李 麗，郝宇超，李 震

(1.北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，北京 100083；2.內(nèi)蒙古科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，內(nèi)蒙古 包頭 014010)

板帶軋機(jī)工作過程中普遍存在著明顯振動現(xiàn)象。在軋機(jī)多種振動形態(tài)中，存在著復(fù)雜機(jī)電液耦合振動問題[1-3]。其中機(jī)械結(jié)構(gòu)振動方向的研究重點(diǎn)集中在軋機(jī)垂振、扭振、水平振動以及相互耦合等振動問題[4-7]。

毛君等[8]為對軋機(jī)振動進(jìn)行精確的分析，建立軋機(jī)六自由度的垂直振動模型，對系統(tǒng)的固有頻率和主振型進(jìn)行分析得到第五階固有頻率是引起自激振動的主要頻率。魏靜靜等[9]為分析波紋輥軋機(jī)振動問題，建立四自由度垂振模型，通過有限元仿真發(fā)現(xiàn)在垂直方向振動較為明顯。和東平等[10]考慮波紋輥軋機(jī)界面的非線性因素，建立了兩自由度垂直非線性激勵模型，為抑制軋機(jī)振動提供了理論指導(dǎo)。米凱夫等[11]基于小波分析和分形理論，為準(zhǔn)確監(jiān)視軋機(jī)振動提供了有效的識別方法。吳繼民等[12]考慮到軋機(jī)會受到電磁力矩和軋制力矩雙動力源的作用，建立了雙自由度的軋機(jī)傳動等效力學(xué)模型，通過復(fù)小波變換對非線性參數(shù)進(jìn)行辨識，提出來抑制軋機(jī)振動的有效方法。有關(guān)學(xué)者[13-14]提出一種新的主動振動抑制方法，利用擾動估計(jì)和補(bǔ)償算法設(shè)計(jì)了基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的主動減振器。高崇一等[15]建立了軋機(jī)主傳動系統(tǒng)與帶鋼的耦合振動模型，將帶鋼簡化為Euler梁，分析了扭振基頻對帶鋼振動的影響。侯東曉等[16]通過分析輥系垂直位移與扭轉(zhuǎn)振動角對動態(tài)軋制力和力矩的影響建立了非線性垂直-扭轉(zhuǎn)振動力學(xué)模型。為研究單架機(jī)架以及多架機(jī)架之間的顫振，王橋醫(yī)等[17-18]結(jié)合輥系多模態(tài)結(jié)構(gòu)模型建立了輥系垂直及水平方向的多模態(tài)模型以及機(jī)架之間的耦合模型。Lu等[19]對軋制過程軋機(jī)在垂直-水平-扭轉(zhuǎn)的動態(tài)耦合、非線性、多輥平衡等因素進(jìn)行分析，得出振動系統(tǒng)的分叉點(diǎn)存在性和分叉特點(diǎn)。張陽等[20]綜合軋機(jī)系統(tǒng)垂直、水平方向的剛性振動和軋輥軸向彎曲變形建立了剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)模型，得出軋輥模態(tài)振型的解析解，為提高軋制精度提供理論依據(jù)。

本文以某冷軋機(jī)工作輥為研究對象，建立了外激勵由頻率不等的三個(gè)部分組成的非線性動力學(xué)模型。分析三種外激勵頻率在接近系統(tǒng)固有頻率時(shí)，系統(tǒng)各參數(shù)對振動的影響，建立了相應(yīng)的動力學(xué)方程，分析了工作輥在水平方向的振動特性，為研究軋機(jī)水平振動提供了合理的理論依據(jù)。

1 建立軋機(jī)輥系非線性動力學(xué)模型

板帶軋制是一個(gè)復(fù)雜的工作過程。為研究冷軋機(jī)工作輥機(jī)械結(jié)構(gòu)水平方向的非線性振動特性，建立軋機(jī)工作輥機(jī)械結(jié)構(gòu)非線性模型如圖1所示。板帶軋制過程中存在復(fù)雜的軋制界面，輥縫的非穩(wěn)態(tài)潤滑會產(chǎn)生復(fù)雜的摩擦力Ff。在輥系機(jī)械結(jié)構(gòu)中，工作輥與支撐輥之間會存在一定的偏移距，使液壓缸通過支撐輥傳遞給工作輥的壓下力Fp產(chǎn)生一個(gè)水平方向的分力。又由于萬向接軸的存在，主傳動方向會有附加彎矩和摩擦彎矩的產(chǎn)生，其水平方向投影之和為附加水平彎矩，在工作輥軸徑位置會產(chǎn)生附加水平力Fws引起軋機(jī)的振動。

