武沖鋒

（晉能控股陽(yáng)泉固莊煤業(yè)有限公司，山西陽(yáng)泉 045060）

0 引言

隨著機(jī)械設(shè)備不斷向智能化和精密化方向發(fā)展，軸承作為機(jī)械設(shè)備的關(guān)鍵部件，其性能退化直接影響整個(gè)設(shè)備的性能[1-4]。為此，對(duì)軸承進(jìn)行實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)和剩余壽命預(yù)測(cè)有著十分重要的研究?jī)r(jià)值和意義?，F(xiàn)研究階段可將剩余壽命預(yù)測(cè)的方法大致分為基于物理失效模型、基于知識(shí)表示和數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方法[5]。面對(duì)復(fù)雜的設(shè)備，獲得物理模型是很困難的，知識(shí)表示方法更適合定性推理，不太適合定量計(jì)算，而且很難獲得完整的知識(shí)。然而，數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的預(yù)測(cè)方法，通過(guò)對(duì)軸承性能數(shù)據(jù)的描述，提取有用的信息并預(yù)測(cè)剩余壽命[6]。Si等[7]將數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法的伽馬分布、回歸模型、Wiener過(guò)程和隨機(jī)濾波模型[8]等RUL模型進(jìn)行總結(jié)分析。Pei等[9]提出雙時(shí)間尺度的隨機(jī)退化設(shè)備的非線性退化模型。Zhai等[10]提出基于高階隱半馬爾科夫模型的剩余壽命預(yù)測(cè)模型。上述數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方法大多需要假設(shè)退化模型和參數(shù)估計(jì)，而參數(shù)估計(jì)方法在模型選擇上存在局限性，過(guò)分依賴概率密度函數(shù)形式的先驗(yàn)定義，因此不能保證預(yù)測(cè)模型的準(zhǔn)確性和適用性。

本文提出一種軸承核密度估計(jì)的非參數(shù)剩余壽命預(yù)測(cè)模型，該方法不對(duì)數(shù)據(jù)分布附加任何假設(shè)，而是從數(shù)據(jù)本身研究數(shù)據(jù)分布的特點(diǎn)，避免了大多數(shù)數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法需要模型假設(shè)和參數(shù)估計(jì)的問(wèn)題。該模型在核估計(jì)窗寬的選取上引入局部窗寬因子構(gòu)建自適應(yīng)窗寬模型。模型通過(guò)計(jì)算樣本點(diǎn)的密度來(lái)自適應(yīng)選擇樣本點(diǎn)窗寬，提高了核密度估計(jì)窗寬選擇的可靠性，從而提高了預(yù)測(cè)精度。最后通過(guò)軸承磨損試驗(yàn)驗(yàn)證了所提模型的適應(yīng)性和準(zhǔn)確性。

1 核密度估計(jì)模型的構(gòu)建

核密度估計(jì)方法不利用數(shù)據(jù)分布的先驗(yàn)知識(shí)，不對(duì)數(shù)據(jù)分布進(jìn)行假設(shè)，它是一種用于從數(shù)據(jù)本身估計(jì)未知變量的概率密度函數(shù)的方法[11-12]。其由已知的N個(gè)樣本點(diǎn)，通過(guò)選擇任意核函數(shù)及窗寬得到N個(gè)核函數(shù)，通過(guò)線性疊加得到核密度的估計(jì)函數(shù)。設(shè)Δx1,Δx2,…,Δx n為n個(gè)獨(dú)立且同分布的退化樣本，f(Δx)為其服從十五概率密度函數(shù)，則核密度估計(jì)的概率密度函數(shù)f^(Δx)表示為：

式中：h為窗寬；K(·)為核函數(shù)；n為樣本數(shù)。

其中，K(·)和h選用的恰當(dāng)與否決定了核估計(jì)的準(zhǔn)確度高低。核函數(shù)作為影響核密度估計(jì)的一個(gè)因素，一般情況下任何函數(shù)都可作為核函數(shù)，常用的有四次核、均勻核、三角核和高斯核。核函數(shù)的選擇雖多，但對(duì)核密度估計(jì)的準(zhǔn)確度作用不大。本文選用廣泛應(yīng)用的高斯核函數(shù)。即：

窗寬h作為影響核密度估計(jì)平滑性和核函數(shù)寬度的主要因素，當(dāng)h較小時(shí)，核密度估計(jì)曲線不平滑且曲折，揭示了更多細(xì)節(jié)；當(dāng)h較大時(shí)，核密度估計(jì)曲線平滑，但會(huì)覆蓋更多的細(xì)節(jié)。因此，選擇合適的窗寬對(duì)核密度估計(jì)是非常重要的。

2 自適應(yīng)窗寬模型建立

目前自適應(yīng)窗寬是窗寬選擇的主流方向，其本質(zhì)是隨著樣本點(diǎn)的增加能夠自適應(yīng)的選取窗寬，減少了計(jì)算量。在現(xiàn)有研究階段常用的自適應(yīng)窗寬方法大多采用的是通過(guò)式（3）積分均方誤差求其最小值得到初始最優(yōu)窗寬h n。

