梅 瀟，池華山，岳 聰，范建瑜，劉宗沁

(上海海事大學(xué) 物流工程學(xué)院，上海 201306)

航空發(fā)動機作為高端制造業(yè)的頂尖產(chǎn)品，不但制造工藝要求嚴苛，而且還會受到惡劣的工作環(huán)境制約。裝配作為航空發(fā)動機的制造終端，它的質(zhì)量很大程度影響著其工作性能表現(xiàn)。高壓轉(zhuǎn)子組件由大量精密零部件裝配而成，又是航空發(fā)動機的核心部件，對裝配質(zhì)量要求極高。如果轉(zhuǎn)子組件裝配方案設(shè)計不合理、幾何/不平衡量過大，必然會給整機帶來復(fù)雜且難以解決的振動問題，直接影響發(fā)動機服役性能[1-2]。

渦扇發(fā)動機的高壓轉(zhuǎn)子組件主要由高壓壓氣機(high pressure compressor,HPC)與高壓渦輪(high pressure turboe,HPT)兩部分組成，在組裝完這兩部分后還會加上篦齒盤密封。為提高轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的裝配效率，減少現(xiàn)場的調(diào)試和試裝工作，學(xué)者們做了很多工作。Zhang等[3]從裝配誤差的角度出發(fā)，研究了航空發(fā)動機多級轉(zhuǎn)子測量裝配設(shè)備的測量誤差傳播原理，分析了導(dǎo)軌直線運動和轉(zhuǎn)臺旋轉(zhuǎn)運動對最終找準(zhǔn)誤差的影響。孟亮國等[4-5]針對航空發(fā)動機高壓轉(zhuǎn)子裝配精度的預(yù)測與堆疊問題，考慮同軸度的影響因素，提出了一種轉(zhuǎn)子裝配定心誤差與相對偏斜誤差的預(yù)測方法。余堅等[6]采用分形方法對連接轉(zhuǎn)子振動試驗結(jié)果進行分析，發(fā)現(xiàn)動態(tài)響應(yīng)信號的盒維數(shù)是檢測裝配振動的一個很好的指標(biāo)。以上方法只是基于單獨的轉(zhuǎn)子裝配或振動問題，沒有將兩者綜合分析。

由轉(zhuǎn)子的裝配到整機的振動并不是簡單的線性關(guān)系，而是復(fù)雜的非線性關(guān)系，為研究兩者的關(guān)系使用了一種基于分類和回歸樹算法(classification and regression trees,CART)的集成算法模型極端梯度提升(eXtreme gradient boosting,XGBoost)。CART算法最初是由Brieman等[7]在1984年提出。隨著近幾年機器學(xué)習(xí)熱潮的掀起以及對CART算法的深入研究，越來越多的改進算法模型被提出，如隨機森林(random forest,RF)[8]，梯度提升樹(gradient boosting decision tree,GBDT)[9]，以及2016年Chen等[10]提出了基于GBDT改進的XGBoost機器學(xué)習(xí)算法模型。這些算法模型的核心還是CART，但是它們將CART集成化，從而提高了計算精度與效率。

近年來，XGBoost模型在各個工程領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。李衛(wèi)星等[11-14]將XGBoost模型用于故障診斷，均取得了不錯的預(yù)測效果。王偉等[15]將XGBoost模型用于預(yù)測熱鍍鋅鋼卷力學(xué)性能，得出94.6%的數(shù)據(jù)樣本相對誤差在6%范圍內(nèi)，具有很高的預(yù)測精度。陳振宇等[16]使用XGBoost來對電力系統(tǒng)負荷進行預(yù)測研究，他們將XGBoost模型與LSTM (long short term memory network)模型相結(jié)合，并對實際電力負荷數(shù)據(jù)進行了算例分析，結(jié)果表明所構(gòu)建的LSTM和XGBoost組合預(yù)測模型的平均百分比誤差為0.57%。然而XGBoost模型在實際應(yīng)用時很容易產(chǎn)生過擬合現(xiàn)象，即模型在訓(xùn)練集上會擬合所有的輸入?yún)?shù)，而實際上很多輸入?yún)?shù)會導(dǎo)致輸出結(jié)果與實際結(jié)果偏差變大，它需要對模型的輸入?yún)?shù)進行限制。

