宋 文，楊赪石，嚴(yán) 海，陳志偉，李志敏

(1.中船重工第七〇五研究所,西安 710075;2.山西省平陽重工機(jī)械有限責(zé)任公司,山西 臨汾 043003)

采用功率分支技術(shù)的圓柱齒輪系統(tǒng)包含定軸式和周轉(zhuǎn)輪系(行星輪系和差動(dòng)輪系)兩類。定軸式功率分支系統(tǒng)集成了周轉(zhuǎn)輪系與普通輪系的優(yōu)點(diǎn)，每分支的傳動(dòng)要求和普通齒輪傳動(dòng)類似，但零件數(shù)和安裝要求均要低于周轉(zhuǎn)輪系。同時(shí)它避免了周轉(zhuǎn)輪系在高轉(zhuǎn)速時(shí)離心力較大的缺點(diǎn)，更適用于高速傳動(dòng)場合，耐沖擊性更強(qiáng)。因此，此類傳動(dòng)在高速重載的直升機(jī)傳動(dòng)[1-2]以及船舶傳動(dòng)系統(tǒng)[3]中得到了廣泛的應(yīng)用。

國內(nèi)外學(xué)者對(duì)于功率分支齒輪系統(tǒng)的研究主要集中在均載性能的分析和優(yōu)化方面。Krantz等[4-6]提出了一種帶平衡梁的雙分支齒輪系統(tǒng)，并對(duì)其動(dòng)力學(xué)特性和均載特性進(jìn)行了理論和試驗(yàn)研究，分析了同步角對(duì)系統(tǒng)均載系數(shù)的影響規(guī)律。Gmirya等[7]通過試驗(yàn)指出彈性扭力軸能有效改善雙分支齒輪系統(tǒng)的均載性能。Jose等[8]分析了雙分支位置角對(duì)系統(tǒng)均載性能的影響，并提出了實(shí)現(xiàn)同步嚙合的解決方案。董皓等[9]、桂永方[10]、趙寧等[11]分別對(duì)功率雙分流齒輪系統(tǒng)均載性能進(jìn)行了分析，研究了不同因素對(duì)系統(tǒng)均載的影響規(guī)律。李楠等[12]分析了功率四分支齒輪系統(tǒng)的固有特性與振動(dòng)特性。董皓等[13]研究了安裝誤差對(duì)由功率雙分支閉鎖輪系和行星輪系組成功率三分支系統(tǒng)均載特性的影響。

在魚雷渦輪機(jī)減速器中，由于空間限制，除了主輸出給螺旋槳提供動(dòng)力外，許多分支上都存在額外的齒輪副嚙合，將功率供給至各輔機(jī)進(jìn)行工作。而現(xiàn)有關(guān)于功率分支齒輪系統(tǒng)的研究文獻(xiàn)中，采用的對(duì)象多為單輸入-單輸出或多輸入-單輸出類型，對(duì)存在多軸輸出的系統(tǒng)力學(xué)特性研究較少。由于額外負(fù)載的加入，導(dǎo)致各分支受載發(fā)生顯著差別，分析此條件下系統(tǒng)的靜/動(dòng)力學(xué)特性變化，對(duì)提高系統(tǒng)動(dòng)態(tài)可靠性設(shè)計(jì)有著重要意義。

本文采用廣義有限元法，建立了魚雷渦輪機(jī)中的多軸輸出功率三分支齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，研究了輔機(jī)負(fù)載、齒輪安裝相位、軸承參數(shù)和連接軸參數(shù)等對(duì)系統(tǒng)靜態(tài)嚙合力的影響規(guī)律，并分析了多負(fù)載時(shí)齒輪副的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特點(diǎn)。

1 多軸輸出功率三分支齒輪系統(tǒng)