核密度估計(jì)模型中的初始最優(yōu)窗寬h n，通過(guò)式（3）積分均方誤差求其最小值點(diǎn)得到：

將高斯核函數(shù)代入式（4）可求出h n為：

式中：σn為n個(gè)初始樣本特征退化增量的方差。

該窗寬方法解決了樣本數(shù)據(jù)實(shí)時(shí)變化時(shí)選擇窗寬和實(shí)際中固定窗寬造成的過(guò)度（不足）擬合問(wèn)題。如果樣本分布是近似正態(tài)的，這種方法是最佳選擇。然而，當(dāng)樣本分布不對(duì)稱或有多個(gè)峰值時(shí)，該方法會(huì)導(dǎo)致過(guò)度平滑，精度需要提高。

然而，在實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)軸承的核密度估計(jì)過(guò)程中，為了提高窗寬對(duì)真實(shí)樣本數(shù)據(jù)分布的適應(yīng)性，引入了一個(gè)反映基于最優(yōu)窗寬h n的樣本點(diǎn)分散度的函數(shù)λi來(lái)自適應(yīng)選擇窗寬。λi可通過(guò)式（6）各個(gè)樣本點(diǎn)處的概率密度得到：

將函數(shù)λi與式（5）計(jì)算出窗寬h n相乘可得自適應(yīng)窗寬h i：

從而使得不同樣本的窗寬可以根據(jù)樣本數(shù)據(jù)的稀疏程度進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整，以更好地滿足實(shí)踐中核密度估計(jì)的需要。

因此，將自適應(yīng)窗寬h(Δx i)方法引入核密度估計(jì)的模型中，從而構(gòu)建自適應(yīng)核密度估計(jì)的表達(dá)式為：

由于在實(shí)際應(yīng)用中樣本數(shù)據(jù)都是實(shí)時(shí)更新的，如果每增加一個(gè)樣本都對(duì)其從頭開(kāi)始計(jì)算，那么計(jì)算量會(huì)隨數(shù)據(jù)的增多變得復(fù)雜化。所以，為使核估計(jì)的計(jì)算性能得到提升，通過(guò)用已知的n個(gè)樣本的核估計(jì)推導(dǎo)第n+1個(gè)樣本的核密度估計(jì)，來(lái)實(shí)現(xiàn)核密度估計(jì)的實(shí)時(shí)更新。

3 實(shí)時(shí)剩余壽命

3.1 特征退化分布的計(jì)算

假設(shè)t n為軸承退化狀態(tài)時(shí)間，可得到[0,t n]時(shí)間內(nèi)所有退化樣本的特征退化隨時(shí)間變化的趨勢(shì)可由圖1所示。為使設(shè)備的剩余壽命預(yù)測(cè)準(zhǔn)確，由核密度估計(jì)可得[0,t n]隨機(jī)退化增量的概率密度，推出[0,t n]上隨機(jī)退化增量累計(jì)特征退化量的，可由n重卷積得到：

圖1 樣本特征退化隨時(shí)間變化的曲線

3.2 剩余壽命預(yù)測(cè)模型

設(shè)t n+t時(shí)刻，特征退化量達(dá)到（圖1）時(shí)軸承失效。剩余壽命預(yù)測(cè)的實(shí)現(xiàn)，要對(duì)當(dāng)前t n時(shí)刻的剩余壽命預(yù)測(cè)，通過(guò)初始時(shí)刻到當(dāng)前t n時(shí)刻的退化量（記，推出t n+t時(shí)刻的。設(shè)T為設(shè)備的剩余壽命，則剩余壽命的概率密度分布函數(shù)F T(t)為：

其中，[0,t n+t]特征退化量的概率密度為：

剩余壽命預(yù)測(cè)的概率密度為：

從而能夠推出t n時(shí)刻剩余壽命的概率密度函數(shù)為：

隨著實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)的進(jìn)行，監(jiān)測(cè)的樣本數(shù)量不斷增加，樣本的核密度估計(jì)也不斷更新。當(dāng)使用非實(shí)時(shí)壽命預(yù)測(cè)模型時(shí)，基于這些樣本的核密度估計(jì)必須為每一個(gè)新的樣本數(shù)據(jù)重新計(jì)算，這導(dǎo)致歷史樣本不斷被重新計(jì)算，計(jì)算量越來(lái)越大。為避免實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)系統(tǒng)中樣本核密度估計(jì)的重復(fù)計(jì)算問(wèn)題，提出了一種遞推核密度估計(jì)模型的實(shí)時(shí)更新算法，并對(duì)模型的特征退化分布和剩余壽命進(jìn)行了連續(xù)的實(shí)時(shí)更新。