本文從裝配過程中的裝配數(shù)據(jù)與整機測試過程中振動數(shù)據(jù)出發(fā)，通過不平衡響應(yīng)振動方程描述了裝配階段幾何偏差和不平衡偏差與振型的機理關(guān)系，提出基于Breiman等[17]的最大相關(guān)性(maximum correlation,MC)系數(shù)與XGBoost模型的改進模型，稱其為MC-XGBoost預(yù)測模型，建立某型航空發(fā)動機高壓轉(zhuǎn)子組件裝配參數(shù)與整機振動參數(shù)的數(shù)學(xué)分析模型。通過實測樣本的訓(xùn)練和預(yù)測并與RF、GBDT算法模型進行預(yù)測結(jié)果對比，以驗證本文方法的計算精度和預(yù)測準(zhǔn)確性。

1 轉(zhuǎn)子組件與組合轉(zhuǎn)子不平衡量的轉(zhuǎn)換關(guān)系推導(dǎo)

如圖1為高壓轉(zhuǎn)子的不平衡量轉(zhuǎn)換關(guān)系示意圖。圖1中：O為轉(zhuǎn)子組件(HPT或HPC)的設(shè)計回轉(zhuǎn)中心;O′為轉(zhuǎn)子組件的幾何形心;O″為由轉(zhuǎn)子組件HPC與HPT裝配得到的組合轉(zhuǎn)子的回轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)子組件與組合轉(zhuǎn)子的回轉(zhuǎn)中心之間在端面有一個很小的投影角度，在實際裝配過程中這個角度很小在這里可以忽略不計；ds為轉(zhuǎn)子組件回轉(zhuǎn)中心O到幾何形心O′的幾何偏心；σ為角度；p′為轉(zhuǎn)子組件相對于其質(zhì)心C的偏心距；θ′為角度；dt為轉(zhuǎn)子組件形心O′相對于組合轉(zhuǎn)子O″的幾何偏心；λ為角度?？筛鶕?jù)矢量關(guān)系推導(dǎo)出最后的組合轉(zhuǎn)子回轉(zhuǎn)中心O″相對于轉(zhuǎn)子組件質(zhì)心C的偏心矢量p″。

圖1 轉(zhuǎn)子不平衡量轉(zhuǎn)換示意Fig.1 Diagram of rotor unbalance conversion

(1)

根據(jù)式(1)中轉(zhuǎn)子組件幾何偏心矢量與組合轉(zhuǎn)子幾何偏心矢量的關(guān)系，把轉(zhuǎn)子組件的不平衡量轉(zhuǎn)換到最終組合轉(zhuǎn)子上并將其定義為U，可由式(2)表示。

Tm′(p′-dt)=U

(2)

式中：U=p″m″，m″為組合轉(zhuǎn)子的偏心質(zhì)量；m′為轉(zhuǎn)子組件的偏心質(zhì)量；T為轉(zhuǎn)子組件與組合轉(zhuǎn)子之間關(guān)系的轉(zhuǎn)換系數(shù)。

根據(jù)轉(zhuǎn)子動力學(xué)理論，轉(zhuǎn)子的任意不平衡量可以按轉(zhuǎn)子的模態(tài)振型展開，組合轉(zhuǎn)子的工作轉(zhuǎn)速介于第一階、第二階臨界轉(zhuǎn)速之間，所以可以只考慮前兩階的模態(tài)不平衡，把組合轉(zhuǎn)子在穩(wěn)態(tài)下的不平衡量U按前兩階振型展開。

Ueiθ″=V1eiα1+V2eiα2

(3)

式中：V1,α1分別為第1階振型的振動幅值與相位角；V2,α2分別為第2階振型的振動幅值與相位角；U,θ″分別為不平衡矢量U的大小和方位角。

從式(2)、式(3)的等量關(guān)系可以看出，轉(zhuǎn)子組件的不平衡量U、幾何偏心dt與組合轉(zhuǎn)子的振動幅值V存在一定的關(guān)系，所以考慮從高壓轉(zhuǎn)子裝配過程中的裝配數(shù)據(jù)與測試過程的整機振動響應(yīng)數(shù)據(jù)角度分析兩者的關(guān)系。

2 數(shù)據(jù)來源說明

如圖2為某型渦扇發(fā)動機高壓轉(zhuǎn)子的結(jié)構(gòu)示意圖，高壓轉(zhuǎn)子包括HPC與HPT兩部分，其裝配過程首先需要裝配好HPC與HPT組件，再將HPC與HPT組件按連接面裝配成高壓組合轉(zhuǎn)子。在高壓轉(zhuǎn)子的裝配過程會記錄一些重要的裝配參數(shù)，包括動平衡參數(shù)與幾何參數(shù)，如表1所示。

