李 超，董得義※，樊延超，孫宇欣，吳凡路，李取浩，關英俊

（1.中國科學院長春光學精密機械與物理研究所，長春 130033；2.山東大學，濟南 250100；3.長春工業(yè)大學機電工程學院，長春 130012）

0 引言

在空間光學相機設計中，反射鏡作為光學相機的重要光學部件，它的位置精度和面形精度直接決定了空間光學相機成像質量的好壞?？紤]到反射鏡鏡組的裝調、測試均在地面重力環(huán)境下完成的，但其工作狀態(tài)則處于空間微重力環(huán)境中，為有效保證反射鏡位置精度的天地一致性，地面環(huán)境與空間環(huán)境的差異性對空間光學相機成像質量的影響就必須要考慮。要保證反射鏡位置精度，就需要確保其在重力釋放后的位移變量盡量最小，但隨著反射鏡口徑的增大空間光學相機的發(fā)射成本也隨之增加，綜合考慮需將空間反射鏡進行有效輕量化設計。因此，如何實現空間反射鏡的高精度、高穩(wěn)定性和高可靠性設計制造是大口徑反射鏡組件的重要研究內容，也是空間光學相機研制的重點和難點所在。

為了設計得到質輕高剛度的反射鏡結構，Talapatra[1]研究了反射鏡拱形結構，相比于傳統(tǒng)平背形結構無論是在重量還是反射鏡剛度方面均具有一定優(yōu)勢。俞天野[2]采用有限元的方法研究了不同輕量化處理形式對其結構穩(wěn)定性和輕量化率程度的影響，進而得出一種最優(yōu)的輕量化結構方案。Valente和Vukobratovich[3]從反射鏡自重出發(fā)，研究了由結構自重導致鏡面變形的不同輕量化反射鏡設計形式。樊延超等[4]從反射鏡工程制備角度出發(fā)，研究了兩種結構形式的反射鏡輕量化方案，最終得出最優(yōu)結構輕量化形式及加工制備工藝。

拓撲優(yōu)化是在給定設計約束條件下，確定出最佳材料分布的構型方法。拓撲優(yōu)化的對象是結構拓撲構型的參數描述，包括有限單元的相對密度法[5]、節(jié)點密度法[6]和水平集函數法[7]等。目前，國內外已有許多學者將拓撲優(yōu)化方法運用到空間反射鏡的結構設計上。Park等[8]研究了在結構自重和拋光壓力外荷載共同作用下，將實體單元密度作為設計變量，利用拓撲優(yōu)化方法設計了輕型反射鏡，輕量化率高達78%。Lee等[9]利用材料屬性均勻同一性，將反射鏡離散單元化處理，運用拓撲優(yōu)化方法對各單元背部筋布局進行了優(yōu)化設計，但設計的過程僅僅考慮了鏡面拋光壓力的影響，未考慮自重力對鏡面面形的影響。國內中科院長春光機所的劉磊[10]、李巖偉[11]等和中科院西安光機所[12-16]運用拓撲優(yōu)化應用理論進行了空間反射鏡的結構設計，得到了一些比傳統(tǒng)構型更優(yōu)的反射鏡結構。由于拓撲優(yōu)化模型中沒有考慮具體的可制造性約束，導致優(yōu)化結果中難以得到結構清晰的減重孔或加筋布局，同時，反射鏡結構概念構型的提取往往還是依靠設計師以往設計經驗。

