米涵芃，胡超芳，楊曉荷，胡永太

1.天津大學(xué)，天津 300072

2.航空工業(yè)西安飛行自動控制研究所 飛行控制航空科技重點實驗室，陜西 西安 710065

高超聲速飛行器具有飛行速度快、生存力高以及靈活性強等優(yōu)點，近年來逐漸成為各國發(fā)展的重點[1-2]。但其強非線性、強耦合性[3]、快時變以及不確定性等特點，為控制系統(tǒng)的設(shè)計帶來了極大的挑戰(zhàn)[4]。同時，由于飛行環(huán)境復(fù)雜多變和硬件限制，飛行器還要面臨執(zhí)行器故障[5]與輸入飽和[6]等問題。除此之外，高速飛行時氣動熱會導(dǎo)致飛行器結(jié)構(gòu)發(fā)生形變[7]，降低機體固有頻率，激發(fā)彈性模態(tài)，從而影響飛行器的氣動力和飛行狀態(tài)[8]。因此，設(shè)計有效的控制策略，保證飛行器穩(wěn)定飛行，具有十分重大的研究意義。

反饋線性化通過狀態(tài)或輸入輸出的變換與反饋，處理系統(tǒng)中的非線性部分，從而得到期望的線性系統(tǒng)，是解決高超聲速飛行器模型非線性問題的有效手段，受到諸多學(xué)者的青睞。如Ding 等[9]基于反饋線性化技術(shù)，針對彈性高超聲速飛行器，提出了一種連續(xù)滑?？刂破?。An等[10]研究了一類反饋線性化系統(tǒng)，用于研究外部擾動和輸入受限下的抗飽和控制問題。Yang等[11]通過反饋線性化將存在參數(shù)不確定的縱向非線性模型，轉(zhuǎn)化為帶有附加擾動的線性參變模型，并設(shè)計了預(yù)測控制器。

針對輸入飽和問題，通常是研究實際輸入受限下的抗飽和方法。如Chen等[12]利用雙曲正切函數(shù)，解決了高超聲速飛行器在再入階段的舵偏角輸入飽和問題。Xia 等[13]提出了基于積分滑模和自適應(yīng)動態(tài)規(guī)劃的控制律，以處理舵偏角輸入飽和。但對于反饋線性化模型，實際控制輸入約束會在線性化過程中轉(zhuǎn)換為與狀態(tài)相關(guān)非線性函數(shù)形式的虛擬輸入約束，這就給控制器的設(shè)計帶來了挑戰(zhàn)。

基于以上問題，本文針對彈性高超聲速飛行器反饋線性化后具有的狀態(tài)依賴輸入飽和特性，提出了一種基于可調(diào)Tube 預(yù)測控制（Tube-MPC）的容錯控制方法。首先，采用反饋線性化建立多胞線性參變模型。其次，對于執(zhí)行器卡死或隨機漂移故障，在傳統(tǒng)Tube-MPC基礎(chǔ)上，引入了調(diào)節(jié)因子，改變魯棒正不變集大小，以降低保守性，實現(xiàn)系統(tǒng)控制性能和魯棒性的折中。對于狀態(tài)依賴輸入飽和，將標(biāo)稱控制律設(shè)計為凸組合形式。同時利用平方和（SOS）技術(shù)，將多項式形式的虛擬輸入約束轉(zhuǎn)換為線性矩陣不等式，進(jìn)行控制律求解。最后，進(jìn)行了仿真驗證。

1 彈性高超聲速飛行器模型

1.1 縱向動力學(xué)模型

本文所使用的縱向彈性高超聲速飛行器動力學(xué)模型[14]如下

式中：飛行狀態(tài)h,V,α,θ,Q,η1,2分別為飛行高度、速度、迎角、俯仰角、俯仰率和一、二階彈性模態(tài)。m為飛行器的質(zhì)量，g為重力加速度，Iyy為轉(zhuǎn)動慣量。L,D,T,M,N1,2為升力、阻力、推力、俯仰力矩和彈性模態(tài)廣義力。?1,2為彈性模態(tài)自然振蕩頻率，ζ1,2為彈性模態(tài)阻尼。ψ?1,2為約束梁耦合常數(shù)。