圖2 高壓轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)示意Fig.2 High-pressure rotor structure diagram

表1 裝配參數(shù)說明Tab.1 Description of assembly parameters

動平衡裝配參數(shù)中不平衡量包括試車前初始不平衡量與校正后的最終不平衡量，而不平衡矢量作為HPC質(zhì)心C1、HPT質(zhì)心C2偏移的主要裝配性能參數(shù)，包括不平衡量大小和方向兩個子參數(shù)，對其統(tǒng)一用不平衡矢量U表示。幾何參數(shù)測量過程中需將被測件豎立，分別測量HPC與HPT組件以及組合轉(zhuǎn)子的幾何偏心矢量。

高壓轉(zhuǎn)子裝配完成后，會安裝到發(fā)動機上進行整機的試車，試車時在發(fā)動機的機匣上布置3個加速度傳感器記錄發(fā)動機在穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速下的振動響應(yīng)。對所采集的加速度信號，在信號處理過程會將加速度信號通過積分變換的形式轉(zhuǎn)換為振動速度，再將所獲振動速度用3個振動參數(shù)表示，其中振動參數(shù)V1是中介機匣水平測點的振動速度峰值，振動參數(shù)V2是中介機匣垂直測點的振動速度峰值，振動參數(shù)V3是低壓渦輪機匣垂直測點的振動速度峰值。

將實測的多組某型航空發(fā)動機高壓轉(zhuǎn)子所有裝配參數(shù)當(dāng)成輸入變量矩陣X=[U1,U2,…,dt]，所有振動參數(shù)當(dāng)成輸出變量矩陣Y=[V1,V2,V3]。

3 數(shù)學(xué)模型與方法

為研究高壓轉(zhuǎn)子裝配過程的不平衡量、幾何偏心與測試過程整機振動響應(yīng)的數(shù)學(xué)表征關(guān)系，本章將建立一個MC-XGBoost預(yù)測模型并介紹模型預(yù)測精度的評估指標(biāo)。

3.1 MC-XGBoost建模原理

用Y表示輸出變量即試車振動參數(shù)，X為輸入變量即裝配參數(shù)，首先將所有變量歸一化，對于任意給定的一對隨機變量(X，Y)，X和Y之間的MC系數(shù)記為ρ*，其計算如下

(4)

式中:ρ為皮爾森相關(guān)系數(shù);θ和φ為Y和X的波萊爾可測函數(shù);用θ*和φ*表示可獲得MC的最優(yōu)轉(zhuǎn)換。

式(4)的最優(yōu)轉(zhuǎn)換θ*和φ*可通過式(5)的優(yōu)化問題獲得。

(5)

式中：P為(X,Y)的聯(lián)合分布；L2(P)為在P下平方可積函數(shù)，令e*2為e2的最小值。

最小優(yōu)化問題式(5)與式(4)是等價的，對式(5)可以采用樣條估計求解，最終得到X與Y的MC系數(shù)估計λ。

(6)

式中,A00,AXX,AX0和A0X為n維隨機變量X與Y轉(zhuǎn)換到標(biāo)準(zhǔn)B樣條基上的估計值矩陣。

λ的取值范圍為[0,1]，其等于1時認為隨機變量X和Y之間存在直接的線性或非線性關(guān)系。當(dāng)其不等于1時，只能從其數(shù)值大小的排序關(guān)系出發(fā)，判斷兩組隨機變量間相關(guān)性強弱。

圖3 XGBoost模型建模原理Fig.3 XGBoost model modeling principles

(7)

如圖4為MC-XGBoost模型的建模原理，對所有的輸入變量X與輸出變量Y所組成的數(shù)據(jù)集{X,Y}。首先計算所有輸入變量X與輸出變量Y之間的MC系數(shù)λ，根據(jù)MC系數(shù)排序篩選合適的輸入變量組成數(shù)據(jù)集X′。再將選擇的輸入、輸出變量組合的數(shù)據(jù)集{X′,Y}劃分為訓(xùn)練集與測試集，把訓(xùn)練數(shù)據(jù)集代入XGBoost模型中進行輸入變量X′與輸出變量Y之間潛在規(guī)則的學(xué)習(xí)耦合。最后把測試集代入已經(jīng)耦合好訓(xùn)練集所表現(xiàn)出一定回歸規(guī)則的XGBoost模型中評估模型的耦合效果，若模型預(yù)測結(jié)果的R2<0.4,則表明模型預(yù)測精度太低，所用的輸入變量X′并不是輸出變量Y的敏感源，需要再根據(jù)相關(guān)性系數(shù)λ調(diào)整輸入變量X′進行預(yù)測。