圖1 工作輥水平振動動力學(xué)模型Fig.1 Dynamic model of horizontal vibration of work roll

輥縫摩擦可以用等效摩擦力來表示

Ff=AFa+(1-A)Fb

(1)

式中：A為真實(shí)接觸面積比；Fa為邊界潤滑摩擦；Fb流體動力潤滑摩擦力；θ1為摩擦力水平方向夾角。等效摩擦力在水平方向的分力為

F1=Ff×cosθ1

(2)

液壓缸通過支撐輥傳遞給工作輥的水平分力[21]可以表示為

F2=Fpsinθ=Ptanθ

(3)

由式(2)可知，液壓缸外激勵水平分力與系統(tǒng)軋制力P相關(guān)，其中θ為軋機(jī)工作輥質(zhì)心與支撐輥質(zhì)心連線垂直方向的夾角。

附加水平力[22]可表示為

(4)

式中：φ1，φ2分別為萬向接軸和工作輥的旋轉(zhuǎn)角；a為接軸和軋輥軸線夾角；M1為作用在萬向接軸的扭矩。

(5)

由于系統(tǒng)激振力由頻率不等的三部分組成，基于牛頓定律建立軋機(jī)工作輥水平方向運(yùn)動微分方程

(6)

式中：K1，K2，K3和C1，C2，C3分別為板帶、支承輥、牌坊立柱與工作輥之間的剛度和阻尼；ΔX為軸承座與牌坊立柱之間的間隙；ω1，ω2，ω3為系統(tǒng)三項(xiàng)激勵不等激振頻率。

基于Duffing振子和Rayleigh振子的非線性特性建立軋機(jī)系統(tǒng)的動力學(xué)模型[25]。

(7)

2 軋機(jī)水平振動響應(yīng)求解

對式(7)進(jìn)行無量綱處理

(8)

并考慮到弱非線性情況引入小參數(shù)ε，得到微分方程為

(9)

根據(jù)多尺度法[26]的基本思想，引進(jìn)自變量

Tn=εnt,n=0,1

(10)

因此關(guān)于t的導(dǎo)數(shù)變成了關(guān)于Tn的偏導(dǎo)數(shù)的展開式，即

(11)

將式(11)代入式(7)中，整理方程為

(12)

系統(tǒng)激振力由頻率不等的三部分組成

(13)

假定方程的解為

(14)

將式(14)代入式(12)中，令方程兩端的ε0和ε的系數(shù)相等，就得到

(15)

式(13)第一個(gè)方程的通解為

(16)

其中，

(17)

將式(16)代入式(15)第二個(gè)方程，結(jié)果會得到單頻激勵項(xiàng)、多個(gè)頻率激勵項(xiàng)，包括兩個(gè)激勵項(xiàng)以及三個(gè)激勵項(xiàng)。

(18)

當(dāng)滿足式(19)條件時(shí)，可以消除永年項(xiàng)。

(19)

(20)

經(jīng)過計(jì)算可以得到系統(tǒng)永年項(xiàng)為

(21)

(22)

對式(22)中實(shí)虛部分離，令

得到

(23)

得到組合共振的幅頻響應(yīng)方程為

(24)

3 工作輥組合共振仿真分析

為研究冷軋機(jī)在多種激勵下的組合共振現(xiàn)象，以某冷軋機(jī)為例，根據(jù)工藝參數(shù)及結(jié)構(gòu)尺寸取以下參數(shù)：

m=2×104kg、工作輥半徑R=0.3 m、壓下量ΔH=0.32 mm、A1=2.533×109N·m-1、A2=2.952×1019N·m-1、B1=1.087×106N·s·m-3、B2=1×1010N·s3·m-3、τb=15 MPa、M1=9.98×106N·m、a=7.6° 計(jì)算值為：