2011年國外學者D Brackett[17]提出了增材制造的拓撲優(yōu)化研究方法，介紹了拓撲優(yōu)化技術與增材制造技術結合的優(yōu)越性，同時還提出了將拓撲優(yōu)化結果直接運用增材制造技術加工時所面臨的可制造性問題。增材制造技術（Additive Manufacturing，AM）突破傳統(tǒng)制造工藝，可應用于復雜構型結構的制備，有效解決了制造工藝決定產品設計的矛盾。在2015年，美國康寧公司運用增材制造技術制備了一塊蜂窩狀高輕量化鋁鏡，其輕量化形式與傳統(tǒng)金屬反射鏡輕量化形式相同[18-19]。與傳統(tǒng)金屬反射鏡制備相比，增材制造技術加工成形效率更高。Hilpert E等[20]通過采用SLM技術制造了Al Si12合金材料的口徑為86 mm的背部封閉式六邊形蜂窩結構金屬反射鏡，輕量化率達到63.5%。經金剛石精車、電鍍和拋光流程后，獲得滿足可見光波段光學要求的表面粗糙度，PV值為109 nm，RMS值為12.5 nm，而且該反射鏡在適宜條件下保存兩年后其面形RMS值僅降低0.1 nm。這是對增材制造在反射鏡設計制造中的一次嘗試，其結果表明基于增材制造技術的金屬反射鏡光學和機械性能能夠滿足其工作要求。綜上所述，通過將增材制造技術和拓撲優(yōu)化技術的結合，能夠顛覆傳統(tǒng)制造技術的局限，充分釋放結構優(yōu)化設計空間，提高反射鏡的輕量化程度并保證其性能。因此，開展面向增材制造的低面密度反射鏡拓撲優(yōu)化技術研究，突破傳統(tǒng)設計極限，獲得低面密度、高比剛度輕量化構型的反射鏡具有重大意義。

本文提出了一種將反射鏡拓撲優(yōu)化構型設計與增材制造技術相融合的設計制造方法，并依據該方法完成了φ500 mm口徑SiC材料反射鏡的拓撲優(yōu)化方案設計；并運用激光選取熔化制造技術（Selective Laser Melting，SLM）研制了φ260 mm口徑鋁合金材料的反射鏡，同時，完成了反射鏡組件的模態(tài)測試，進而驗證了拓撲優(yōu)化技術與增材制造技術融合設計制造方法的有效性和通用性。

1 三維實體反射鏡拓撲優(yōu)化設計方法

通過分析發(fā)現，反射鏡鏡面背部的結構形式是影響反射鏡結構質量和鏡面面形精度的關鍵因素之一，而拓撲優(yōu)化方法是反射鏡在結構設計階段可獲取輕量化構型的有效設計方法，但直接的拓撲優(yōu)化難以獲得可制造性好的結構構型。鑒于以上方面考慮，在常用的背部開放式反射鏡設計方面，研究了開放式反射鏡結構的可制造性約束方法[21]，建立了一種基于背部實體反射鏡結構的拓撲優(yōu)化構型輕量化設計方法。

1.1 背部實體反射鏡的性能分析

對大口徑空間反射鏡運用拓撲優(yōu)化的設計方法進行了鏡體輕量化構型設計，是為了得到反射鏡光軸水平與光軸豎直狀態(tài)下，反射鏡由自重引起的鏡面面形誤差較小，同時反射鏡達到質量最小。反射鏡的鏡面面形質量由反射鏡鏡面上去除剛體位移和散焦誤差后通過Zernike方法擬合得到鏡面面形RMS誤差值所決定，如下所示：

Zernike多項式的前3階項中，Z1表示鏡面的偏移，Z2表示鏡面的傾斜，Z3表示鏡面的散焦；Ns為鏡面的節(jié)點數，wi為第i個網格面積相對于反射鏡整個光學鏡面的面積分數。

1.2 背部實體反射鏡的拓撲優(yōu)化數學模型的建立

在空間反射鏡工程化設計過程中，將RMS值作為拓撲優(yōu)化的響應是比較難準確以實現的，但應用空間反射鏡結構柔順度最小作為目標函數的拓撲優(yōu)化問題已較為成熟。結構整體位移U與結構柔順度、鏡面面形RMS均具有相應的響應函數關系，兩者都可衡量反射鏡結構整體剛度的大小。因此，本文以空間反射鏡結構柔順性最小作為目標函數來最大化結構的整體剛度，進而實現RMS值最小的優(yōu)化目標，通過計算設計得到的反射鏡結構鏡面面形誤差的RMS值來評估其性能。反射鏡結構柔順度計算公式為：