圖4 MC-XGBoost模型建模原理Fig.4 MC-XGBoost model modeling principles

(8)

因此，根據(jù)XGBoost算法得到輸入變量X′與輸出變量Y的目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)，如式(9)所示。

(9)

(10)

式中：T為輸入變量與輸出變量耦合的回歸樹的葉子結(jié)點個數(shù)；ω為回歸樹的葉子節(jié)點分數(shù)；γ的用途為控制回歸樹的葉子結(jié)點個數(shù)；α用于防止回歸樹的葉子節(jié)點分數(shù)過大。模型的迭代采用疊加式的訓(xùn)練的方式以進一步最小化目標(biāo)函數(shù)。每次迭代將目標(biāo)函數(shù)更新為

(11)

將式(11)在ft(X′i)=0處泰勒展開到二階得到

Ω(ft)

(12)

去除式(12)中的常數(shù)項，得到

其中，

上述式(13)可以看成是關(guān)于葉子結(jié)點分數(shù)ω的一元二次函數(shù)，對其求解得到。

(14)

于是得到最終的輸入變量X′與輸出變量Y的目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)為

(15)

其中，

3.2 模型評估指標(biāo)及其取值說明

為更好的評判模型對測試集的預(yù)測精度，引入評判指標(biāo)均方誤差(mean squared error，MSE)與R2，R2的定義如下

(16)

R2的范圍為[-∞,1]，如果模型預(yù)測效果很好，其R2值就會接近于1，如果模型預(yù)測結(jié)果偏差大，模型的殘差平方和遠遠大于模型的總平方和，R2就會為負。

實際航空發(fā)動機振動響應(yīng)的影響因素繁雜，本文僅是從其高壓轉(zhuǎn)子的裝配參數(shù)角度進行分析，考慮到由高壓轉(zhuǎn)子到整機的裝配過程還會產(chǎn)生裝配偏差，以及高壓轉(zhuǎn)子到整機機匣各個測點會有振動傳遞的損失，其傳遞過程也有其他振動激勵的加入，綜合考慮之后將模型預(yù)測精度的衡量標(biāo)準(zhǔn)R2值取為大于0.4。

4 MC-XGBoost模型預(yù)測與分析

針對實測的120組某型航空發(fā)動機高壓轉(zhuǎn)子的裝配參數(shù)X與測試過程整機振動響應(yīng)參數(shù)Y數(shù)據(jù)樣本，使用本文提出的MC-XGBoost模型研究高壓轉(zhuǎn)子裝配過程的不平衡量、幾何偏心與其試車振動的關(guān)系。首先列出了模型最終篩選的各個振動參數(shù)的重要裝配參數(shù)。然后與原始的XGBoost模型的預(yù)測效果進行對比。最后，針對振動參數(shù)V1將MC算法與RF模型、GBDT模型相集合并與原始的RF、GBDT對比。對所有的模型，均使用85%的數(shù)據(jù)用做模型的訓(xùn)練集，剩下的數(shù)據(jù)用作測試集，測試并對比各個模型的預(yù)測精度。

4.1 裝配參數(shù)評價篩選

對實測的裝配參數(shù)X與試車振動參數(shù)Y，首先計算其MC系數(shù)λ，再根據(jù)λ大小進行排序，以振動參數(shù)V1為例，所得的相關(guān)性最強的前5位裝配參數(shù)排序如表2所示；然后使用MC-XGBoost模型對不同的振動參數(shù)篩選合適的裝配參數(shù)數(shù)據(jù)集X′，對3個振動參數(shù)得到的最終裝配參數(shù)如表3所示。MC-XGBoost模型最終篩選的裝配參數(shù)都包含組合轉(zhuǎn)子的幾何偏心大小|dt|，它是組合轉(zhuǎn)子的最終檢驗標(biāo)準(zhǔn)，是造成整機振動的一個重要因素。振動參數(shù)V1與振動參數(shù)V2都是中介機匣位置的振動速度峰值，所以其振動敏感源一致均為HPT的初始不平衡量大小與組合轉(zhuǎn)子的幾何偏心大小|dt|。振動參數(shù)V3是低壓渦輪機匣的振動速度峰值，其振動敏感源相對于中介機匣測點略有不同。