圖1為某魚雷渦輪機(jī)中所用多軸輸出三分支齒輪系統(tǒng)的簡化示意圖。動(dòng)力Pin經(jīng)分流級(jí)中心輪z1輸入，經(jīng)三個(gè)分支齒輪z2-i將功率分流，再由3個(gè)匯流級(jí)分支齒輪z3-i將功率匯流至中心輪z4經(jīng)Pout1主輸出。在第3分支上存在齒輪副z5-z6將部分功率傳遞至輔機(jī)Pout2。

圖1 單輸入雙輸出功率三分支齒輪系統(tǒng)Fig.1 Tri-branching gear system with single input and double outputs

2 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模過程

功率三分支系統(tǒng)存在多對(duì)齒輪副嚙合，加上每個(gè)齒輪所連接的傳動(dòng)軸和軸承后，涉及參數(shù)較多。若采用常規(guī)集中質(zhì)量法建模時(shí)，較難考慮傳動(dòng)軸等構(gòu)件的柔性，且涉及繁瑣的質(zhì)量和剛度分配問題，導(dǎo)致結(jié)果準(zhǔn)確性欠佳。此處采用廣義有限元法對(duì)功率三分支系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模，能夠有效解決集中質(zhì)量模型中難以考慮傳動(dòng)軸尺寸、軸承位置等參數(shù)的問題，能更好地分析軸系與齒輪副之間的彎扭耦合特性，計(jì)算結(jié)果更為準(zhǔn)確。

采用廣義有限元法動(dòng)力學(xué)建模的基本過程是：

步驟1分別將各傳動(dòng)軸沿軸線方向在齒輪、階梯軸段、軸承處離散為一系列節(jié)點(diǎn)；

步驟2根據(jù)各節(jié)點(diǎn)之間的實(shí)際連接關(guān)系，將系統(tǒng)劃分為軸段單元、嚙合單元和軸承單元；

步驟3建立各單元的運(yùn)動(dòng)微分方程；

步驟4基于有限元法，將各單元的質(zhì)量、剛度等單元矩陣進(jìn)行組裝，得到系統(tǒng)整體動(dòng)力學(xué)模型。

根據(jù)圖1中各構(gòu)件的連接關(guān)系，可以建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型如圖2所示，其中bi表示第i個(gè)軸承。圖中僅給出了部分軸節(jié)點(diǎn)示意，在實(shí)際動(dòng)力學(xué)建模時(shí)軸節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)可根據(jù)需求以及階梯軸段個(gè)數(shù)進(jìn)行調(diào)整。

圖2 功率三分支齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型簡圖Fig.2 Dynamic model of the tri-branching gear system

2.1 軸段單元

軸段單元采用考慮剪切效應(yīng)的Timoshenko梁單元進(jìn)行建模，如圖3所示。定義梁單元兩節(jié)點(diǎn)的廣義坐標(biāo)為qs={x1,y1,z1,θx1,θy1,θz1,x2,y2,z2,θx2,θy2,θz2}，其中：xi,yi,zi(i=1,2)為兩節(jié)點(diǎn)沿各坐標(biāo)軸的橫向位移，θxi,θyi,θzi(i=1,2)為兩節(jié)點(diǎn)各坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)角。根據(jù)文獻(xiàn)[16]，可得到單元?jiǎng)偠染仃嘖s、阻尼矩陣Cs和質(zhì)量矩陣Ms，則該單元的運(yùn)動(dòng)微分方程為

圖3 Timoshenko梁單元Fig.3 Timoshenko beam element

(1)

2.2 嚙合單元

圖4為一對(duì)斜齒輪副考慮彎曲-扭轉(zhuǎn)-軸向-擺動(dòng)等各方向自由度后的動(dòng)力學(xué)模型。定義主、從動(dòng)輪節(jié)點(diǎn)的位移列向量qm= {xi,yi,zi,θxi,θyi,θzi,xj,yj,zj,θxj,θyj,θzj}T，則齒輪副沿嚙合線方向的相對(duì)總變形為

圖4 嚙合單元?jiǎng)恿W(xué)模型Fig.4 Dynamic model of gear mesh element

δ=Vqm-em

(2)

