高志輝，王東海，孫 偉，汪 博

(1.東北大學(xué) 機械工程與自動化學(xué)院，沈陽 110819；2.東北大學(xué) 航空動力裝備振動及控制教育部重點實驗室，沈陽 110819)

航空發(fā)動機管路系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，主要用于完成燃油、滑油、空氣等介質(zhì)的輸送。由于內(nèi)部空間有限，給管路系統(tǒng)安裝、約束、維護帶來很多限制，導(dǎo)致純直管管路較少，更多的是L型、Z型或者更為復(fù)雜的空間異面管路。本文以L型管路為對象開展相關(guān)研究。

航空發(fā)動機管路在工作過程中會受到轉(zhuǎn)子、傳動組件和泵源壓力脈動的激勵而產(chǎn)生振動，過大的振動可能會導(dǎo)致卡箍松動、接頭裂紋等故障[1]，因而需要研究有效減少管路系統(tǒng)過大振動的方法。管路中卡箍的力學(xué)特性(主要是支撐剛度及阻尼)直接影響管路系統(tǒng)的動力學(xué)特性，因而在設(shè)計階段通過調(diào)整卡箍布局使其有效避開發(fā)動機轉(zhuǎn)子的激振頻率通常被認為是一種最簡單、最經(jīng)濟的減振方法[2]。

為了完成以避振為目標的管路系統(tǒng)支撐位置優(yōu)化，首先要研究創(chuàng)建管路系統(tǒng)的動力學(xué)模型作為優(yōu)化研究的基礎(chǔ)模型。當前對管路系統(tǒng)動力學(xué)建模的眾多方法中，有限元法是一種最重要的方法，典型研究諸如Wu等[3]推導(dǎo)出了一種水平曲梁單元，將其用于有一定弧度的彎曲結(jié)構(gòu)自由振動分析。Fonseca等[4]提出位移場由一組三角函數(shù)或五階多項式定義的有限彎曲殼單元，來解決受面內(nèi)彎曲力作用的彎管應(yīng)力分析問題。Zhai等[5]選用Timoshenko梁單元，推導(dǎo)出輸流管道的剛度矩陣及質(zhì)量矩陣，建立了動力學(xué)有限元方程并執(zhí)行了隨機激勵下管路系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)計算。Gao等[6]基于Euler-Bernoulli梁理論，采用有限元方法建立了輸流管道的運動方程，通過引入人工彈簧來模擬任意邊界條件，提出了一種基于模態(tài)綜合的管道模型降階的有效求解方法。上述針對管路有限元建模的理論研究，所針對的對象或者是圓弧形彎管或者是直管，并未考慮直管與彎管部分的結(jié)合，因而相關(guān)有限元理論并不適用于同時含有彎管及直管的L型管路的建模。

當前，以減振為目標的管路卡箍位置優(yōu)化已開展了部分研究。例如Zhang等[7]通過非概率靈敏度分析，研究了航空液壓管路系統(tǒng)中卡箍的設(shè)計問題，針對不同位置的卡箍，篩選出對最大應(yīng)力響應(yīng)、最大位移響應(yīng)和一階固有頻率不敏感的個體，進一步執(zhí)行了卡箍布局優(yōu)化以提升管路系統(tǒng)的抗振性。李鑫等[8]通過優(yōu)化飛機液壓系統(tǒng)的卡箍布局方式，降低了系統(tǒng)激振源頻率點的特征阻抗加權(quán)和。權(quán)凌霄等[9]采用ANSYS軟件平臺中的靈敏度分析工具，分析航空液壓管路支架參數(shù)對振動響應(yīng)的靈敏度，在此基礎(chǔ)上，采用多目標遺傳算法對管路支架布局進行優(yōu)化設(shè)計。Tang等[10]以卡箍位置為設(shè)計變量，以累積疲勞損傷失效概率為優(yōu)化目標，建立了減振優(yōu)化模型并執(zhí)行了卡箍布局優(yōu)化。陳艷秋等[11]利用NSTRAN軟件分析了航空管路系統(tǒng)的動力學(xué)特性，并用遺傳算法對管路系統(tǒng)分別進行調(diào)頻和調(diào)幅的卡箍布局優(yōu)化。翟紅波等[12]綜合考慮了管路系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計變量，通過優(yōu)化卡箍位置、剛度和管徑提高了系統(tǒng)的首超可靠性。Zhang等[13]分析了多卡箍支撐的管路系統(tǒng)，得到了卡箍位置的靈敏度，以避振和減小應(yīng)力為目標用多目標遺傳算法進行優(yōu)化設(shè)計。劉偉等[14]分析了結(jié)構(gòu)參數(shù)對管路系統(tǒng)基頻和隨機振動的靈敏度，在此基礎(chǔ)上，分別以基頻與激振頻率差值最大化及隨機振動響應(yīng)均方差最小化為目標，對卡箍位置進行優(yōu)化設(shè)計。上述關(guān)于卡箍布局優(yōu)化研究多集中于使用工程有限元分析軟件，劃分網(wǎng)格時會降低計算效率，且主要針對的是航空或者輸油氣管路。目前以航空發(fā)動機管路為對象或者背景以避振為目標的卡箍布局優(yōu)化研究還不充分。

