壽命預(yù)測模型時，基于這些樣本的核密度估計必須為每一個新的樣本數(shù)據(jù)重新計算，這導(dǎo)致歷史樣本不斷被重新計算，計算量越來越大。為避免實時監(jiān)測系統(tǒng)中樣本核密度估計的重復(fù)計算問題，提出了一種遞推核密度估計模型的實時更新算法，并對模型的特征退化分布和剩余壽命進行了連續(xù)的實時更新。

4 實例分析

本文使用IEEE PHM2012提供的全壽命軸承數(shù)據(jù)對該模型進行了驗證。該數(shù)據(jù)來自于FEMTO-ST研究中心的PRONOSTIA試驗臺的加速軸承壽命測試，振動信號的采樣頻率為25.6 kHz，采樣時間為0.1 s，采樣間隔為10 s，即每次獲得2 560個數(shù)據(jù)樣本。本文以Bearing 1-5在1 800 r/min和4 000 N載荷下的全壽命振動數(shù)據(jù)為例。在軸承故障診斷中，均方根（RMS）在實踐中被廣泛使用，因為它能更好地將軸承的退化狀態(tài)反映出來。圖2所示給出在時間變化下軸承的均方根特征退化趨勢。從圖中可看出均方根值基本上呈現(xiàn)出隨時間單調(diào)上升的趨勢，可以將軸承的退化趨勢很好地展現(xiàn)出來。該軸承在t=2.463×104s時出現(xiàn)故障，均方根的故障閾值為1.396 mm/s2。

圖2 特征值隨監(jiān)測時間的退化趨勢

利用本文的模型預(yù)測軸承的剩余壽命，從圖3可以看出，在軸承運行時間不斷的變化下，接受到的樣本數(shù)據(jù)逐漸越來越多，在核密度估計的剩余壽命模型不斷的實時更新下，軸承的剩余壽命概率密度不斷的增大且逐漸變窄，其方差也明顯不斷減小，可看出預(yù)測值與實際值相差不斷減小，從而模型的準確性不斷提高。

圖3 不同監(jiān)測時刻剩余壽命的概率密度

為了進一步評估所提方法的預(yù)測效果，表1所示為不同監(jiān)測時間下實際剩余壽命和模型預(yù)測的平均剩余壽命的均方根誤差（Root mean square error,RMSE）比較。從表中可看出，軸承在運行過程的實時預(yù)測下，預(yù)測值與真實值之間的RMSE在逐漸的減小，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)的增多，剩余壽命的預(yù)測值在不斷的接近真實值，且誤差也越來越小，從而可以驗證本文模型對軸承壽命預(yù)測的有效性。

表1 不同時刻的剩余壽命均方根誤差比較

為了能驗證本文模型在軸承應(yīng)用上的優(yōu)越性，將本文模型與Wiener過程的剩余壽命預(yù)測模型進行比較，Wiener過程多用于對具有非單調(diào)退化過程的設(shè)備進行建模。在相同條件下對軸承的退化過程進行壽命預(yù)測，得到圖4所示不同時刻下本文核密度估計模型與Wiener過程模型的剩余壽命預(yù)測值和真實值之間的比較。從圖中可看出，本文模型的預(yù)測結(jié)果相比Wiener過程模型，更加接近真實壽命值，隨著時間的變化預(yù)測的準確性不斷提高，從而驗證了本模型的適用性和精確性。

圖4 不同時刻兩模型剩余壽命值比較

5 結(jié)束語

本文提出了一種軸承核密度估計的非參數(shù)剩余壽命預(yù)測方法，以解決預(yù)測設(shè)備剩余壽命時在不同樣本分布下核估計的窗寬不能準確選擇的問題。在該方法中，通過引入局部密度因子來選擇核估計的窗寬，構(gòu)建了一個自適應(yīng)窗寬模型。該模型根據(jù)樣本點的密度自適應(yīng)地選擇窗寬值進行核密度估計，即較小的窗寬用于樣本點密集區(qū)，而較大的窗寬用于樣本點稀疏區(qū)。隨著接收到的實時監(jiān)測數(shù)據(jù)的實時更新，核密度估計也自適應(yīng)地遞歸更新，從而避免每增加一個樣本數(shù)據(jù)就要進行一次計算帶來計算量復(fù)雜問題。實例分析表明，隨著樣本數(shù)據(jù)的增加，所提模型的軸承剩余壽命預(yù)測值越來越接近實際值，并于Wiener過程模型比較，驗證了本文模型的準確性和有效性。