式中：em為綜合嚙合誤差，可由已知的齒面制造誤差或修形通過LTCA分析得到；V為各方向位移向嚙合線方向的投影向量，計(jì)算式為

V=[cosβsinφ,±cosβcosφ,?sinβ,risinβsinφ,±risinβcosφ,±ricosβ,-cosβsinφ,?cosβcosφ,±sinβ,rjsinβsinφ,±rjsinβcosφ,±rjcosβ]

(3)

式中：ri，rj分別為主、從動(dòng)輪的基圓半徑；β為基圓螺旋角，當(dāng)齒輪右旋時(shí)為正，左旋時(shí)為負(fù)；各項(xiàng)前面的符號(hào)上半部分表示主動(dòng)輪逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，下半部分表示主動(dòng)輪順時(shí)針旋轉(zhuǎn)；φ由式(4)計(jì)算

φ=αtp?φ

(4)

式中：αtp為嚙合角；φ為從動(dòng)輪相對(duì)于主動(dòng)輪的安裝相位角。

由牛頓第二定律可以建立嚙合單元的運(yùn)動(dòng)微分方程，整理成矩陣形式為

(5)

式中：Mm，Cm，Km分別為嚙合質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；Fm為誤差激振力向量，計(jì)算式為

Mm=diag{mi,mi,mi,Ixi,Iyi,Izi,mj,mj,mj,Ixj,Iyj,Izj}

(6)

Km=kmVTV

(7)

Cm=cmVTV

(8)

Fm=kmemVT

(9)

式中：mi,mj分別為主、從動(dòng)齒輪質(zhì)量；Ixi,Iyi,Izi,Ixj,Iyj,Izj分別為主、從動(dòng)輪繞x,y,z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；km為法向綜合嚙合剛度；cm為嚙合阻尼。

2.3 軸承單元

當(dāng)忽略箱體的柔性時(shí)，軸承單元的運(yùn)動(dòng)微分方程為

(10)

式中：qb為軸承所在軸節(jié)點(diǎn)的位移列向量；剛度矩陣Kb=diag{kr,kr,kz,kθx,kθy,0}，其中，kr,kz,kθx,kθy分別為軸承徑向、軸向和擺動(dòng)剛度；阻尼矩陣Cb結(jié)構(gòu)形式與剛度矩陣Kb相同。

2.4 系統(tǒng)整體動(dòng)力學(xué)模型

當(dāng)?shù)玫礁鲉卧仃嚭凸?jié)點(diǎn)載荷向量后，可采用常規(guī)有限元法中整體剛度矩陣的組裝方法，根據(jù)各單元節(jié)點(diǎn)局部編號(hào)與節(jié)點(diǎn)在系統(tǒng)整體編號(hào)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，形成系統(tǒng)整體質(zhì)量矩陣M、阻尼矩陣C和剛度矩陣K(t)。系統(tǒng)整體的運(yùn)動(dòng)微分方程可寫為

(11)

式中：X(t)為節(jié)點(diǎn)位移列向量；P0為系統(tǒng)外載荷向量，通常只包含系統(tǒng)所受輸入和輸出扭矩；Fe為誤差激勵(lì)載荷向量。當(dāng)去掉慣性項(xiàng)和阻尼項(xiàng)后，即可得到系統(tǒng)的靜力學(xué)平衡方程。

作者已經(jīng)將該通用動(dòng)力學(xué)建模流程編寫了規(guī)范化的計(jì)算程序，只需在前端建模模塊中建立不同構(gòu)型傳動(dòng)系統(tǒng)的可視化模型后，就可生成標(biāo)準(zhǔn)化的輸入數(shù)據(jù)，自動(dòng)建立系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程。此方法同時(shí)模擬了齒輪、軸段、軸承等各結(jié)構(gòu)柔性，可在三維空間形成節(jié)點(diǎn)相互連接的廣義有限元?jiǎng)恿W(xué)模型。由于許多中間參數(shù)(質(zhì)量、剛度等)可自動(dòng)獲取，當(dāng)系統(tǒng)構(gòu)件中結(jié)構(gòu)尺寸、相對(duì)安裝位置或負(fù)載情況等參數(shù)改變時(shí)，只需修改非常少的參數(shù)即可進(jìn)行后續(xù)分析，大大提高了模型的一致性和準(zhǔn)確度。

