張婉琪，尹冠生，姚如洋

(1.長安大學(xué) 理學(xué)院，西安 710064；2.湖南大學(xué) 機械與運載工程學(xué)院，長沙 410082)

薄壁金屬圓管作為吸能元件被廣泛應(yīng)用于軌道車輛、汽車、飛行器和巷道支護等領(lǐng)域[1-4]。承受軸向荷載時，根據(jù)圓管尺寸和邊界條件可將其塑性失效模式分為漸進屈曲、整體屈曲、翻轉(zhuǎn)、膨脹、撕裂和收縮等[5-7]。與傳統(tǒng)的漸進屈曲模式相比，翻轉(zhuǎn)模式具有平穩(wěn)的穩(wěn)態(tài)翻轉(zhuǎn)力且不存在過大的初始峰值載荷[8]。翻轉(zhuǎn)模式根據(jù)變形區(qū)是否受力分為自由翻轉(zhuǎn)與模具翻轉(zhuǎn)，模具翻轉(zhuǎn)又可根據(jù)模具形態(tài)分為圓角模翻轉(zhuǎn)和錐形模翻轉(zhuǎn)；根據(jù)翻轉(zhuǎn)方向可將翻轉(zhuǎn)模式分為內(nèi)翻與外翻[9-13]。

圓管圓角模具外翻是一種模具制造安裝簡單且管件不需要預(yù)制成形的翻轉(zhuǎn)模式，其翻轉(zhuǎn)過程可分為臨界狀態(tài)之前的擴口卷曲階段和之后的穩(wěn)定階段,實現(xiàn)穩(wěn)定翻轉(zhuǎn)時的翻轉(zhuǎn)力稱為穩(wěn)態(tài)翻轉(zhuǎn)力，是衡量翻轉(zhuǎn)模式吸能特性的重要指標。由于擴口卷曲階段的變形復(fù)雜且試驗得到此階段翻轉(zhuǎn)力均低于穩(wěn)態(tài)翻轉(zhuǎn)力[14]，所以大多數(shù)針對圓角模外翻模式的理論研究僅考慮穩(wěn)定階段的受力平衡或能量守恒以得到穩(wěn)態(tài)翻轉(zhuǎn)力。黃早文等[15-16]假設(shè)實現(xiàn)穩(wěn)定翻轉(zhuǎn)時圓管變形區(qū)為曲率半徑不變的半圓，通過平衡法得到了考慮摩擦效應(yīng)的穩(wěn)態(tài)翻轉(zhuǎn)力表達式并討論了影響穩(wěn)態(tài)翻轉(zhuǎn)力的因素。El-Domiaty[17]通過理論分析得到翻轉(zhuǎn)過程中子午線方向彎曲應(yīng)變和周向拉伸應(yīng)變約為其他應(yīng)變分量的20倍，所以在用能量法求解穩(wěn)態(tài)翻轉(zhuǎn)力時其他應(yīng)變可忽略不計。Niknejad等[18]同樣假設(shè)變形區(qū)為曲率半徑不變的半圓，不同的是假設(shè)管端卷曲360°并根據(jù)能量法建立理論模型，得到不考慮摩擦效應(yīng)的穩(wěn)態(tài)翻轉(zhuǎn)力表達式。由于在穩(wěn)態(tài)翻轉(zhuǎn)力的計算中考慮了管端的收縮應(yīng)變，所以該理論模型預(yù)測的穩(wěn)態(tài)翻轉(zhuǎn)力偏大。Leu[19]提出了一種圓管曲率在脫離模具瞬間改變的幾何模型，即變形區(qū)為兩個曲率不同的1/4圓。由于求解困難，最終仍然按照變形區(qū)為曲率半徑不變的半圓求解。Yu等[20]采用了Leu所提出的幾何模型，并假設(shè)管端翻轉(zhuǎn)270°，根據(jù)能量法得到穩(wěn)態(tài)翻轉(zhuǎn)力理論解與曲率改變后的成形半徑表達式。通過將其與試驗結(jié)果[21]進行對比，發(fā)現(xiàn)其預(yù)測的成形半徑較低。穩(wěn)態(tài)翻轉(zhuǎn)力與成形半徑相關(guān)，因此導(dǎo)致其預(yù)測的穩(wěn)態(tài)翻轉(zhuǎn)力也存在一定誤差。另外試驗過程中圓管與模具之間的摩擦耗能不可忽略，而Niknejad等和Yu等將未考慮摩擦效應(yīng)的理論結(jié)果與試驗結(jié)果對比，其對比結(jié)果也是不可靠的。