式中：u為結構的位移向量；f為結構的載荷向量（包括自重和拋光壓力載荷）；K為結構整體剛度矩陣，K=，其中Ke為單元的剛度矩陣。

質量約束可以表示為：

式中：ρ0為給定材料的密度；ρe為第e個單元材料的相對密度；νe為單元的體積；α為指定的質量分數上限；M0為反射鏡初始結構質量。

此時，可以建立反射鏡拓撲優(yōu)化的數學模型，表示為：

采用直接法，計算目標函數對設計變量的敏度列式為：

約束函數對設計變量的敏度列式為：

結合反射鏡自重的影響問題，由伴隨法求得目標函數c對ρe的導數為：

由于自重的載荷大小與ρe有關，則?f/?ρe不為零，所以上式的導數值并不恒為負值，代入式（5）后得到c對ρj和ηj敏度值可能為正或負值，甚至隨著設計變量的變化而變號，此時目標函數相對于設計變量是非單調的。因此在求解此類優(yōu)化問題時，為了盡可能得到接近最優(yōu)解的結果，需要對目標函數進行最優(yōu)凸近似，本文采用MMA（Method of Moving Asymptotes）算法對優(yōu)化問題式（4）進行求解。

1.3 優(yōu)化構型提取方法與詳細設計

通過采用MMA算法求解優(yōu)化模型式（4）后，得到反射鏡背部實體材料的最優(yōu)拓撲優(yōu)化分布結果。由于背部實體材料布局和高度方向的分布可能很不規(guī)則，當反射鏡背部筋板的布局和高度確定后，需結合一些實際加工制造工藝的特點，對反射鏡筋板的布局和高度進行適當的規(guī)則化處理。結合拓撲優(yōu)化材料分布結果，分別設定反射鏡背部每塊筋板的厚度，進而完成反射鏡三維CAD模型構建，作為用于調整反射鏡背部筋板厚度尺寸優(yōu)化的初始設計輸入。以反射鏡背部筋板的厚度作為評價變量，以自重引起反射鏡面形誤差的RMS值作為設計約束，將反射鏡結構質量最小作為設計目標，建立反射鏡參數優(yōu)化模型。求解該模型后，更新每塊筋板的厚度，并結合加工制造工藝進行平整化處理，便可得到優(yōu)化設計后的反射鏡輕量化結構構型。優(yōu)化設計方法流程如圖1所示。

圖1 優(yōu)化設計流程Fig.1 Optimize the design process

2 φ500 mm口徑SiC反射鏡設計

將本文所提出的反射鏡優(yōu)化設計方法應用于φ500 mm口徑的球面空間反射鏡設計，用于驗證方法的有效性。本文所設計的球面反射鏡模型幾何信息如表1所示。

表1 球面鏡幾何信息Tab.1 geometric information of spherical mirror

圖2所示為反射鏡的幾何模型，反射鏡采用背部三點支撐，其支撐方式是球鉸支撐。支撐位置是通過有限元方法優(yōu)化后確定，拓撲優(yōu)化時在支撐點位置處施加相應約束。反射鏡所用材料為Si C材料，其材料密度為32 g/cm3，彈性模量為420 GPa，則球面鏡質量為37.1 kg，泊松比為0.17。反射鏡結構的設計需求如表2所示。

圖2 反射鏡幾何模型Fig.2 Geometric model of mirror

表2 球面鏡設計需求Tab.2 design requirements of spherical mirror

建立平背形實體結構反射鏡有限元模型，為減少拓撲優(yōu)化的計算量，根據反射鏡幾何模型的特點，要保證優(yōu)化后的結構具有圓周對稱性，須建立響應的對稱網格。以3個約束孔為基點，首先取模型的1/3，然后根據1/3模型的軸對稱特點，取其1/2進行網格劃分，圖3所示為所建立的反射鏡幾何分割模型。