ω0=1、γ=1.165、η=0.017 8、α=0.153、f1=6、f2=1.25、f3=3.25。

3.1 組合激勵下系統(tǒng)幅頻響應(yīng)仿真研究

在存在三項(xiàng)不同頻率的組合共振中，剛度系數(shù)的變化對軋機(jī)振動狀態(tài)存在一定的影響。

如圖2和圖3所示，隨著剛度項(xiàng)系數(shù)的變化，脊骨線位置也會發(fā)生偏移，會影響到軋機(jī)的固有頻率，尤其在圖2中，線性剛度系數(shù)的微小變化，直接影響到軋機(jī)固有頻率，并且隨著線性剛度系數(shù)的增加，組合共振位移響應(yīng)減小，振動峰值降低，說明選取適當(dāng)線性剛度系數(shù)，能有效避開共振區(qū)域。

圖2 線性剛度變化組合共振幅頻曲線Fig.2 Common amplitude-frequency curve of linear stiffness change combination

圖3 非線性剛度變化組合共振幅頻曲線Fig.3 Common amplitude-frequency curve of nonlinear stiffness change combination

圖4所示為軋機(jī)線性阻尼系數(shù)變化對系統(tǒng)幅頻特性的影響，圖4(a)所示，隨之線性阻尼系數(shù)的變化，系統(tǒng)脊骨線位置及彎曲度不會發(fā)生改變。圖4(b)所示隨這系統(tǒng)線性阻尼的增大，系統(tǒng)振動幅值降低。但線性阻尼系數(shù)的微小變化，并不會使系統(tǒng)振動有明顯變化。

圖4 線性阻尼變化組合共振幅頻曲線Fig.4 Common amplitude frequency curve of linear damping change combination

圖5所示，類似與線性阻尼系數(shù)，隨之二次項(xiàng)阻尼系數(shù)增加系統(tǒng)振動幅值逐漸減小，相比與圖4非線性阻尼系數(shù)的微小變化對軋機(jī)振動影響明顯。

圖5 非線性阻尼變化組合共振幅頻曲線Fig.5 Common amplitude-frequency curve of nonlinear damping change combination

3.2 組合激勵下系統(tǒng)響應(yīng)仿真研究

據(jù)式(6)，由軋機(jī)結(jié)構(gòu)計(jì)算的到的參數(shù)進(jìn)行數(shù)值仿真求解，得到系統(tǒng)固有頻率為18 Hz,對軋機(jī)在組合激勵情況下系統(tǒng)水平振動仿真響應(yīng)如圖6所示。圖6(a)為軋機(jī)水平振動位移，圖6中可以看出，系統(tǒng)振動存在明顯的非對稱現(xiàn)象，即軋機(jī)水平振動方向存在著非對稱結(jié)構(gòu)，由于工作輥軸承與牌坊立柱之間存在著間隙，軋機(jī)工作時(shí)會產(chǎn)生撞擊現(xiàn)象，對生產(chǎn)設(shè)備產(chǎn)生影響。

圖6(b)為系統(tǒng)在組合激勵下的水平位移響應(yīng)對應(yīng)頻譜，圖中明顯表示振動系統(tǒng)的水平位移呈周期、倍周期運(yùn)動。圖6(c)為水平系統(tǒng)響應(yīng)相圖，圖6(d)是其龐加萊截面圖，圖中存在有限個(gè)數(shù)的點(diǎn)，進(jìn)一步證明系統(tǒng)處于穩(wěn)定周期運(yùn)動，此時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定。

圖6 組合振動仿真響應(yīng)Fig.6 Combined vibration simulation response

3.3 外擾激勵幅值對系統(tǒng)分岔行為的影響

圖7 當(dāng)n=0.25時(shí)系統(tǒng)振動特征Fig.7 n=0.25 system vibration characteristics

圖8 當(dāng)n=0.55時(shí)系統(tǒng)振動特征Fig.8 n=0.55 system vibration characteristics

圖9 當(dāng)n=0.8時(shí)系統(tǒng)振動特征Fig.9 n=0.8 system vibration characteristics

圖10 當(dāng)n=1.1時(shí)系統(tǒng)振動特征Fig.10 n=1.1 system vibration characteristics

由圖6(c)和圖6(d)所示，此時(shí)幅值參數(shù)為1，得到的龐加萊界面為多個(gè)不動的點(diǎn)，此時(shí)系統(tǒng)處于倍周期，同樣當(dāng)n=0.55和n=1.10時(shí)，系統(tǒng)在截面上留下有限個(gè)離散的點(diǎn)，也是屬于倍周期運(yùn)動，此時(shí)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。但在n=0.25和n=0.80時(shí)系統(tǒng)在界面上留下成片的點(diǎn)集且具有相似性，故此種狀態(tài)下水平振動系統(tǒng)處于混沌周期，此時(shí)系統(tǒng)不穩(wěn)定。