理論分析的可靠性依賴于能準確體現(xiàn)翻轉(zhuǎn)模式變形特點的幾何模型。現(xiàn)有理論分析中的幾何模型過于簡化，不能準確體現(xiàn)試驗得到的翻轉(zhuǎn)模式變形特點。根據(jù)現(xiàn)有試驗結(jié)果[22]和數(shù)值模擬得到的圓管圓角模外翻模式的變形特點，本研究提出一種新的描述圓管圓角模外翻模式的幾何模型，基于該幾何模型和能量法得到成形半徑、臨界位移和穩(wěn)態(tài)翻轉(zhuǎn)力理論公式并考慮摩擦效應(yīng)的影響。通過數(shù)值模擬和試驗結(jié)果驗證理論分析的合理性，研究結(jié)果可為雙壁管翻轉(zhuǎn)成形及翻轉(zhuǎn)模式吸能特性的研究提供參考。

1 圓管圓角模外翻模式的理論模型

1.1 幾何模型與基本假設(shè)

圓角模外翻過程的幾何模型軸向剖面，如圖1所示。圖1中：A，B，C，D四點為空間上位置不變的點，E，F(xiàn)兩點為圓管上的點，其空間位置隨著翻轉(zhuǎn)過程的進行而改變(各點取所在位置中面上的點)。圖1(a)為初始狀態(tài)，此時圓管的長度為L，壁厚為t，中面半徑為R，模具圓角半徑為r，此時管端F處于空間位置A點，即A，F(xiàn)兩點重合。當處于初始狀態(tài)的圓管上端受到豎直載荷P的作用，圓管下端F沿圓角模具經(jīng)過擴口卷曲等一系列過渡變形直至達到圖1(b)所示的臨界狀態(tài)，此時圓管上的E，F(xiàn)兩點分別與空間上的C，D兩點重合。此后管端(EF)不再發(fā)生變形，圓管在C點發(fā)生反彎曲，從而形成與初始管壁平行且不斷延伸的CE段，圓管翻轉(zhuǎn)進入穩(wěn)定階段(見圖1(c))。穩(wěn)定階段內(nèi)ABC段為變形區(qū)，A點為變形起點，B點為圓管離開模具的點，C點為變形終止點。定義AB段曲率半徑為擴口半徑rA

圖1 圓管圓角模外翻過程幾何模型軸向剖面圖Fig.1 Axial profile of geometrical model of an external inversion tube over a circular die

rA=r-0.5t

(1)

則AB段曲率均為κA=1/rA。定義C點的曲率半徑為成形半徑rC，則C點曲率為κC=1/rC。假設(shè)AB段是曲率為κA的1/4圓弧，BC段是曲率由κA逐漸變?yōu)棣蔆的曲線，CD(EF)段是曲率由κC逐漸降為零的曲線，曲率在BC和CD段均呈線性分布。

為簡化分析過程，對翻轉(zhuǎn)過程采取如下基本假設(shè)：

(1) 因為整個翻轉(zhuǎn)過程發(fā)生塑性大變形，所以分析過程忽略彈性變形，即管的材料為各向同性的理想剛塑性材料，不存在包辛格效應(yīng)。流動應(yīng)力取屈服應(yīng)力與極限應(yīng)力的平均值

(2)

式中：σ0為流動應(yīng)力；σs為屈服應(yīng)力；σu為極限應(yīng)力；

(2) 不考慮翻轉(zhuǎn)過程中圓管壁厚和長度變化，且接觸區(qū)(AB圓弧段)圓管與模具完全貼合；

(3) 忽略圓管內(nèi)壁與模具之間的摩擦力，即外力做功完全用于管的塑性變形，考慮子午線方向彎曲和周向拉伸兩種塑性變形，其余變形所耗能量可忽略不計，即

dW=P·v0=dWl+dWθ

(3)