圖3 反射鏡結構幾何分割模型Fig.3 Geometric segmentation model of mirror structure

反射鏡背部支撐孔邊緣與鏡面預留厚度均為6 mm，將整個模型采用線性四面體單元進行有限元網格劃分，則共有443 682個有限單元和83 323個節(jié)點，如圖4所示。在實際使用中，反射鏡通過在支撐孔位置處通過類似鉸接的方式進行支撐固定，在有限元模擬時為了簡化處理，采用支撐孔處全約束的方式進行固定，在反射鏡表面上施加均布載荷作為靜載工況下進行優(yōu)化。反射鏡鏡面及支撐孔邊緣預留一定的厚度不進行輕量化，而反射鏡其他部分作為設計區(qū)域需進行優(yōu)化設計。對于反射鏡輕量化設計區(qū)域，在拓撲優(yōu)化時應對結構定義模式重復約束，使反射鏡形成對稱的結構以便于設計和加工。

圖4 反射鏡結構有限元模型Fig.4 Finite element model of mirror structure

以反射鏡結構柔順度最小作為目標函數進行拓撲優(yōu)化計算，在優(yōu)化過程中須考慮光軸豎直時的自重載荷（g=9.8 N/kg）工況。在質量分數上限設為0.17時經過循環(huán)迭代152步之后目標函數收斂，整個設計結果（鏡面與背部支撐結構）鏡面密度為28.8 kg/m2，同時還需滿足最小結構尺寸要求，拓撲優(yōu)化后得到如圖5（a）所示的反射鏡背部材料的最優(yōu)分布形式，將反射鏡背部分布筋沿著反射鏡厚度方向進行投影，得到如圖5（b）所示的俯視圖。

圖5 α=0.17時的拓撲優(yōu)化結果Fig.5 Topology optimization results whenα=0.17

根據優(yōu)化結果可以發(fā)現，對反射鏡剛度和強度來說比較重要的材料主要分布在反射鏡背部支撐孔的周邊，這也是理論上反射鏡鏡面受力比較大的地方，與理論知識相吻合。支撐孔周部沿著每個樹枝的方向，材料的分布并不是均高的，而是呈現一種非等高的分布，其中，越遠離支撐孔高度越小，沿反射鏡的徑向和環(huán)向背部筋的高度均具有拱形分布的特點。

根據優(yōu)化結果建立反射鏡輕量化后的三維模型時，由于最優(yōu)的材料布局和高度分布為不規(guī)則的曲線形式，考慮到反射鏡的結構如果過于復雜會使得其在加工過程耗費過多的成本甚至不能加工，因此在重建反射鏡三維模型時會對拓撲結果稍作改變但結構形式不變。利用三維CAD軟件的后處理功能對模型進行光滑化操作，進而可建立反射鏡拓撲優(yōu)化后的概念構型；根據優(yōu)化結果輸出反射鏡點云，結合反射鏡增材制造下的可制造性，運用軟件三維重建功能將反射鏡進行平整化重建處理，得到如圖6所示的可制造反射鏡CAD模型。

圖6 反射鏡拓撲優(yōu)化方案構型Fig.6 Configuration of mirror topology optimization scheme

分別在光軸水平及光軸豎直情況下對自重載荷作用情況下，采用有限元方法精確分析其由重力引起的變形，并得到鏡面位移數據，利用標準Zernike多項式對變形后的鏡面進行擬合，去除鏡面的剛體偏移和離焦誤差的影響，計算得到光軸水平和光軸豎直時對應的面形誤差RMS值分別為0.914 7 nm和4.878 4 nm，其鏡面的法向位移云圖分別如圖7（a）和如圖7（b）所示。

