孔 凡，沈子恒，何 衛(wèi)，李書進(jìn)

(1.武漢理工大學(xué) 土木工程與建筑學(xué)院，武漢 430070;2.中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(武漢) 工程學(xué)院，武漢 430074)

隨機(jī)振動(dòng)分析方法已被廣泛地應(yīng)用于工程科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域。由Booton[1]和Caughey[2]先后提出的統(tǒng)計(jì)線性化(statistical linearization,SL)方法是解決非線性系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)最常用方法之一[3]。該方法的可靠性在幾個(gè)典型的非線性隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)中得到了驗(yàn)證，例如Duffing振子[4-5]、Van der Pol振子[6]、雙線性[7]和Bouc-Wen模型[8]滯回動(dòng)力系統(tǒng)等。然而，多數(shù)研究均集中于隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的平穩(wěn)隨機(jī)動(dòng)力響應(yīng)。

在地震工程領(lǐng)域，隨機(jī)過程常用來描述地震動(dòng)的隨機(jī)性。目前，常見的隨機(jī)地震動(dòng)的平穩(wěn)色噪聲模型有金井清模型[9]、Clough-Penzien模型[10]、歐進(jìn)萍-牛荻濤模型[11]和彭凌云模型[12]等。然而，實(shí)際地震加速度的數(shù)據(jù)記錄表明地震動(dòng)中存在明顯的非平穩(wěn)特性。研究表明，該特性對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響不可忽略。Priestley[13]提出通過調(diào)制函數(shù)描述非平穩(wěn)激勵(lì)，為隨機(jī)過程非平穩(wěn)性提供了理論基礎(chǔ)?；诖死碚?，大量研究者[14-19]開始使用非平穩(wěn)激勵(lì)模擬地震動(dòng)或大氣湍流。

有些實(shí)際工程中，工程或機(jī)械系統(tǒng)會(huì)同時(shí)受到確定性周期和隨機(jī)激勵(lì)的聯(lián)合作用，例如地震中的旋轉(zhuǎn)機(jī)械[20-21]、風(fēng)力作用下行進(jìn)中的列車[22]、大氣湍流作用下的風(fēng)力發(fā)電機(jī)葉片[23]以及近場(chǎng)地震作用下的結(jié)構(gòu)[24]等。Bouc-Wen模型常用來模擬隔震結(jié)構(gòu)的滯回特性[25-26]。因此，求解非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)和確定性周期激勵(lì)共同作用下的Bouc-Wen滯回系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)是有實(shí)際意義的。

最近，本文作者和其他作者發(fā)展了非線性(包括滯回)系統(tǒng)在聯(lián)合激勵(lì)作用下平穩(wěn)響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)線性化方法[27-28]。本文可視為上述平穩(wěn)方法在非平穩(wěn)響應(yīng)方面的拓展：它是一種用于求解非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)和確定性諧波聯(lián)合作用下，單自由度滯回系統(tǒng)非平穩(wěn)響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)線性化方法。該方法的關(guān)鍵在于：將系統(tǒng)響應(yīng)分解為確定性諧波和零均值隨機(jī)分量之和。由此，將原運(yùn)動(dòng)方程等效地化為兩組耦合的、分別以確定性和隨機(jī)動(dòng)力響應(yīng)為未知量的非線性微分方程。隨后，利用統(tǒng)計(jì)線性化方法處理非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)下的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)(子)方程，并由此導(dǎo)出關(guān)于隨機(jī)響應(yīng)分量二階矩的Laypunov微分方程。將Laypunov微分方程與確定性非線性運(yùn)動(dòng)微分方程聯(lián)立，并利用龍格庫塔法求解。最后，數(shù)值算例驗(yàn)證此方法的適用性和精度。

1 動(dòng)力學(xué)方程

單自由度滯回系統(tǒng)在確定性諧波和非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)聯(lián)合作用下的運(yùn)動(dòng)方程為

(1)

Q(t)=a(t)QS(t)

(2)

式中：QS(t)為譜強(qiáng)度為S0的零均值白噪聲；a(t)為確定性調(diào)制函數(shù)；z(t)為系統(tǒng)滯回位移，采用Bouc-Wen滯回模型描述

(3)

式中，A,n,γ和β均為Bouc-Wen系統(tǒng)參數(shù)。注意到，本文發(fā)展的方法亦可用于非平穩(wěn)色噪聲和其他非線性滯回模型的情況；限于篇幅，不在本文中討論。特別地，當(dāng)n=1時(shí)，式(3)化為

(4)

假定式(1)的非線性響應(yīng)x(t)和z(t)均可分解為確定性諧和分量和零均值隨機(jī)分量之和，即

(5)

(6)

(7)