考慮剛體、彈性、氣動系統(tǒng)、推進(jìn)系統(tǒng)互相耦合，氣動參數(shù)表示如下式

中：ρ為空氣密度，S為參考面積，zT為推力力矩耦合系數(shù)，cˉ為平均氣動弦長，δe為升降舵偏轉(zhuǎn)角。CL,CD,CM,CT,N1,2為氣動參數(shù)的擬合系數(shù)。二階發(fā)動機系統(tǒng)模型如下

式中：Φ為空氣當(dāng)量比，Φc為空氣當(dāng)量比控制量，?e為發(fā)動機自然頻率，ξ為發(fā)動機阻尼比。

1.2 反饋線性化模型

式中：A,B分別為狀態(tài)矩陣和輸入矩陣。

進(jìn)而可以得到標(biāo)稱系統(tǒng)模型如下

以及參考點處的飛行器模型如下

考慮參數(shù)不確定，將式（4）轉(zhuǎn)換為如下等效線性形式

式中：B(ΔB(t)),Bω((t)),ω(t)為由參數(shù)矩陣構(gòu)成的仿射形式矩陣與矢量。

1.3 故障模型

當(dāng)執(zhí)行器發(fā)生失效或隨機漂移故障時，實際輸入變?yōu)槿缦?/p>

式中：ρl為執(zhí)行器的有效系數(shù)，Δδe(t)為故障舵隨時間變化的隨機漂移量。將式（7）轉(zhuǎn)換為有執(zhí)行器故障和參數(shù)不確定的線性模型

式中：f為故障附加等效項，即

式中：N0(x,p0)為與實際狀態(tài)和標(biāo)稱參數(shù)相關(guān)的矩陣。

2 狀態(tài)依賴輸入飽和

在實際飛行過程中，受限于執(zhí)行器的具體物理結(jié)構(gòu)，控制輸入u=[δe,Φc]T的變化范圍是有限的，其中包括舵面飽和限制和空氣當(dāng)量比控制量限制。具體形式如下

式中：umin,umax分別為實際輸入的上下限。

由此得到虛擬控制輸入的飽和函數(shù)形式如下

式中：vmin,vmax分別為虛擬輸入的上下限，其具體形式如下

式中：p0為飛行器模型的標(biāo)稱參數(shù)，x=[h*,V*,h,V,α,θ,Q,Φ，]T為飛行狀態(tài)，M0(x,p0)同樣為標(biāo)稱參數(shù)下與實際狀態(tài)相關(guān)的矩陣。

可見虛擬輸入的上下限是與實際飛行狀態(tài)相關(guān)的非線性函數(shù)，為了簡化計算，將其擬合成關(guān)于狀態(tài)誤差的線性多項式。首先構(gòu)建狀態(tài)誤差，將式(5)與模型(6)相減，并進(jìn)行離散化可得到

式中：狀態(tài)誤差ze1與輸入誤差ve1形式如下

ze1(k)=z0(k)-zm

ve1(k)=v0(k)-vm

擬合后的虛擬輸入上下限如下

式中：κ0∈R2×1,κ1∈R2×9為擬合系數(shù)。

因此，虛擬輸入飽和可表示如下

3 Tube-MPC控制器設(shè)計

為使實際系統(tǒng)跟蹤上標(biāo)稱系統(tǒng)，還需要構(gòu)建實際系統(tǒng)與標(biāo)稱系統(tǒng)的誤差模型。將模型(9)與模型(5)相減，離散化可得誤差模型如下