圖7 重力作用下鏡面變形Fig.7 The mirror deformation under gravity

3 增材制造φ260 mm口徑反射鏡及模態(tài)測試試驗

3.1 增材制造φ260 mm口徑反射鏡制備

SLM技術起源于激光選取燒結（Selective Laser Sintering，SLS），是為了解決SLS成形過程中連接強度較低而被提出。近年來，SLM技術在汽車、模具、航空航天和醫(yī)療器械等領域的應用愈發(fā)深入。SLM技術同樣采用激光熱源，但由于將原料粉末熔化再冷卻所以制得零件的相對密度較高，甚至可達完全致密。將基于背部實體拓撲優(yōu)化方法得到的可制造反射鏡CAD模型，運用激光選取熔化的增材制造技術，采用鋁合金材料制造出了φ260 mm口徑反射鏡，如圖8（a）所示。在對反射鏡、柔性支撐和背部三角支撐進行裝配完成之后，反射鏡組件如圖8（b）所示。為了驗證反射鏡組件整體結構的動力學性能，進行了基于錘擊法的反射鏡固有頻率測定試驗，用于確定反射鏡的振動特性。

圖8 增材制造φ260 mm口徑反射鏡Fig.8 Add materials to manufacture 260 mm diameter mirror

3.2 模態(tài)測試

基于錘擊法進行反射鏡模態(tài)測試試驗是借助傳感器同時采集測試反射鏡試件的輸入激振信號X（ω）和由此產生的輸出響應信號Y（ω），二者進行運算后得到頻率響應函數如下：

錘擊模態(tài)試驗包括單點激勵法和單點拾振法。其中單點拾振法適用于小尺寸結構試件，操作簡單只需進行一個通道的激振信號和振動響應測試即可得到試件模態(tài)參數，本文采用單點拾振法完成模態(tài)測試試驗。為了避免測試過程中外界環(huán)境的影響，試驗過程中將反射鏡組件通過橡皮筋豎直吊起，在反射鏡鏡面上距離懸吊點最遠端定為擊錘點，所選測點應當盡量避免模態(tài)節(jié)點，在對應反射鏡鏡面直徑對稱側位置布置1個測點，安裝測試傳感器。具體測試試驗流程如圖9（a），所需試驗設備如圖9（b）所示，設備參數如表3所示。

表3 測試試驗設備參數Tab.3 Test equipment parameters

圖9 模態(tài)測試試驗Fig.9 Modal test

試驗過程，用敲擊錘輕輕敲擊反射鏡擊錘點3次，測試狀態(tài)如圖10所示，所得傳感器響應結果如圖11所示，試驗測得第1階模態(tài)至第8階模態(tài)的參數如表4所示。

圖10 反射鏡模態(tài)頻率測試狀態(tài)Fig.10 Test status of mirror modal frequency

圖11 反射鏡模態(tài)頻率Fig.11 Mirror modal frequency diagram

表4 反射鏡模態(tài)測試結果Tab.4 Mirror modal test results

經測試，得出了反射鏡前8階模態(tài)的固有頻率，該反射鏡組件的共振頻率主要集中在600～4 000 Hz之間，反射鏡組件滿足使用工況下的剛度與強度要求，在復雜振動載荷作用下反射鏡不會發(fā)生破壞，其動力學性能良好，驗證了基于拓撲優(yōu)化與增材制造技術相融合設計制造方法的有效性，為大口徑反射鏡的高精度、高穩(wěn)定性和高可靠性設計制造提供了依據。

4 結束語

本文提出了一種將拓撲優(yōu)化與增材制造技術相融合的設計制造方法，并以空間光學相機主鏡為例，根據反射鏡的設計要求，完成口徑為500 mm的SiC材料反射鏡的拓撲優(yōu)化設計，結構的輕量化率明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的設計方案。并采用激光選取熔化技術（SLM）加工制造出了φ260 mm鋁合金反射鏡，在反射鏡與其支撐結構裝配完畢后，對反射鏡組件進行了模態(tài)測試試驗。試驗結果表明，反射鏡滿足使用工況下剛度與強度要求，在復雜振動載荷條件下結構不會發(fā)生破壞，動力學性能良好。因此，運用拓撲優(yōu)化與增材制造相融合的設計制造技術將為空間反射鏡結構設計的改進和優(yōu)化制造提供了一種行之有效的研制方法。