另外，由于航空發(fā)動機空間限制，卡箍有時不一定能處于優(yōu)化結(jié)果對應(yīng)的最優(yōu)位置，但其處于一定范圍時，也可滿足避振需要。因而，在管路設(shè)計中，對于一個特定的卡箍存在一個滿足避振要求的容許移動范圍，這里命名為“安全域”。以作者的認知，目前還沒有對這個“安全域”開展充分的研究。

本文以L型管路為研究對象，研究管路系統(tǒng)動力學(xué)有限元建模及基于遺傳算法以避振為目標的卡箍支撐位置優(yōu)化方法。具體包括：提出了“以直代曲”的L型管路有限元建模方法；創(chuàng)建了以避振為目標的卡箍布局優(yōu)化模型以及描述了基于遺傳算法求解該優(yōu)化模型的方法；進行了實例研究，在用試驗校驗有限元模型合理性的基礎(chǔ)上，用所提出的優(yōu)化方法確定了卡箍最優(yōu)的布局，尤其是分析確定了各卡箍滿足避振條件下的可移動范圍，即“安全域”。

1 L型管路動力學(xué)有限元建模

1.1 “以直代曲”管體有限元建模原理

在現(xiàn)有的研究中，對于管路動力學(xué)模型的建立一般采用梁單元，對于圖1所示的L型管路，這里用三維Timoshenko梁單元進行模擬。

圖1 L型卡箍-管路動力學(xué)模型Fig.1 Dynamic model of L-type hoops-pipe system

如圖2所示，所選的梁單元共有2個節(jié)點，每個節(jié)點有6個自由度，分別為沿x，y，z軸的線性自由度及對應(yīng)扭轉(zhuǎn)自由度。這樣，單元的自由度可以表示為

圖2 Timoshenko梁單元Fig.2 Timoshenko beam element

qe=[uiviwiθiφiφiujvjwjθjφjφj]T

(1)

針對L型管路動力學(xué)有限元建模，重點在于描述清楚彎管部分的建模方法，這里用“以直代曲”的方法模擬彎曲段。如圖3所示，將彎管段近似劃分為微小的直管，進而即可用直梁單元進行建模，然后用多個梁段模擬彎管的力學(xué)行為。圖中：D為管路外徑；R為管路彎曲半徑；l=R×π/2(n-1)為彎曲段以直代曲建模時直梁單元長度；n為彎曲段劃分單元數(shù)。為保證計算效率及結(jié)果準確性，彎曲段劃分單元長度應(yīng)與直管段單元長度相近，從而使整體結(jié)構(gòu)單元劃分均勻協(xié)調(diào)。1,2,…,i,i+1,…,m-1,m為彎曲段梁單元各個節(jié)點，在數(shù)值上，n=m-1，O為彎曲中心，虛線部分表示省略部分單元。

圖3 L型管路彎曲段俯視局部放大圖Fig.3 The top view partial enlarged drawing of L-type pipe bending section

劃分完單元后，求出彎曲段直梁單元在各自局部坐標系下的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣，而后，需要進行單元剛度矩陣、質(zhì)量矩陣的組集。在組集過程中，需要對單元剛度矩陣和質(zhì)量矩陣進行局部坐標系和整體坐標系的轉(zhuǎn)換，下面以彎曲段第k個單元為例，介紹轉(zhuǎn)換過程。