式中：d=B′ω(Δω(k))ω(k) +f∈W為由參數(shù)不確定和故障轉(zhuǎn)化而來的有界附加擾動，W為擾動集，B′ω(Δω(k))為由參數(shù)矩陣構(gòu)成的仿射形式矩陣，狀態(tài)誤差與輸入誤差形式如下

ze2(k) =z(k) -z0(k)

ve2(k) =v(k) -v0(k)

傳統(tǒng)的Tube-MPC控制律形式如下

式中：K為Tube-MPC的輔助反饋控制律，F(xiàn)為標(biāo)稱控制律。

本文在傳統(tǒng)方法基礎(chǔ)上，引入調(diào)節(jié)因子，通過調(diào)節(jié)實現(xiàn)控制性能和魯棒性折中。同時，將標(biāo)稱控制律構(gòu)造為無約束的標(biāo)稱控制律與約束下控制律的凸組合形式。具體設(shè)計過程如下。

3.1 輔助反饋控制律設(shè)計

定義矩陣Qm,Qn，通過求解以下線性矩陣不等式可以求得輔助魯棒反饋控制律K=QmQ-1n。

3.2 調(diào)節(jié)因子

在傳統(tǒng)Tube-MPC 控制中，利用最小魯棒正不變集Z來表示“Tube”的大小。為保證控制器的穩(wěn)定性，通常會針對故障最嚴(yán)重的情況來設(shè)計控制律，但這會導(dǎo)致控制器的保守性過強，從而降低控制性能?？紤]到實際飛行中不一定發(fā)生最壞情況，可以適當(dāng)降低系統(tǒng)魯棒性，以提高控制性能。因此，不必使用完全故障情況下擾動集W所對應(yīng)的Z。

基于上述思想，本文借鑒參考文獻(xiàn)[16]的思想，引入了調(diào)節(jié)因子τ∈[0,1]，用于調(diào)節(jié)不變集的大小。當(dāng)故障并非完全發(fā)生時，即W變?yōu)椴煌陚鋽_動集W′時，由于不變集與所發(fā)生的故障程度成正比，通過改變τ，可以將Z變?yōu)椴煌陚鋽_動最小魯棒正不變集Z′。由于τ的引入，不變集的各個維度以一定的比率縮減，因此兩種不變集的關(guān)系可表示為Z′=τZ。

為簡化起見，在本文中我們假設(shè)W和Z在每一個維度都縮小同樣的比率，因此τ可以取一個定值。為了有效求解對應(yīng)于W′的Z′，采用參考文獻(xiàn)[17]的方法進(jìn)行計算。

由此，引入調(diào)節(jié)因子的控制律如下

接下來分析τ對控制性能和魯棒性的影響。傳統(tǒng)Tube-MPC的標(biāo)稱控制律要滿足

式中：Θ為集差，v0min,v0max為標(biāo)稱虛擬輸入的上下限。

引入τ后約束條件則變?yōu)?/p>

式中：v′0min,v′0max為經(jīng)τ調(diào)節(jié)后的上下限。

可見τ的引入擴大了標(biāo)稱控制輸入約束范圍。隨著τ減小，標(biāo)稱系統(tǒng)約束放松，控制性能變好，而魯棒性則變差。反之，隨著τ增大，標(biāo)稱系統(tǒng)約束變嚴(yán)格，控制性能降低，但系統(tǒng)的魯棒性會有所提升。

3.3 標(biāo)稱控制律設(shè)計

本文設(shè)計的標(biāo)稱控制律為

式中：Fn,Fs為無約束和約束下的標(biāo)稱控制律，λ∈[0,1]為權(quán)重系數(shù)。

在求解標(biāo)稱控制律時，需要考慮輸入飽和問題，從式（15）中可以看出，M0,N0是復(fù)雜非線性函數(shù)，而且vmin,vmax是多項式形式，這使得飽和約束難以求解。因此考慮到SOS技術(shù)處理多項式約束的優(yōu)勢，引入SOS 將上述多項式轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式約束，以便于控制律的求解。