為研究組合振動中外擾力幅值對軋機(jī)水平振動周期特征的影響分布，對非線性系統(tǒng)進(jìn)行更深入的數(shù)值仿真的到對應(yīng)的分叉圖。如圖11當(dāng)n在0.01～0.30時(shí)處于混沌周期隨后過度進(jìn)入一段范圍的倍周期狀態(tài)(0.30～0.62)，再過度到混沌周期狀態(tài)，當(dāng)n值快接近1及往后系統(tǒng)一直處于穩(wěn)定的倍周期運(yùn)動狀態(tài)，與圖7～圖10仿真結(jié)論吻合。

圖11 幅值變化的系統(tǒng)分叉圖Fig.11 Bifurcation diagram of the system with amplitude changes

3.4 系統(tǒng)水平結(jié)構(gòu)間隙對振動位移的影響

在圖6(a)中得出，在軋機(jī)水平系統(tǒng)中由于軸承座與牌坊立柱存在間隙，造成系統(tǒng)的碰撞。圖12(a)為21組系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間在0.5～2.5 s時(shí)的位移響應(yīng)圖，在圖12(b)中可知，系統(tǒng)存在間隙時(shí)，水平振動位移為非對稱的，但是隨著間隙的減小，系統(tǒng)振動正負(fù)位移差會逐漸減小，同時(shí)系統(tǒng)正負(fù)位移趨于對稱，在間隙為0時(shí)，系統(tǒng)最為穩(wěn)定。證明減小軸承座與牌坊立柱之間的間隙，能極大減小系統(tǒng)振動位移，降低設(shè)備碰撞損害。

圖12 軋機(jī)間隙變化水平振動響應(yīng)圖Fig.12 Horizontal vibration response diagram of rolling mill gap change

4 結(jié) 論

本文建立冷軋機(jī)在組合激勵下，上工作輥水平振動動力學(xué)模型，經(jīng)過計(jì)算仿真得到如下結(jié)論：

(1) 當(dāng)三種激勵頻率之和接近固有頻率時(shí)，計(jì)算得到系統(tǒng)的幅頻特性響應(yīng)方程，通過仿真發(fā)現(xiàn)，由于二次項(xiàng)剛度系數(shù)的存在，系統(tǒng)的幅頻特征曲線會出現(xiàn)脊骨線彎曲，出現(xiàn)明顯的跳躍和滯后現(xiàn)象，使在兩次跳躍之間出現(xiàn)不穩(wěn)定區(qū)域。通過對系統(tǒng)剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)的調(diào)整，有效避開系統(tǒng)振動區(qū)域減小振動幅值。

(2) 通過系統(tǒng)響應(yīng)仿真發(fā)現(xiàn)，由于軋機(jī)軸承座與牌坊立柱存在間隙，致使在組合激勵下系統(tǒng)水平振動非對稱位移，又通過對系統(tǒng)頻譜圖、相圖及龐加萊截面圖的分析發(fā)現(xiàn)此時(shí)在組合激勵下，系統(tǒng)屬于周期、倍周期運(yùn)動。通過改變系統(tǒng)組合激振力的幅值發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)隨系統(tǒng)激勵幅值的變化，系統(tǒng)振動周期倍周期與混沌周期特征會交替出現(xiàn)，仿真發(fā)現(xiàn)外激勵幅值取一定范圍時(shí)有利于抑制軋機(jī)水平系統(tǒng)混沌運(yùn)動的產(chǎn)生。改變系統(tǒng)水平方向的結(jié)構(gòu)間隙，發(fā)現(xiàn)隨著間隙的減小不僅會降低系統(tǒng)的撞擊現(xiàn)象還會降低水平振動幅值，有利于抑制軋機(jī)的水平振動。