式中：dW為外力在單位時間內(nèi)做的功；P為翻轉(zhuǎn)力；v0為A點變形速率；dWl為單位時間內(nèi)子午線方向彎曲耗能；dWθ為單位時間內(nèi)周向拉伸耗能；

(4) 僅考慮圓管在模具上軸向受壓時能穩(wěn)定翻轉(zhuǎn)的工況，不考慮由圓管尺寸、初始缺陷和模具尺寸等原因造成的漸進屈曲和管端開裂兩種失效模式。

1.2 成形半徑

成形半徑是描述翻轉(zhuǎn)模式變形特點的重要物理量，也是后續(xù)準確預(yù)測穩(wěn)態(tài)翻轉(zhuǎn)力的基礎(chǔ)。圖2展示了3種不同幾何模型的臨界狀態(tài)軸向剖面，其中A，B，C，D四點含義與圖1中相同且AB段均為緊密貼合模具的圓弧段。對于圓管圓角模外翻，圖2(a)是最簡單且被采用最多的幾何模型。該幾何模型假設(shè)AD段是保持曲率不變的3/4圓弧，即管端按擴口半徑翻卷了270°。圖2(b)所示的幾何模型假設(shè)AD段是保持曲率不變的圓，即管端按擴口半徑翻卷了360°，未考慮由于A，D兩點在空間上不能重合所造成的AD段的曲率變化。上述兩種幾何模型均假設(shè)管端翻轉(zhuǎn)過程的曲率不變，僅管端翻轉(zhuǎn)角度不同。因此這兩種幾何模型的成形半徑均等于擴口半徑，這與Gupta的試驗結(jié)果有所不同?；诖薡u等研究了圖2(c)所示幾何模型，BD段仍為圓弧段，但曲率半徑不再與AB段相同，在B點曲率半徑由rA突變?yōu)閞C1，即為該幾何模型的成形半徑

(4)

與已有試驗結(jié)果和數(shù)值結(jié)果相比，式(4)得到的成形半徑仍然有較大誤差且在后續(xù)穩(wěn)態(tài)翻轉(zhuǎn)力的計算中忽略了B點的曲率突變?；诖吮疚奶岢隽藞D1所示變形區(qū)曲率連續(xù)變化的幾何模型，修正式(4)給出的成形半徑表達式得到成形半徑rC的經(jīng)驗公式

(5)

對于已知尺寸的圓管，求解關(guān)于模具半徑r的方程rA=rC得到使得成形半徑等于擴口半徑的臨界模具半徑rm

(6)

即當rrA；當r=rm時，rC=rA；當r>rm時，rC

1.3 臨界位移

本文將圓管翻轉(zhuǎn)到臨界狀態(tài)時，其上端下移的位移定義為臨界位移xm，即上端位移到達臨界位移以后，翻轉(zhuǎn)進入穩(wěn)定階段。由于在1.1節(jié)中假設(shè)圓管長度不變，所以臨界位移等于圓管下端F依次經(jīng)過A，B，C，D四點的位移，由圖1幾何模型得AB段弧長為

(7)

由于曲率在BC段呈線性分布，取BC段的平均曲率κBC為

(8)

(9)

同樣，得到CD段平均曲率和弧長為

(10)

(11)

因此，臨界位移xm為

xm=SAB+SBC+SCD=
π(0.75r+1.25rC-0.375t)

(12)

臨界位移是本文提出的描述翻轉(zhuǎn)過程的物理量，目前還未有關(guān)于臨界位移的討論，但可根據(jù)其定義得到圖2中各幾何模型對應(yīng)的臨界位移

(13)

xmb=2πrA=2π(r-0.5t)

(14)

(15)

式中，xma，xmb和xmc分別為計算圖2(a)～圖2(c)中ABCD段曲線長度得到的臨界位移。

圖2 不同幾何模型臨界狀態(tài)軸向剖面Fig.2 Axial profile of geometrical model of different geometric models

1.4 穩(wěn)態(tài)翻轉(zhuǎn)力

如圖1(c)所示，穩(wěn)定階段子午線方向曲率在變形區(qū)起止點(A，C兩點)發(fā)生突變，在整個變形區(qū)是連續(xù)變化的。變形區(qū)起點(A點)曲率由零突變?yōu)棣蔄，則A點曲率突變所引起的子午線方向彎曲耗能為