如圖4所示，O-xyz為整體坐標系，O′-x′y′z′為彎曲段第k個單元局部坐標系?？紤]到單元的局部坐標系和總體坐標系的關(guān)系，局部坐標系中第k個直梁單元各節(jié)點位移在總體坐標系下可表達為

圖4 L型管路彎曲段第k個單元示意圖Fig.4 The schematic diagram of the k-th element of L-type pipe bending section

(2)

L=diag(T，T，T，T)

(3)

其中，

(4)

進一步，這里

(5)

式中，λk為第k個單元處總體坐標系x軸與局部坐標系x′軸的夾角；為避免單元和節(jié)點表示方法產(chǎn)生混淆，xi,xi+1,yi,yi+1分別為第i個和第i+1個節(jié)點在整體坐標系中坐標值，在數(shù)值上，k=i，則“以直代曲”的梁單元在總體坐系中的單元剛度矩陣和質(zhì)量矩陣為

(6)

(7)

1.2 卡箍的模擬

(8)

迭代結(jié)束后，即可獲得滿足精度要求的彈簧對的4個剛度值參數(shù)。

1.3 運動方程建立以及固有特性求解

以下具體描述模擬卡箍的彈簧單元引入管路系統(tǒng)動力學(xué)分析模型的方法，并由此建立用于求解管路系統(tǒng)固有特性的運動方程。

創(chuàng)建一個與管體有限元模型自由度相等的零矩陣，接著找到模擬卡箍的彈簧單元對應(yīng)的節(jié)點，將彈簧單元的剛度值加到零矩陣的對角線上，形成卡箍剛度矩陣Kk，具體為

(9)

其中，

(10)

(11)

式中：p為L型管路長邊添加彈簧單元節(jié)點號；q為短邊添加彈簧單元節(jié)點號。

將卡箍剛矩陣與管體剛度矩陣進行疊加可得到管路系統(tǒng)的總剛度矩陣K，表達為

K=Kw+Kk

(12)

而管路系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣就為管體的質(zhì)量矩陣，表達為

M=Mw

(13)

綜上，可得到求解管路系統(tǒng)固有特性求解方程為

(14)

其中：ωr和φr分別為管路第r階固有圓頻率及模態(tài)振型向量；n′為系統(tǒng)節(jié)點數(shù)。

2 L型管路卡箍支撐位置優(yōu)化

為了完成面向L型管路的以避振為目標的卡箍支撐位置優(yōu)化，需要創(chuàng)建相應(yīng)的優(yōu)化模型以及采用有效的尋優(yōu)算法對該優(yōu)化模型進行求解，本節(jié)具體描述上述問題。

2.1 L型管路避振優(yōu)化模型

圖5 L型管路避振優(yōu)化模型俯視圖Fig.5 Top view of optimization model of L-type pipeline vibration avoidance

(15)

為保證航空發(fā)動機安全性，在現(xiàn)有的管路系統(tǒng)設(shè)計準則中，要求管路系統(tǒng)的固有頻率要遠離轉(zhuǎn)子的激振頻率，即保證系統(tǒng)的固有頻率處于安全范圍。由于管路系統(tǒng)通常具有較高的剛度，通常情況下要求卡箍-管路系統(tǒng)第1階固有頻率f1需滿足f1>1.25SH，其中，SH為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)激振頻率。因而，可設(shè)卡箍-管路系統(tǒng)固有頻率與激振頻率的差值為目標函數(shù)，使二者有較大差值，這樣，可以較好地避開激振源，避免管路系統(tǒng)發(fā)生共振。進一步需要設(shè)置約束條件限制卡箍在長邊及短邊上的移動范圍。最終，確定該多卡箍支撐L型管路的優(yōu)化模型為

(16)

2.2 基于遺傳算法的優(yōu)化求解

針對L型管路卡箍避振優(yōu)化模型，這里采用遺傳算法[18]對其求解，該算法中所需術(shù)語與優(yōu)化模型對應(yīng)關(guān)系如圖6所示，優(yōu)化基本流程如下：

圖6 遺傳算法與優(yōu)化模型結(jié)合示意圖Fig.6 Schematic diagram of the combination of genetic algorithm and optimization model