對(duì)式(7)兩邊求期望得

(8)

用式(7)減去式(8)得

(9)

同樣地，將式(5)和式(6)代入式(4)中，可得

(10)

對(duì)式(10)兩邊求期望得

(11)

用式(10)減去式(11)得

(12)

其中，利用統(tǒng)計(jì)線性化方法經(jīng)常采用的響應(yīng)高斯假定，可得

(13)

(14)

2 統(tǒng)計(jì)線性化方法求解隨機(jī)分量

(15)

式中：

分別為質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣和激勵(lì)向量；Φ=[φ1,φ2]T，且φ1=0

(16)

將式(15)線性化為

(17)

式中，

分別為等效阻尼和等效剛度矩陣，且

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

采用線性隨機(jī)振動(dòng)的狀態(tài)空間方法，求解等效線性系統(tǒng)中未知響應(yīng)統(tǒng)計(jì)量σx,σz和ρ與等效參數(shù)ke和ce的關(guān)系。為此，使用狀態(tài)空間方法表示式(17)，如下

(24)

其中,

(25)

通過與式(24)對(duì)應(yīng)的Lyapunov微分方程

(26)

(27)

其中，

Λ(t)=2πS0a2(t)

(28)

考慮到V是對(duì)稱陣，則可將式(26)化為關(guān)于6個(gè)獨(dú)立未知量(v11,v12,v13,v22,v23,v33)的6個(gè)耦合的代數(shù)方程，即

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

3 數(shù)值算例

3.1 簡(jiǎn)諧激勵(lì)頻率與幅值均不變的情況

取正歸化Bouc-Wen滯回系統(tǒng)的參數(shù)為m=1,ζ=0.3,ωn=1；取共振情況的確定性諧波激勵(lì)參數(shù)為F0=0.5,ω0=1。此時(shí)，運(yùn)動(dòng)方程為

(35)

其中，

Q(t)=a(t)QS(t)

(36)

a(t)=exp(-μt)-exp(-υt)

(37)

式中：μ，υ為控制調(diào)制函數(shù)a(t)非平穩(wěn)性的參數(shù)；QS(t)的譜強(qiáng)度取為S0=4ζ/π。

利用軟化和硬化Bouc-Wen系統(tǒng)作為算例驗(yàn)證所提方法的適用性。其中，軟化Bouc-Wen系統(tǒng)的滯回參數(shù)取為A=1,γ=0.5,β=0.5,n=1,α=0.1；硬化Bouc-Wen系統(tǒng)β=-0.35,γ=0.65，其他參數(shù)與軟化系統(tǒng)相同。本文建議方法(proposed method,PM)與Monte Carlo模擬(Monte Carlo simulation,MCS)的結(jié)果對(duì)比如圖1～圖4所示。MCS中涉及的樣本激勵(lì)由譜表現(xiàn)法生成。圖1和圖2為軟化Bouc-Wen系統(tǒng)響應(yīng)的對(duì)比結(jié)果：可見，本文建議方法得到的響應(yīng)均值和標(biāo)準(zhǔn)差與15 000個(gè)樣本的MCS估計(jì)的結(jié)果吻合良好，且能較好地捕捉到響應(yīng)的非平穩(wěn)性。注意到，本文建議方法與MCS得到的響應(yīng)(特別對(duì)于滯回位移)標(biāo)準(zhǔn)差均出現(xiàn)了類似簡(jiǎn)諧的抖動(dòng)，這是由于確定性和隨機(jī)性響應(yīng)耦合效應(yīng)造成的。

為方便對(duì)比，對(duì)MCS和建議方法得到的標(biāo)準(zhǔn)差函數(shù)求時(shí)間平均，即

(38)

式中：T為時(shí)長(zhǎng)；σ(t)為求得的標(biāo)準(zhǔn)差，并依此進(jìn)行誤差分析。在圖1(a)所示的確定性位移響應(yīng)對(duì)比中，二者得到的穩(wěn)態(tài)幅值相差-3.75%；圖1(b)中，二者得到的標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)間平均值相差-2.67%。圖2(a)和圖2(b)所示的滯回位移響應(yīng)對(duì)比中，二者得到的均值穩(wěn)態(tài)幅值相差-5.12%，而標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)間平均值相差-2.98%。

圖1 聯(lián)合激勵(lì)下軟化Bouc-Wen系統(tǒng)在聯(lián)合激勵(lì)下的位移Fig.1 Displacement of a softening Bouc-Wen system subjected to combined excitation

圖2 聯(lián)合激勵(lì)下軟化Bouc-Wen系統(tǒng)在聯(lián)合激勵(lì)下的滯回位移Fig.2 Hysteretic displacement of a softening Bouc-Wen system subjected to combined excitation

(39)