(16)

(17)

因此，BC段子午線方向彎曲耗能為

(18)

式中，Ss，vs分別為坐標s位置的橫截面面積與變形速率，根據(jù)體積守恒有Ssvs=S0v0。則

(19)

C點曲率由κC突變?yōu)榱?，則C點曲率突變所引起的子午線方向彎曲耗能為

(20)

式中，SC，vC分別為C點的橫截面面積與變形速率，根據(jù)體積守恒有SCvC=S0v0。

由式(16)～式(20)得到在單位時間內(nèi)圓管子午線方向彎曲耗能為

(21)

在變形區(qū)ABC的翻轉(zhuǎn)過程中，圓管中面半徑由R增加至RC，由圖1得幾何條件：RC=R+r+rC-0.5t，所以周向周長增加所引起的拉伸應(yīng)變?yōu)?/p>

(22)

則在單位時間內(nèi)圓管周向拉伸耗能為

(23)

將式(21)和式(23)代入式(3)得到不考慮摩擦效應(yīng)的穩(wěn)態(tài)翻轉(zhuǎn)力Pm為

(24)

即為

(25)

1.5 摩擦因數(shù)修正

為了簡化計算，在上述理論模型中沒有考慮圓管與模具之間的摩擦效應(yīng)。但是在翻轉(zhuǎn)過程中，圓管與模具之間的摩擦耗能也會對翻轉(zhuǎn)模式產(chǎn)生較大的影響，甚至當摩擦力較大時會影響圓管能否成功翻轉(zhuǎn)?；谀芰糠A(yù)測翻轉(zhuǎn)力的理論模型均未考慮摩擦耗能。在圓管翻轉(zhuǎn)過程中，假設(shè)摩擦耗能獨立于塑性耗能，參照由平衡法得到的穩(wěn)態(tài)翻轉(zhuǎn)力中的摩擦因數(shù)項，得到考慮摩擦效應(yīng)的修正穩(wěn)態(tài)翻轉(zhuǎn)力為

(26)

式中，f為圓管與模具之間的摩擦因數(shù)。

2 數(shù)值模擬

2.1 有限元建模

為了驗證理論分析的合理性，使用有限元軟件ABAQUS /Explicit對圓管圓角模外翻過程進行數(shù)值模擬。由于圓管在整個翻轉(zhuǎn)過程中的幾何形狀和邊界條件均關(guān)于圓管中心線軸對稱，所以在數(shù)值模擬時采用如圖3所示的軸對稱模型。上部平板和下部圓角模具均假定為剛體，選用2節(jié)點線性軸對稱離散剛體單元RAX2對其進行網(wǎng)格劃分。圓管選用鋁管，表1給出其材料參數(shù)。將標準拉伸試驗得到的工程應(yīng)力-應(yīng)變曲線(如圖4所示)轉(zhuǎn)化為真實應(yīng)力應(yīng)變數(shù)據(jù)并應(yīng)用到數(shù)值模擬的計算中。采用4節(jié)點雙線性軸對稱單元CAX4R對圓管進行網(wǎng)格劃分，沿著圓管厚度方向劃分4～5個單元。采用A、B管兩種尺寸的圓管，兩種管的長度與中面半徑相同(L=80 mm,R=20 mm)，A管壁厚為0.5 mm，B管壁厚為1.0 mm。加載時約束上部剛性平板除軸向位移以外的所有自由度和下部圓角模具的所有自由度。對上部剛性平板按照平滑幅值曲線施加位移60 mm，加載時間為0.06 s，從而保證翻轉(zhuǎn)過程為準靜態(tài)[24]。分別設(shè)置圓管內(nèi)表面、下端面與圓角模具為面面接觸，圓管上表面與平板下表面為面面接觸，圓管自身各表面為自接觸，摩擦因數(shù)設(shè)為0。表2給出6種設(shè)計工況。

圖3 圓管圓角模翻轉(zhuǎn)的有限元模型Fig.3 Numerical mode of an external inversion tube over a circular die

表1 鋁管的材料參數(shù)Tab.1 Material properties of the aluminum tubes

圖4 材料工程應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.4 The tensile stress-strain diagram of the tube material