表2 振動參數(shù)V1相關(guān)性最強的前5位裝配參數(shù)Tab.2 The top 5 assembly parameters with the strongest correlation with vibration parameter V1

表3 各個振動參數(shù)的預(yù)測參數(shù)Tab.3 Predictive parameters of each vibration parameters

4.2 MC-XGBoost模型其他模型預(yù)測結(jié)果對比

將所有的裝配參數(shù)作為模型的輸入，振動參數(shù)作為模型的輸出，即用裝配參數(shù)代入模型來預(yù)測振動參數(shù)。使用XGBoost模型與MC-XGBoost模型分別預(yù)測振動參數(shù)，得到如圖5的預(yù)測值與實測值對比與如表4的誤差對比。

圖5 不同振動參數(shù)的預(yù)測值與實際值對比Fig.5 Comparison between predicted and actual values of different vibration parameters

表4 各振動參數(shù)誤差Tab.4 Error of each vibration parameter

由表4可知，使用XGBoost模型來分別預(yù)測3個振動參數(shù)，其R2全為負值，這說明模型預(yù)測偏差很大。使用MC-XGBoost模型進行預(yù)測，其R2全為正值且大于0.4，表明模型預(yù)測效果明顯提升，特別是對于振動參數(shù)V1與振動參數(shù)V3，如圖5(a)、圖5(c)所示，預(yù)測的效果發(fā)生了質(zhì)的提升，然而對于振動參數(shù)V2的預(yù)測偏差還是較大，如圖5(b)所示，但是相比于XGBoost模型，其預(yù)測精度明顯提升。

從表4中兩模型的MSE值也可知，MC-XGBoost模型的MSE值普遍比XGBoost模型的小，這說明MC-XGBoost模型的預(yù)測結(jié)果偏差普遍比XGBoost模型小。

所介紹的MC算法作為計算數(shù)據(jù)間相關(guān)性算法的一種，它也可以與其他機器學(xué)習(xí)算法模型如RF、GBDT結(jié)合起來使用。

按照相同的方式將參數(shù)變量代入RF、GBDT、MC-RF、MC-GBDT模型中，以振動參數(shù)V1為輸出，得到如表5所示的各模型誤差對比。由表可知，RF、GBDT模型的R2值都比MC-RF、MC-GBDT的小，說明其預(yù)測結(jié)果都不如加上MC系數(shù)后效果好，這說明了裝配參數(shù)優(yōu)化選擇的必要性。

對比表5中RF、MC-RF、GBDT、MC-GBDT模型對振動參數(shù)V1的預(yù)測精度，可以看出MC-XGBoost模型的R2最大且MSE值最小，表明MC-XGBoost模型是所用模型中最優(yōu)的預(yù)測模型。

表5 不同模型誤差對比Tab.5 Comparison of errors of different models

5 結(jié) 論

本文為探索某型航空發(fā)動機高壓轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的裝配參數(shù)與振動測試參數(shù)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)特性，建立了一種MC-XGBoost的預(yù)測模型，并通過實測數(shù)據(jù)樣本驗證，得到如下結(jié)論：

(1)所提出的MC-XGBoost模型可用于航空發(fā)動機高壓轉(zhuǎn)子裝配參數(shù)與整機試車振動響應(yīng)參數(shù)關(guān)系模型的建立。將實測數(shù)據(jù)代入模型，結(jié)果表明，機匣上測點的振動響應(yīng)對高壓轉(zhuǎn)子的幾何偏心大小和HPT的不平衡量大小敏感。

(2)本文使用的MC系數(shù)可以用于數(shù)據(jù)樣本間相關(guān)性的衡量，它與XGBoost模型相結(jié)合，可以克服XGBoost模型的過擬合問題，它與RF模型和GBDT模型結(jié)合，可以提高模型的預(yù)測精度，其中最優(yōu)模型為本文提出的MC-XGBoost模型。

(3)實際航空發(fā)動機振動響應(yīng)的影響因素繁雜，本文從高壓轉(zhuǎn)子的裝配角度，給出了整機振動的關(guān)聯(lián)模型，且預(yù)測結(jié)果顯示高壓轉(zhuǎn)子裝配的不平衡量和幾何偏心對整機振動響應(yīng)有較高的預(yù)測水平。