同樣地，所建議方法對(duì)硬化系統(tǒng)也有很好的計(jì)算精度，如圖3和圖4所示。具體而言，二者得到的位移響應(yīng)均值的幅值相差-7.08%，標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)間平均值相差-6.12%；滯回位移均值的幅值相差-9.93%，標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)間平均值相差-4.32%。以上誤差均在統(tǒng)計(jì)線性化方法的合理范圍之內(nèi)。

圖3 聯(lián)合激勵(lì)下硬化Bouc-Wen系統(tǒng)在聯(lián)合激勵(lì)下的位移Fig.3 Displacement of a hardening Bouc-Wen system subjected to combined excitation

圖4 聯(lián)合激勵(lì)下硬化Bouc-Wen系統(tǒng)在聯(lián)合激勵(lì)下的滯回位移Fig.4 Hysteretic displacement of a hardening Bouc-Wen system subjected to combined excitation

本文的參數(shù)選擇均使滯回曲線飽滿，呈明顯非線性。軟化Bouc-Wen系統(tǒng)和硬化Bouc-Wen系統(tǒng)在諧波與隨機(jī)激勵(lì)樣本聯(lián)合激勵(lì)樣本聯(lián)合作用下的滯回曲線由圖5(a)和圖5(b)所示?？梢姡S機(jī)擾動(dòng)使系統(tǒng)響應(yīng)不能形成閉合的滯回環(huán)。

圖5 聯(lián)合激勵(lì)下Bouc-Wen系統(tǒng)在聯(lián)合激勵(lì)下的滯回環(huán)樣本Fig.5 A sample hysteresis loop of two Bouc-Wen models subjected to combined excitation

3.2 簡(jiǎn)諧激勵(lì)頻率的影響

當(dāng)諧波激勵(lì)接近系統(tǒng)自振頻率或者諧波激勵(lì)幅值增大時(shí)，諧波響應(yīng)分量μx,μz增大。由于確定性諧和分量作用下的運(yùn)動(dòng)方程與零均值隨機(jī)分量作用下的運(yùn)動(dòng)方程是耦合的，所以，諧波響應(yīng)分量會(huì)對(duì)隨機(jī)響應(yīng)分量產(chǎn)生影響。因此，討論諧波激勵(lì)在不同幅值與頻率下該方法的適用性是非常重要的。

圖6 聯(lián)合激勵(lì)下軟化Bouc-Wen系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)分量標(biāo)準(zhǔn)差的時(shí)間平均與諧和激勵(lì)頻率之間的關(guān)系Fig.6 Time-averaged standard deviation of the stochastic response component of a softening Bouc-Wen system subjected to combined stochastic excitation and harmonic excitation with different frequencies

當(dāng)諧波激勵(lì)的幅值分別為F0=0.5和F0=1.0時(shí)，本文所提出方法與Monte Carlo模擬得到的確定性響應(yīng)穩(wěn)態(tài)幅值對(duì)比如圖7(a)和圖7(b)所示。由圖可見，該情況下本文所建議方法得到的結(jié)果與Monte Carlo模擬得到估計(jì)值符合良好。此外，本文所建議方法的精度在確定性響應(yīng)穩(wěn)態(tài)幅值方面要高于標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)間平均值。

圖7 聯(lián)合激勵(lì)下軟化Bouc-Wen系統(tǒng)均值響應(yīng)分量平穩(wěn)幅值與諧和激勵(lì)頻率之間的關(guān)系Fig.7 Amplitude of the stationary deterministic response component of a softening Bouc-Wen system subjected to combined stochastic excitation and harmonic excitation with different frequencies

圖8 聯(lián)合激勵(lì)下硬化Bouc-Wen系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)分量標(biāo)準(zhǔn)差的時(shí)間平均與諧和激勵(lì)頻率之間的關(guān)系Fig.8 Time-averaged standard deviation of the stochastic response component of a hardening Bouc-Wen system subjected to combined stochastic excitation and harmonic excitation with different frequencies

圖9 聯(lián)合激勵(lì)下硬化Bouc-Wen系統(tǒng)均值響應(yīng)分量平穩(wěn)幅值與諧和激勵(lì)頻率之間的關(guān)系Fig.9 Amplitude of the stationary deterministic response component of a hardening Bouc-Wen system subjected to combined stochastic excitation and harmonic excitation with different frequencies

3.3 簡(jiǎn)諧激勵(lì)幅值的影響

圖10 聯(lián)合激勵(lì)下軟化Bouc-Wen系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)分量標(biāo)準(zhǔn)差的時(shí)間平均與諧和激勵(lì)幅值之間的關(guān)系Fig.10 Time-averaged standard deviation of the stochastic response component of a softening Bouc-Wen system subjected to combined stochastic excitation and harmonic excitation with different amplitudes