表2 設(shè)計工況Tab.2 Design conditions

2.2 數(shù)值結(jié)果

數(shù)值模擬可以得到各工況翻轉(zhuǎn)過程的變形模式和力-位移曲線，結(jié)果顯示6種工況都實現(xiàn)了圓管的成功翻轉(zhuǎn)。圖5給出工況A-2、工況A-3和工況A-4擴口卷曲階段、臨界狀態(tài)和穩(wěn)定階段的變形模式及其對應(yīng)的圓管上端位移。各工況擴口卷曲階段給出兩個典型時刻的變形模式：第一個時刻圓管與模具空隙最大，第二個時刻圓管與模具完全貼合。穩(wěn)定階段給出任一時刻的變形模式。有限元建模中給定上板位移60 mm，加載時當位移增大到一定值，圓管外壁與上板接觸形成雙壁管受壓，力會隨之瞬間增大，定義此時位移為翻轉(zhuǎn)最大位移。位移到達最大位移以后的變形不在本文討論范圍內(nèi)，因此只截取最大位移之前的數(shù)據(jù)得到工況A-2和工況A-4的力-位移曲線(如圖6所示)。根據(jù)變形模式與力-位移曲線可以得到各工況的成形半徑、臨界位移與穩(wěn)態(tài)翻轉(zhuǎn)力的數(shù)值結(jié)果。

圖5 翻轉(zhuǎn)各階段的變形模式Fig.5 Deformation modes at each stage of the inversion process

圖6 翻轉(zhuǎn)模式的力-位移曲線Fig.6 Force-displacement curves of inversion modes

3 結(jié)果與分析

3.1 變形模式

圖5給出各工況擴口卷曲階段兩個典型時刻的變形模式。由此顯示在擴口卷曲階段的初始，圓管下端與模具之間存在空隙，隨著圓管上端不斷下移，圓管下端逐漸貼合模具，并隨著模具圓角半徑r逐漸增大，此現(xiàn)象逐漸減弱。上述現(xiàn)象說明在擴口卷曲階段數(shù)值模擬給出的變形模式與理論分析中假設(shè)的圓管與模具始終緊密貼合不符合，但該現(xiàn)象僅在模具圓角半徑較小時會引起一個遠小于穩(wěn)態(tài)翻轉(zhuǎn)力的局部初始峰值載荷(圖6中的M點)。因此在分析翻轉(zhuǎn)模式吸能特性時，可以不考慮其對所保護部件或乘客的傷害。

由臨界狀態(tài)變形模式的幾何特征可以得到成形半徑和臨界位移，進而可以得到穩(wěn)態(tài)翻轉(zhuǎn)力、總能量吸收等衡量圓管圓角模外翻模式吸能特性的指標，因此臨界狀態(tài)變形模式的準確預(yù)測有重要意義。由圖5給出的各工況臨界狀態(tài)變形模式可以看出變形區(qū)的曲率是不斷變化的，且工況A-2的成形半徑明顯大于其擴口半徑，而工況A-4的成形半徑明顯小于其擴口半徑。對比數(shù)值結(jié)果與圖2給出的3種幾何模型以及圖1(b)，可看出本文的幾何模型更接近數(shù)值模擬得到的變形模式。為了進一步驗證本文提出的幾何模型的正確性，需定量的證明由幾何模型得到的成形半徑與臨界位移理論表達式的可靠性。