步驟2個體評價。計算群體P(g′)中各個個體的適應(yīng)度，即計算各個個體mi(i=1,…,M)中(n1+n2)個卡箍位置對應(yīng)節(jié)點所得出的系統(tǒng)1階固有頻率f1與1.25SH的差值f1SH。

步驟3選擇操作。選擇每一代中適應(yīng)度高的個體，對于卡箍-管路優(yōu)化模型來說，即選擇1階固有頻率f1與1.25SH的差值f1SH大的個體。

步驟4交叉變異操作。這里是指交叉及變換各個個體中(n1+n2)個卡箍位置對應(yīng)節(jié)點的二進制編碼中的部分片段，從而產(chǎn)生對應(yīng)新卡箍位置的個體，各新個體組成下一代群體P(g′+1)。

步驟5終止條件判斷。若g′=G，則以進化過程中所得到的具有最大適應(yīng)度，即1階固有頻率f1與1,25SH的差值f1SH最大的個體作為最優(yōu)解輸出，同時輸出該個體中(n1+n2)個卡箍位置對應(yīng)節(jié)點號，終止運算；若g′

3 實例研究

3.1 問題描述

這里選取如圖7所示L型管路試驗系統(tǒng)，來校驗研發(fā)的有限元模型，并以此為基礎(chǔ)實施卡箍布局優(yōu)化。為使卡箍能在管路直管段任意位置移動，設(shè)計如圖8所示夾具，導(dǎo)軌通過螺栓固定在振動臺上，滑塊通過螺栓、墊片及螺母固定在導(dǎo)軌上。長短邊導(dǎo)軌長度不同，滑塊相同。經(jīng)測試，長、短邊夾具1階固有頻率遠大于所考慮的管路系統(tǒng)頻率分析范圍，從而不會導(dǎo)致夾具與卡箍-管路系統(tǒng)發(fā)生耦合振動。

圖7 固有特性測試現(xiàn)場圖Fig.7 Schematic diagram of field test of inherent characteristics

圖8 夾具放大圖Fig.8 The enlarged view of the fixture

表1 L型管路幾何及材料參數(shù)Tab.1 Geometry and material parameters of L-type pipeline

使用錘擊法獲得卡箍-管路系統(tǒng)的固有頻率及模態(tài)振型。所用的儀器及用途描述如下：用PCB SN 30272模態(tài)力錘進行錘擊，用輕質(zhì)加速度傳感器B &K 4517拾取振動信號，用LMSSCADAS進行數(shù)據(jù)采集與分析，試驗結(jié)果通過LMS Impact Testing進行處理。

3.2 振動特性分析

用第1部分描述的“以直代曲”的方法對L型管路進行有限元建模。在同時考慮卡箍寬度及后續(xù)執(zhí)行優(yōu)化時計算效率的基礎(chǔ)上，對該L型管路進行分網(wǎng)，具體如下：在直管段長邊劃分為300個單元，短邊劃分為150個單元，單元長度均為2 mm；同時，彎管段劃分為10個單元，單元長度也大致為2 mm。綜上，系統(tǒng)共劃分為460個單元，共有461個節(jié)點。3個卡箍的位置

表2 卡箍剛度值Tab.2 The values of hoop stiffness

通過計算獲得L型管路的固有頻率及模態(tài)振型，相關(guān)結(jié)果如表3、表4及表5所示(為了比對，試驗結(jié)果也列在上述表中)。從表中可以看出，用所研發(fā)的模型計算獲得的前5階固有頻率與試驗值的最大偏差為3.2%，模態(tài)振型基本一致，從而證明了研發(fā)的“以直代曲”建模方法的合理性。需要說明的是，這里第1、第4階模態(tài)為豎直面(z向)振型，第4、第5階模態(tài)為水平面(y向)振型，而第2階模態(tài)既包括豎直面(z向)振型，也包括水平面(y向)振型。

表3 實測與仿真固有頻率對比Tab.3 Comparison of measured and simulated natural frequencies

表4 實測與仿真系統(tǒng)豎直面(z向)前3階振型對比Tab.4 Comparison of the first three modes of vertical plane (z direction) between measured and simulated system

表5 實測與仿真系統(tǒng)水平面(y向)前3階振型對比Tab.5 Comparison of the first three modes of horizontal plane (y direction) between measurement and simulation system