3 功率三分支齒輪系統(tǒng)多負(fù)載力學(xué)特性

3.1 系統(tǒng)參數(shù)

算例功率三分支齒輪系統(tǒng)的參數(shù)如表1～表4所示，各齒輪、傳動(dòng)軸、軸承及功率點(diǎn)的編號(hào)與圖1和圖2中的編號(hào)相對(duì)應(yīng)，z2和z3三個(gè)分支齒輪安裝相位分別為30°，150°和270°，z6的初始安裝相位取為0°。齒輪副的嚙合剛度采用文獻(xiàn)[15]中的切片法進(jìn)行計(jì)算。

表1 齒輪副主要參數(shù)Tab.1 Parameters of the gear pairs

表2 傳動(dòng)軸參數(shù)Tab.2 Parameters of the shafts

表3 各軸承參數(shù)Tab.3 Parameters of the bearings

表4 各功率點(diǎn)參數(shù)Tab.4 Parameters of the power loads

3.2 不同因素對(duì)系統(tǒng)靜力學(xué)特性的影響

式(11)所示的力學(xué)方程里包含了齒輪、軸和軸承等各結(jié)構(gòu)的柔性，同時(shí)可計(jì)入多個(gè)系統(tǒng)負(fù)載，任一因素的改變都會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)力學(xué)特性的變化。而靜力學(xué)分析下是動(dòng)力學(xué)研究的基礎(chǔ)，所以本節(jié)著重分析主要因素對(duì)系統(tǒng)靜力學(xué)特性的影響。

3.2.1 輔機(jī)負(fù)載

表5給出了添加輔機(jī)Pout2和取消后對(duì)各齒輪副嚙合力的影響。當(dāng)未添加輔機(jī)時(shí)，分流級(jí)和匯流級(jí)各分支的載荷均相等，輔機(jī)所在的齒輪副z5/z6載荷為0。當(dāng)在第3分支添加輔機(jī)后，對(duì)于分流級(jí)，第3分支傳遞的總功率增加，嚙合力將增大，而另兩個(gè)分支的嚙合力仍相等。由于分流齒輪z1總變形增加，第1和第2分支嚙合力會(huì)略有增大。而對(duì)于匯流級(jí)，第1和第2分支的嚙合力相等，第3分支嚙合力有所不同，但三分支的嚙合力總和與未添加輔機(jī)時(shí)相同，均為8 868 N。第3分支與另兩個(gè)分支嚙合力的大小關(guān)系主要受連接軸、軸承和輔機(jī)齒輪相位等幾個(gè)因素的影響，下面分別分析其影響規(guī)律。

表5 輔機(jī)對(duì)嚙合力的影響Tab.5 Effects of auxiliary engine on the mesh forces

3.2.2 軸4結(jié)構(gòu)參數(shù)

改變第3分支的連接軸4的內(nèi)徑，觀察嚙合力的變化，如表6所示。當(dāng)減小軸4內(nèi)徑時(shí)，該分支在分流級(jí)和匯流級(jí)的嚙合力都有所增加。直觀上分析，當(dāng)減小軸內(nèi)徑時(shí)，軸的扭轉(zhuǎn)和彎曲剛度將增大，該分支整體剛度將增大，該分支整體變形減小，而嚙合剛度大小基本不變，所以嚙合力將降低。但這與計(jì)算結(jié)果是矛盾的，可以從下面的角度去分析具體原因。

表6 連接軸4對(duì)嚙合力的影響Tab.6 Effects of connecting shaft 4 on the mesh forces

取第1分支和第3分支為例，其從輸入齒輪1～輸出齒輪4的簡化位移關(guān)系如圖5所示。由于齒輪1和齒輪4的位移是一定的，所以二者之間相對(duì)位移是相等的，各分支中連接二者的構(gòu)件位移矢量和應(yīng)相等，即滿足變形協(xié)調(diào)條件