3.2 成形半徑、臨界位移和穩(wěn)態(tài)翻轉(zhuǎn)力

表3給出各工況成形半徑、臨界位移和穩(wěn)態(tài)翻轉(zhuǎn)力的數(shù)值結(jié)果、理論結(jié)果及兩者相對誤差，其中成形半徑rC、臨界位移xm和穩(wěn)態(tài)翻轉(zhuǎn)力Pm理論結(jié)果分別由式(5)、式(12)和式(25)得到，Yu等的成形半徑理論值rC1由式(4)得到。由表3可知與數(shù)值結(jié)果相比，成形半徑rC1較低且相對誤差較大，在-30%左右；成形半徑rC的相對誤差遠小于rC1的相對誤差，最大相對誤差為4.79%。這說明本文所提出的成形半徑rC與數(shù)值結(jié)果更加吻合。根據(jù)式(6)得到A管的臨界模具半徑為2.61 mm，B管的為3.92 mm，由表3可得模具半徑小于圓管對應(yīng)臨界半徑的工況(A-2、B-2和B-3)，其成形半徑數(shù)值結(jié)果大于擴口半徑；模具半徑大于圓管對應(yīng)臨界半徑的工況(A-3、A-4和B-4)，其成形半徑數(shù)值結(jié)果小于擴口半徑，這與理論模型符合。為進一步驗證本文成形半徑表達式的合理性，將成形半徑理論結(jié)果與現(xiàn)有試驗結(jié)果進行對比。圖7給出中面半徑為24.35 mm、管壁厚度為1.3 mm的圓管在不同圓角半徑模具上翻轉(zhuǎn)的成形半徑理論值和試驗結(jié)果，結(jié)果顯示本文成形半徑的理論值rC依然比理論值rC1更接近試驗結(jié)果。

表3 成形半徑的理論值與數(shù)值結(jié)果Tab.3 Theoretical results and numerical results of forming radius

圖7 成形半徑的理論結(jié)果與試驗結(jié)果對比Fig.7 Comparison of theoretical results and experimental results of forming radius

由表3得到本文提出的臨界位移理論結(jié)果與數(shù)值結(jié)果吻合較好，最大的相對誤差為4.4%。為了進一步驗證本文臨界位移理論結(jié)果的準確性，對比臨界位移理論結(jié)果xma，xmb，xmc，xm和數(shù)值結(jié)果。圖8給出A、B兩種圓管在不同模具半徑下的各臨界位移結(jié)果，對比結(jié)果表示本文提出的臨界位移xm與數(shù)值結(jié)果更加吻合。理論結(jié)果與數(shù)值結(jié)果均顯示對于同一尺寸的圓管，當圓角半徑增大時，臨界位移也隨之增大。臨界位移的可靠性驗證除了能進一步確認幾何模型的正確性，還是從理論上準確預(yù)測圓管翻轉(zhuǎn)模式總能量吸收的基礎(chǔ)。總能量吸收是衡量部件吸能特性的一個重要指標[25]。對于圓管圓角模翻轉(zhuǎn)模式，總能量吸收可分為到達臨界狀態(tài)之前擴口卷曲階段和整個穩(wěn)定階段的吸能兩部分計算。擴口卷曲階段的吸能根據(jù)臨界位移以前的力-位移曲線積分得到，穩(wěn)定階段的吸能由穩(wěn)態(tài)翻轉(zhuǎn)力與穩(wěn)態(tài)位移(最大位移減去臨界位移)的乘積得到。因此臨界位移的準確預(yù)測對于翻轉(zhuǎn)模式吸能特性的研究有重要意義。

圖8 臨界位移的理論結(jié)果與數(shù)值結(jié)果對比Fig.8 Comparison of theoretical results and numerical results of critical displacements

關(guān)于變形模式、成形半徑以及臨界位移的討論驗證了本文幾何模型的可靠性，這初步說明基于此得到的穩(wěn)態(tài)翻轉(zhuǎn)力表達式的合理性。表3表明穩(wěn)態(tài)翻轉(zhuǎn)力理論結(jié)果與數(shù)值結(jié)果吻合較好，最大相對誤差為3.9%。為了進一步驗證本文關(guān)于穩(wěn)態(tài)翻轉(zhuǎn)力理論模型的正確性，將其與Yu等、Rezvani等和Yao等的理論結(jié)果進行對比。為消除流動應(yīng)力的不同選擇帶來的影響，將Yu等、Rezvani等和Yao等表達式中的流動應(yīng)力替換為本文采用的流動應(yīng)力。由于本文以及Rezvani等和Yao等在理論模型建立時都未考慮摩擦效應(yīng)，將Yu等表達式中的摩擦因數(shù)取為0。圖9對比各工況下穩(wěn)態(tài)翻轉(zhuǎn)力的4種理論結(jié)果和數(shù)值結(jié)果，對比結(jié)果表明：Rezvani等在多數(shù)工況下過大的預(yù)測了穩(wěn)態(tài)翻轉(zhuǎn)力；Yu等和Yao等的理論結(jié)果較為接近，均略低于數(shù)值結(jié)果；本文理論模型更加符合數(shù)值結(jié)果。