此外，這里最終形成的管路系統(tǒng)整體剛度、質(zhì)量矩陣維度均為2 766×2 766階，利用所研發(fā)的程序進行固有頻率求解時單次計算所需時間為1.094 320 s(所使用設(shè)備為Intel(R) Core(TM) i7-8700 CPU)，計算效率較高，可以為工程實際應(yīng)用提供一定借鑒。

最后，為驗證彎管部分單元數(shù)量對仿真結(jié)果的影響，分別對彎管部分劃分5個、8個、10個、20個單元，固有頻率仿真結(jié)果如表6所示。從表中可以看出當彎管段單元劃分為10個時，結(jié)果已經(jīng)收斂。

表6 彎管部分劃分單元數(shù)對收斂性影響分析Tab.6 Analysis of the influence of the number of dividing elements on the convergence of elbow

綜上說明，本文提出的“以直代曲”方法對L型管路進行有限元建模是合理的。

3.3 卡箍支撐位置優(yōu)化

這里將轉(zhuǎn)子系統(tǒng)激振頻率SH假定為225 Hz，此時，要求管路1階頻率大于1.25SH=281.25 Hz。由表3可知目前實例中的卡箍位置并不滿足此要求，因而要執(zhí)行以避振為目標的卡箍位置優(yōu)化。

圖9 1.25SH與系統(tǒng)1階固有頻率差值迭代過程Fig.9 The iterative process of the difference between 1.25SH and the first natural frequency

為了驗證所得優(yōu)化結(jié)果的合理性，如圖10所示，選取2組非最優(yōu)卡箍位置及最優(yōu)卡箍位置所得結(jié)果進行對比，對應(yīng)的卡箍布局方案列于表7中。

表7 卡箍布局方案Tab.7 The scheme of hoops layout

圖10 卡箍布局方案Fig.10 Scheme of hoops layout

最終獲得上述卡箍布局方案的1階固有頻率結(jié)果，并將試驗優(yōu)化結(jié)果與仿真優(yōu)化結(jié)果進行對比。其結(jié)果如表8所示。

從表8可以看出，方案1與方案2卡箍布局方案均不滿足避振要求，仿真卡箍布局優(yōu)化結(jié)果與實測值誤差為-0.3%，從而驗證了本文優(yōu)化結(jié)果的合理性。

表8 優(yōu)化結(jié)果驗證Tab.8 Validation of optimization results

3.4 “安全域”分析

前面已述，在實際的管路系統(tǒng)設(shè)計中由于空間限制，并不一定能使卡箍處于經(jīng)優(yōu)化獲得的最優(yōu)位置，但只要在“安全域”范圍內(nèi)則就滿足避振要求。這里對實例中的3個卡箍，基于假定的激振頻率進行“安全域”分析。

圖11 單個卡箍位置變動安全域Fig.11 The safe region of single hoop position

4 結(jié) 論

本文針對L型管路，研究了管路系統(tǒng)有限元建模及以避振為目標進行卡箍支撐位置優(yōu)化的方法，得出以下結(jié)論：

(1)L型等平面管路的彎曲部分在采用梁單元進行建模時，可以采用“以直代曲”的方法，即將彎管段近似劃分為若干微小的直管，進而用直梁單元進行建模。實踐表明用這種方式創(chuàng)建的有限元模型可有效模擬實際管路的振動特性，計算與實測管路的前5階固有頻率，最大偏差為3.2%，模態(tài)振型基本一致。

(2)對于包含多卡箍支撐的L型管路，可以將卡箍位置作為設(shè)計變量，以管路系統(tǒng)固有頻率與激振頻率的差值為目標函數(shù)，并參照相關(guān)標準確定卡箍位置的約束范圍，從而創(chuàng)建以避振為目標的管路系統(tǒng)優(yōu)化模型。實踐表明該優(yōu)化模型能與后續(xù)的遺傳算法有效結(jié)合，實現(xiàn)卡箍位置的布局優(yōu)化。

(3)在實際的管路系統(tǒng)設(shè)計中由于空間限制，并不一定能使卡箍處于經(jīng)優(yōu)化獲得的最優(yōu)位置。這里提出了“安全域”概念，并基于卡箍位置優(yōu)化結(jié)果，對實例中3個卡箍的安全域進行分析，確定了滿足避振要求的各卡箍可移動范圍。