圖11 聯(lián)合激勵(lì)下軟化Bouc-Wen系統(tǒng)均值響應(yīng)分量平穩(wěn)幅值與諧和激勵(lì)幅值之間的關(guān)系Fig.11 Amplitude of the stationary deterministic response component of a softening Bouc-Wen system subjected to combined stochastic and harmonic excitation with different amplitudes

圖12 聯(lián)合激勵(lì)下硬化Bouc-Wen系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)分量標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)間平均與諧和激勵(lì)幅值之間的關(guān)系Fig.12 Time-averaged standard deviation of the stochastic response component of a hardening Bouc-Wen system subjected to combined stochastic excitation and harmonic excitation with different amplitudes

圖13 聯(lián)合激勵(lì)下硬化Bouc-Wen系統(tǒng)均值響應(yīng)分量幅值與諧和激勵(lì)幅值之間的關(guān)系Fig.13 Amplitude of the stationary deterministic response component of a hardening Bouc-Wen system subjected to combined stochastic excitation and harmonic excitation with different amplitudes

3.4 隨機(jī)激勵(lì)強(qiáng)度的影響

圖14 聯(lián)合激勵(lì)下軟化Bouc-Wen系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)分量標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)激勵(lì)強(qiáng)度之間的關(guān)系Fig.14 Time-averaged standard deviation of the stochastic response component of a softening Bouc-Wen system subjected to combined harmonic excitation and stochastic excitation with different strength

圖15 聯(lián)合激勵(lì)下硬化Bouc-Wen系統(tǒng)均值響應(yīng)分量平穩(wěn)幅值與隨機(jī)激勵(lì)強(qiáng)度之間的關(guān)系Fig.15 Amplitude of the stationary deterministic response component of a softening Bouc-Wen system subjected to combined harmonic excitation and stochastic excitation with different strength

圖16 聯(lián)合激勵(lì)下硬化Bouc-Wen系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)分量標(biāo)準(zhǔn)差的時(shí)間平均與隨機(jī)激勵(lì)強(qiáng)度之間的關(guān)系Fig.16 Time-averaged standard deviation of the stochastic response component of a hardening Bouc-Wen system subjected to combined harmonic excitation and stochastic excitation with different strength

圖17 聯(lián)合激勵(lì)下軟化Bouc-Wen系統(tǒng)均值響應(yīng)分量平穩(wěn)幅值與隨機(jī)激勵(lì)強(qiáng)度之間的關(guān)系Fig.17 Amplitude of the stationary deterministic response component of a hardening Bouc-Wen system subjected to combined harmonic excitation and stochastic excitation with different strength

本文所建議方法對(duì)于不同的α的滯回動(dòng)力系統(tǒng)同樣適用，限于篇幅，茲不贅述。

4 結(jié) 論

本文提出了一種求解Bouc-Wen滯回系統(tǒng)在確定性諧波與非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)聯(lián)合作用下，非平穩(wěn)響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)線性化方法。該方法將系統(tǒng)響應(yīng)表示為確定性諧波和零均值隨機(jī)分量之和，進(jìn)而以兩組耦合的非線性微分方程(分別以諧波和隨機(jī)響應(yīng)為未知量)等效地替代原滯回運(yùn)動(dòng)方程。隨后，利用統(tǒng)計(jì)線性化方法處理非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)下的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)方程，導(dǎo)出了關(guān)于隨機(jī)響應(yīng)分量二階矩的Lyapunov微分方程。將Lyapunov方程與確定性非線性微分方程聯(lián)立，并利用龍格庫塔法求解了上述耦合微分方程組。最后，以軟化和硬化Bouc-Wen系統(tǒng)為數(shù)值算例，在不同參數(shù)設(shè)置的情況下，對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)進(jìn)行廣泛的數(shù)值分析，驗(yàn)證了所建議方法的適用性。結(jié)果表明：在考慮的參數(shù)設(shè)置情況下，所建議方法具有合理的精度。

注意到，本文提出的基于統(tǒng)計(jì)線性化方法求解聯(lián)合激勵(lì)下滯回系統(tǒng)非平穩(wěn)隨機(jī)動(dòng)力響應(yīng)的思路，具有較大的適用性范圍。因此，更適合于聯(lián)合激勵(lì)下工程結(jié)構(gòu)系統(tǒng)隨機(jī)動(dòng)力分析。此時(shí)，利用Lyapunov方程求解等效多自由度線性系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)二階矩時(shí)，其復(fù)雜程度隨著自由度的增加而迅速提升。因此，可考慮使用狀態(tài)空間內(nèi)復(fù)模態(tài)分析的方法降低計(jì)算量。