圖5 級(jí)間變形簡化示意圖Fig.5 Schematic diagram of displacements between two stages

δm2-1+δs2+δm3-1=δm2-3+δs4+δm3-3

(12)

式中：下標(biāo)mi為齒輪i嚙合副變形；下標(biāo)s2,s4為軸2和軸4的相對(duì)扭轉(zhuǎn)和彎曲變形。當(dāng)軸4內(nèi)徑減小時(shí)，軸剛度增大，得δs4<δs2，所以齒輪副變形δm2-3+δm3-3應(yīng)大于δm2-1+δm3-1。同時(shí)，由于δs4<δs2的限制，可得分流級(jí)和匯流級(jí)的嚙合變形須同時(shí)增大，即δm2-3>δm2-1，δm3-3>δm3-1。而兩個(gè)分支的嚙合剛度基本相等，所以可得第3分支嚙合力將大于第1分支。因此，可以通過尋找合適的連接軸剛度，使匯流級(jí)各分支的嚙合力實(shí)現(xiàn)基本相等，從而改善匯流級(jí)的均載性能。

3.2.3 軸承剛度

將第3分支匯流級(jí)軸承14各方向的剛度分別與軸承剛度比例因子做乘積，得到新的軸承剛度，計(jì)算出各齒輪副嚙合力的變化，如圖6所示?？梢钥闯?，當(dāng)增大軸承14剛度后，第3分支的嚙合力將有所增加。具體原因和連接軸的影響類似，即軸承剛度增加后，第3分支的級(jí)間連接軸4相對(duì)彎曲變形將減小，必須增加兩級(jí)的嚙合變形才能滿足各分支變形協(xié)調(diào)條件。

圖6 軸承剛度對(duì)嚙合力的影響Fig.6 Effects of bearing stiffness on the mesh forces

3.2.4 齒輪z6安裝相位

改變輔機(jī)輸出齒輪z6的安裝相位，匯流級(jí)嚙合力的變化如圖7所示。由于齒輪安裝相位改變后，通過齒輪z5作用在第3分支軸上的徑向力方向會(huì)變化，導(dǎo)致匯流級(jí)三個(gè)分支上的嚙合力呈周期性變化。因?yàn)樵摲至H直接作用在第3分支上，所以只影響第3分支上的嚙合力，另兩個(gè)分支上的嚙合力仍然相等。

圖7 齒輪6安裝相位對(duì)匯流級(jí)嚙合力影響Fig.7 Effects of installation phase of gear 6 on the mesh forces of power confluence stage

3.3 齒輪副動(dòng)態(tài)響應(yīng)規(guī)律

圖8～圖10給出了當(dāng)輸入轉(zhuǎn)速為6 000 r/min時(shí)，不同齒輪副的動(dòng)態(tài)傳遞誤差(dynamic transmission error，DTE)頻譜圖。此時(shí)，系統(tǒng)共有三個(gè)嚙合頻率，即分流級(jí)f1=2 900 Hz，匯流級(jí)f2=1 295 Hz和輔機(jī)齒輪副f3=1 709 Hz。

對(duì)比圖8(a)和圖8(b)可知，分流級(jí)分支2和分支3上的DTE中，分流級(jí)頻率f1及其倍頻2f1所占的成分相當(dāng)，且最為明顯；匯流級(jí)頻率f2和輔機(jī)頻率f3在分支2、分支3上均有體現(xiàn)，可見輔機(jī)齒輪z5的振動(dòng)不僅傳遞至z2-3，還傳遞至z1，影響了分支1、分支2的振動(dòng)。這是齒輪z2-3所在安裝軸4受到匯流級(jí)和輔機(jī)齒輪副的振動(dòng)影響，會(huì)攜帶振動(dòng)頻率f2和f3，而齒輪z2-3相比z1齒數(shù)多，質(zhì)量和慣量更大，其振動(dòng)更容易傳遞至z1，導(dǎo)致與z1相連的其他兩個(gè)分支也會(huì)出現(xiàn)頻率為f2和f3的振動(dòng)。同時(shí)還可發(fā)現(xiàn)，分支3上f2和f3的成分相比分支2上的更大一些，符合振動(dòng)傳遞規(guī)律。