圖9 穩(wěn)態(tài)翻轉(zhuǎn)力的理論結(jié)果與數(shù)值結(jié)果對比Fig.9 Comparison of theoretical results and numerical results of steady inversion force

3.3 摩擦效應(yīng)的影響

上述數(shù)值結(jié)果均基于摩擦因數(shù)選取0的數(shù)值模型得到，驗證了不考慮摩擦效應(yīng)時理論模型的合理性。在實際翻轉(zhuǎn)過程中，圓管與模具之間存在不可忽視的摩擦效應(yīng)，因此需要進一步考慮摩擦效應(yīng)以對比理論結(jié)果與試驗結(jié)果。當圓管與模具之間的摩擦力過大時，會導(dǎo)致圓管不能成功翻轉(zhuǎn)，本節(jié)僅討論在適當范圍內(nèi)的摩擦效應(yīng)對描述翻轉(zhuǎn)模式各物理量的影響。將2.1節(jié)數(shù)值模型中的摩擦因數(shù)從0改為0.05，0.10，0.15和0.20，其余設(shè)置不變進行數(shù)值計算。數(shù)值結(jié)果顯示摩擦因數(shù)的改變對于臨界位移與成形半徑影響不大，所以3.2節(jié)中關(guān)于成形半徑與試驗結(jié)果的對比依然可靠。

根據(jù)式(26)得到各工況在不同摩擦因數(shù)下的修正穩(wěn)態(tài)翻轉(zhuǎn)力Pmf，圖10給出各工況下修正穩(wěn)態(tài)翻轉(zhuǎn)力理論結(jié)果與數(shù)值結(jié)果隨摩擦因數(shù)的變化。數(shù)值結(jié)果與理論結(jié)果均顯示穩(wěn)態(tài)翻轉(zhuǎn)力會隨著摩擦因數(shù)的增大而增大且兩者吻合較好，這說明根據(jù)式(26)考慮摩擦因數(shù)對穩(wěn)態(tài)翻轉(zhuǎn)力的影響是可靠的。通過將本文理論結(jié)果與Niknejad等、Gupta等和Rezvani等的試驗結(jié)果對比，初步得到摩擦因數(shù)取值在0.15附近時，修正的穩(wěn)態(tài)翻轉(zhuǎn)力更符合試驗結(jié)果。這與黃早文等研究中提到的在用礦物油做潤滑劑時，摩擦因數(shù)取0.15～0.16符合。在運用本文理論分析預(yù)測實際工程或指導(dǎo)試驗設(shè)計時，應(yīng)根據(jù)具體的圓管材料、模具材料以及潤滑條件選取適當?shù)哪Σ烈驍?shù)。

圖10 穩(wěn)態(tài)翻轉(zhuǎn)力隨摩擦因數(shù)的變化Fig.10 The change of steady inversion force with friction coefficient

4 結(jié) 論

(1) 對比已有理論模型，本文提出的理論模型更符合數(shù)值結(jié)果和現(xiàn)有試驗結(jié)果。成形半徑、臨界位移和穩(wěn)態(tài)翻轉(zhuǎn)力理論預(yù)測與數(shù)值結(jié)果的誤差均低于5%。

(2) 臨界位移為本文首次提出的描述圓管圓角模外翻模式的物理量，其不僅能驗證幾何模型的正確性，還是后續(xù)計算整個翻轉(zhuǎn)過程總能量吸收的關(guān)鍵。根據(jù)已有理論的幾何模型和本文關(guān)于臨界位移的定義得到其對應(yīng)的臨界位移理論結(jié)果并與本文理論結(jié)果對比，結(jié)果顯示，本文臨界位移理論公式更接近數(shù)值結(jié)果。

(3) 圓管與模具之間的摩擦效應(yīng)對成形半徑和臨界位移的影響較小，對穩(wěn)態(tài)翻轉(zhuǎn)力的影響不可忽略。在運用本文理論模型預(yù)測實際工程或指導(dǎo)試驗設(shè)計時應(yīng)采用修正穩(wěn)態(tài)翻轉(zhuǎn)力理論公式，摩擦因數(shù)通常取0.15或根據(jù)具體摩擦條件取值。