定義1[18]

針對多項式H(x)，假設(shè)它可以表示為如下一組多項式gi(x),i= 1,…,m平方和的形式。

則H(x)∈∑[x]就是SOS 多項式，其中∑[x]為SOS多項式集合，且H(x)≥0,?x∈Rn。

對于帶有狀態(tài)依賴輸入約束的誤差系統(tǒng)(13)，給定合適的系統(tǒng)狀態(tài)權(quán)重矩陣ψ∈R9×9，控制輸入權(quán)重矩陣σ∈R2×2，約束控制下影響不變集的參數(shù)κ∈R9×9。如果存在正標(biāo)量γn，正定對稱矩陣Ys和Yn，可以使輔助SOS 多項式s1(ze1(k)),s2(ze1(k)),s3(ze1(k)),s4(ze1(k))滿足以下優(yōu)化問題，則本文所設(shè)計的標(biāo)稱增益Fs=YsQ-1,Fn=YnQ-1可以保證誤差系統(tǒng)(13)的穩(wěn)定。

式中：*代表線性矩陣不等式中對稱的部分，其余部分如下

由此，可以求得虛擬控制律，經(jīng)過式（26）轉(zhuǎn)換后可得到實際控制輸入如下

4 仿真驗證與分析

仿真條件：初始高度為25908m，初始速度為2347m/s，期望高度為29184.6m，期望速度為3017.5m。故障在350s時發(fā)生，為10%失效故障。為驗證本方法的有效性，與傳統(tǒng)Tube-MPC控制器進(jìn)行對比。

首先，選取τ= 1，即不引入調(diào)節(jié)因子，僅對控制器的容錯以及抗飽和能力進(jìn)行驗證，仿真結(jié)果如圖1和圖2所示。

圖1 飛行狀態(tài)Fig.1 Flight states

圖2 控制輸入Fig.2 Control inputs

由圖1 可知，本方法能使彈性高超聲速飛行器在故障發(fā)生時，精確完成跟蹤任務(wù)。由圖2可知，虛擬和實際控制輸入均在約束范圍內(nèi)。在相同仿真條件下，分別選取τ為1和0.7進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果如圖3～圖5所示。由圖3～圖5可知，減小調(diào)節(jié)因子至0.7后，與調(diào)節(jié)因子為1時相比，系統(tǒng)的響應(yīng)速度變快，超調(diào)量減小，控制性能提升。但故障發(fā)生后，飛行狀態(tài)和控制輸入的抖動變大，證明魯棒性降低。因此選擇合理的調(diào)節(jié)因子，可以既保證系統(tǒng)魯棒性，也可以提升控制性能。

圖3 加入調(diào)節(jié)因子的高度Fig.3 Altitude with adjustable factor

圖4 加入調(diào)節(jié)因子的一階彈性模態(tài)Fig.4 First order elastic mode with adjustable factor

圖5 加入調(diào)節(jié)因子的舵偏角Fig.5 Elevator deflection with adjustable factor

5 結(jié)論

本文針對狀態(tài)依賴輸入飽和、參數(shù)不確定和執(zhí)行器故障下的彈性高超聲速飛行器，設(shè)計了基于可調(diào)Tube-MPC的容錯控制器。在多胞線性參變模型基礎(chǔ)上，針對反饋線性化后形成的狀態(tài)依賴輸入飽和問題，將虛擬輸入約束上下限擬合為線性多項式，并通過SOS技術(shù)將多項式約束轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式約束?？紤]到故障發(fā)生的程度不同，為改善控制系統(tǒng)的保守性，引入了調(diào)節(jié)因子，改變不變集大小，以提升系統(tǒng)的控制性能。同時，將傳統(tǒng)標(biāo)稱控制律設(shè)計為無約束與約束下的加權(quán)凸組合形式，使得虛擬輸入滿足約束。