圖8 分流級(jí)動(dòng)態(tài)傳遞誤差頻譜Fig.8 Frequency domain DTE of power split stage

對(duì)比圖9(a)和圖9(b)可知，匯流級(jí)分支2、分支3的主要振動(dòng)頻率為自身嚙合頻率f2及其倍頻。輔機(jī)頻率f3僅在分支3上所有體現(xiàn)，而在分支2中的成分極小。其原因與對(duì)分流級(jí)的影響相反，即匯流級(jí)分支3上的齒輪z3-3為小齒輪，其振動(dòng)對(duì)質(zhì)量更大的中心輪z4影響較小，對(duì)分支1、分支2的振動(dòng)影響可忽略不計(jì)。

圖9 匯流級(jí)動(dòng)態(tài)傳遞誤差頻譜Fig.9 Frequency domain DTE of power confluence stage

觀察圖10可知，輔機(jī)齒輪副響應(yīng)中的主要頻率成分為f3和f2及它們的倍頻，而分流級(jí)f1的成分基本為0。這是由于齒輪z5距離匯流級(jí)齒輪z3-3更近，且二者之間無軸承阻隔(見圖2)，加之z3-3為小齒輪，在z3-3/z4齒輪副中振動(dòng)更大，導(dǎo)致z5受匯流級(jí)的影響更明顯。而分流級(jí)齒輪z2-3為大齒輪，在z1/z2-3齒輪副中振動(dòng)較小，同時(shí)其與z5之間存在兩個(gè)軸承阻隔，所以傳遞至齒輪z5的振動(dòng)非常微弱。

圖10 輔機(jī)齒輪副動(dòng)態(tài)傳遞誤差頻譜Fig.10 Frequency domain DTE of gear pair of auxiliary engine

4 結(jié) 論

本文以魚雷渦輪機(jī)中的功率三分支齒輪系統(tǒng)為對(duì)象，采用廣義有限元法建立了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，分析了多軸輸出條件下，不同參數(shù)對(duì)系統(tǒng)靜態(tài)和動(dòng)態(tài)力學(xué)特性的影響。研究的主要結(jié)論有：

(1) 在某分支添加輔機(jī)輸出后，會(huì)使該分支在分流級(jí)的嚙合力增大，同時(shí)導(dǎo)致匯流級(jí)該分支的嚙合力與另兩個(gè)分支產(chǎn)生差異。

(2) 受分支間變形協(xié)調(diào)條件的限制，當(dāng)增大某分支連接軸或軸承的剛度后，會(huì)增加該分支在分流級(jí)和匯流級(jí)的嚙合變形，從而使該分支的嚙合力增加。

(3) 輔機(jī)齒輪副的安裝相位對(duì)各分支的嚙合力產(chǎn)生周期性的影響。

(4) 在某分支添加輔機(jī)輸出后，對(duì)分流級(jí)各分支的齒輪副振動(dòng)均會(huì)產(chǎn)生影響，而對(duì)匯流級(jí)則主要影響所在分支齒輪副的振動(dòng)。

由于級(jí)間連接軸剛度對(duì)功率分支系統(tǒng)的影響規(guī)律已經(jīng)較為明確，即減小連接軸剛度會(huì)補(bǔ)償制造和安裝誤差，提高系統(tǒng)的均載性能，而本文對(duì)象為多軸輸出，各分支嚙合力本就不相等，所以并未分析其影響規(guī)律。在后續(xù)研究中，可進(jìn)一步分析齒輪修形/誤差參數(shù)、嚙合錯(cuò)位以及不平衡力等因素對(duì)系統(tǒng)靜/動(dòng)力學(xué)特性的影響規(guī)律。