4 實(shí)例分析

本文使用IEEE PHM2012提供的全壽命軸承數(shù)據(jù)對(duì)該模型進(jìn)行了驗(yàn)證。該數(shù)據(jù)來(lái)自于FEMTO-ST研究中心的PRONOSTIA試驗(yàn)臺(tái)的加速軸承壽命測(cè)試，振動(dòng)信號(hào)的采樣頻率為25.6 kHz，采樣時(shí)間為0.1 s，采樣間隔為10 s，即每次獲得2 560個(gè)數(shù)據(jù)樣本。本文以Bearing 1-5在1 800 r/min和4 000 N載荷下的全壽命振動(dòng)數(shù)據(jù)為例。在軸承故障診斷中，均方根（RMS）在實(shí)踐中被廣泛使用，因?yàn)樗芨玫貙⑤S承的退化狀態(tài)反映出來(lái)。圖2所示給出在時(shí)間變化下軸承的均方根特征退化趨勢(shì)。從圖中可看出均方根值基本上呈現(xiàn)出隨時(shí)間單調(diào)上升的趨勢(shì)，可以將軸承的退化趨勢(shì)很好地展現(xiàn)出來(lái)。該軸承在t=2.463×104s時(shí)出現(xiàn)故障，均方根的故障閾值為1.396 mm/s2。

圖2 特征值隨監(jiān)測(cè)時(shí)間的退化趨勢(shì)

利用本文的模型預(yù)測(cè)軸承的剩余壽命，從圖3可以看出，在軸承運(yùn)行時(shí)間不斷的變化下，接受到的樣本數(shù)據(jù)逐漸越來(lái)越多，在核密度估計(jì)的剩余壽命模型不斷的實(shí)時(shí)更新下，軸承的剩余壽命概率密度不斷的增大且逐漸變窄，其方差也明顯不斷減小，可看出預(yù)測(cè)值與實(shí)際值相差不斷減小，從而模型的準(zhǔn)確性不斷提高。

圖3 不同監(jiān)測(cè)時(shí)刻剩余壽命的概率密度

為了進(jìn)一步評(píng)估所提方法的預(yù)測(cè)效果，表1所示為不同監(jiān)測(cè)時(shí)間下實(shí)際剩余壽命和模型預(yù)測(cè)的平均剩余壽命的均方根誤差（Root mean square error,RMSE）比較。從表中可看出，軸承在運(yùn)行過(guò)程的實(shí)時(shí)預(yù)測(cè)下，預(yù)測(cè)值與真實(shí)值之間的RMSE在逐漸的減小，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)的增多，剩余壽命的預(yù)測(cè)值在不斷的接近真實(shí)值，且誤差也越來(lái)越小，從而可以驗(yàn)證本文模型對(duì)軸承壽命預(yù)測(cè)的有效性。

表1 不同時(shí)刻的剩余壽命均方根誤差比較

為了能驗(yàn)證本文模型在軸承應(yīng)用上的優(yōu)越性，將本文模型與Wiener過(guò)程的剩余壽命預(yù)測(cè)模型進(jìn)行比較，Wiener過(guò)程多用于對(duì)具有非單調(diào)退化過(guò)程的設(shè)備進(jìn)行建模。在相同條件下對(duì)軸承的退化過(guò)程進(jìn)行壽命預(yù)測(cè)，得到圖4所示不同時(shí)刻下本文核密度估計(jì)模型與Wiener過(guò)程模型的剩余壽命預(yù)測(cè)值和真實(shí)值之間的比較。從圖中可看出，本文模型的預(yù)測(cè)結(jié)果相比Wiener過(guò)程模型，更加接近真實(shí)壽命值，隨著時(shí)間的變化預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性不斷提高，從而驗(yàn)證了本模型的適用性和精確性。

圖4 不同時(shí)刻兩模型剩余壽命值比較

5 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種軸承核密度估計(jì)的非參數(shù)剩余壽命預(yù)測(cè)方法，以解決預(yù)測(cè)設(shè)備剩余壽命時(shí)在不同樣本分布下核估計(jì)的窗寬不能準(zhǔn)確選擇的問(wèn)題。在該方法中，通過(guò)引入局部密度因子來(lái)選擇核估計(jì)的窗寬，構(gòu)建了一個(gè)自適應(yīng)窗寬模型。該模型根據(jù)樣本點(diǎn)的密度自適應(yīng)地選擇窗寬值進(jìn)行核密度估計(jì)，即較小的窗寬用于樣本點(diǎn)密集區(qū)，而較大的窗寬用于樣本點(diǎn)稀疏區(qū)。隨著接收到的實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的實(shí)時(shí)更新，核密度估計(jì)也自適應(yīng)地遞歸更新，從而避免每增加一個(gè)樣本數(shù)據(jù)就要進(jìn)行一次計(jì)算帶來(lái)計(jì)算量復(fù)雜問(wèn)題。實(shí)例分析表明，隨著樣本數(shù)據(jù)的增加，所提模型的軸承剩余壽命預(yù)測(cè)值越來(lái)越接近實(shí)際值，并于Wiener過(guò)程模型比較，驗(yàn)證了本文模型的準(zhǔn)確性和有效性。