咸雯雯，張芷瑜，孫旖涔，石 慧，黃 丹

（遼寧師范大學計算機與信息技術學院，遼寧大連 116029）

0 引言

可逆信息隱藏自誕生之初，便得到學者們的廣泛關注。該技術在嵌入秘密信息后可無損恢復秘密信息和載體圖像，以往傳統(tǒng)信息隱藏方法會導致原始信息丟失，無法適用于司法、醫(yī)學、軍事等［1-3］對原始載體信號要求較高的領域。

為了解決該問題，不少學者提出可逆信息隱藏方法，又稱為可逆水印。目前，該算法主要包括無損數(shù)據(jù)壓縮、直方圖平移、差分擴展、圖像插值等。然而，大部分圖像插值的可逆信息隱藏算法存在圖像質量差、嵌入率低、數(shù)據(jù)溢出現(xiàn)象尚待解決。

綜上所述，本文提出一種一元二次方程與自適應梯度插值的可逆信息隱藏算法。該算法首先對原始圖像I進行下采樣；然后利用圖像插值算法生成插值圖像C；最后對插值圖像C進行邊緣梯度預測（Contrast-Guided Image Interpolation，CGI）將其分為重疊的3 × 3 塊，依據(jù)邊緣像素占比將塊分為邊緣塊和非邊緣塊。對于非邊緣塊，采用一元二次方程插值空間算法，將塊內相鄰像素看作一元二次方程ax2+bx+c=0 的3 個系數(shù)a、b、c，建立以兩根為參考值的期望插值模型；針對邊緣塊，基于自適應梯度預測策略進行插值操作。經(jīng)過上述一系列操作，將秘密信息S嵌入圖像得到圖像E，圖1為算法流程圖。

Fig.1 Flow chart of univariate quadratic equation interpolation space reversible information hiding algorithm圖1 一元二次方程插值空間可逆信息隱藏算法流程

1 國內外研究現(xiàn)狀

1.1 無損壓縮算法

無損壓縮算法通常首先選取圖像的部分信息作為待壓縮載體，再在壓縮出的空間中存儲秘密信息。Celik 等［4］提出一種LSB 壓縮算法，基于預測條件熵編碼將圖像中未修改部分作為輔助信息以提升算法效率，但容易產(chǎn)生噪聲使圖像質量下降。Zhang 等［5］提出基于能力特征的壓縮算法，利用能力特征優(yōu)化當前嵌入以獲得最優(yōu)嵌入方式，但算法的隱藏容量有限。

1.2 直方圖平移算法

直方圖平移基于不同灰度值的統(tǒng)計特性完成信息隱藏。最早由Ni 等［6］提出基于直方圖平移的可逆數(shù)據(jù)隱藏算法，根據(jù)載體圖像直方圖中的峰值點隱藏秘密信息，但該算法需要額外傳送峰值或零點信息，且隱藏容量較小。Wang 等［7］提出兩步嵌入法，顯著提高算法性能。Xiong等［8］在直方圖平移的基礎上提出雙層可逆嵌入算法，加強傳統(tǒng)算法的不可感知性，提高嵌入容量。雖然上述算法均提升了圖像的獲取質量，但隱藏率仍然較低。

1.3 差分擴展算法

差分擴展算法是對像素差值法的擴展，該算法將比特信息擴展后設定差值最低有效位進行數(shù)據(jù)隱藏。Tian等［9］利用相鄰像素間的相關性進行信息隱藏。Niu 等［10］在改進傳統(tǒng)算法的基礎上，利用采樣像素點對非采樣像素點進行預測，后采樣像素點利用序列密碼進行加密，非采樣像素點利用Paillier 同態(tài)算法加密，最后在密文域上嵌入秘密信息，雖然該方法的安全性較高，但最高嵌入量僅為1.2bpp，應用局限性較大。

1.4 圖像插值算法

近年來，Jung 等［11］提出的圖像插值算法廣泛應用于信息隱藏領域。該方法首先對輸入圖像進行下采樣，再通過插值算法生成一幅與輸入圖像大小相同的插值圖像，并且僅在插值圖像的非基準像素中隱藏秘密信息。王繼軍［12］設計一種類似雙線性插值原理的圖像隱藏方法，將載體圖像放大為原來的4 倍，放大圖中有1/4 的插值點保留原始圖像信息，其余插值點均可嵌入水印，相較于經(jīng)典插值算法，生成的圖像質量較好，但嵌入率僅為0.75bpp。

為此，Xiong 等［8］在上述算法的基礎上進行改進，首先對載體圖像進行分塊，得到每個分塊中4 個基準像素的最大值和最小值；然后計算非基準像素與最大值、最小值差值的絕對值；最后自適應選定差值，確定非基準像素能嵌入的最大水印位數(shù)。該算法相較于文獻［12］的算法，在隱藏容量和圖像質量嵌入率方面均有所提高，但圖像峰值信噪比（Peak Signal-to-noise Ratio，PSNR）較低。熊祥光等［13］基于文獻［8］提出一種改進的圖像插值算法。該算法首先對插值圖像進行重疊分塊；然后優(yōu)先選擇方差較小的分塊；最后自適應計算各非基準像素能隱藏的最大數(shù)據(jù)量。雖然解決了隱秘圖像像素溢出的問題，提高隱藏容量及隱秘圖像質量，但算法的運行效率較低。Hassan 等［3］提出基于圖像插值的可逆信息隱藏算法。該算法利用增強鄰居平均插值（Enhanced Neighbor Mean Interpolation，ENMI）和改進鄰居平均插值（Improved Neighbor Mean Interpolation，MNMI）技術插值秘密數(shù)據(jù)，圖像質量有所提高，但隱藏容量受限。

針對上述問題，本文提出一種基于一元二次方程與自適應梯度插值的可逆信息隱藏算法以解決嵌入容量小、圖像質量差、數(shù)據(jù)溢出等問題。首先按照梯度預測的性質將插值圖像塊分為邊緣塊和非邊緣塊，優(yōu)先選擇方差較小的分塊進行嵌入，然后運用一元二次方程插值算法和自適應梯度預測插值算法隱藏非邊緣塊和邊緣塊信息。

2 基于梯度預測的圖像塊分類

本文采用梯度預測算法將圖像塊劃分為邊緣塊和非邊緣塊，以便利用像素本身性質解決圖像插值問題，從而提高圖像生成質量。

2.1 期望插值

傳統(tǒng)圖像插值方法首先對原始圖像進行下采樣操作；然后利用相鄰像素點間的相關性進行插值；最終得到和原始圖像相同尺寸的插值圖像。圖2 為期望插值計算示意圖，“●”為原始圖像I的像素點，稱為基準像素；“○”為由水平和豎直方向兩個像素點確定的插值像素點；“◎”為由對角線方向4 個像素點確定的插值像素點。其中，插值像素點為非基準像素，將單獨處理圖像右邊界和下邊界的像素點。

Fig.2 Schematic diagram of expected interpolation calculation圖2 期望插值計算示意圖

期望插值的計算過程如下：

（1）設輸入原始圖像I大小為m×n，對圖像I進行下采樣，生成圖像O(m/2 ×n/2)。

式中，1 ≤i≤m/2，1 ≤j≤n/2。

（2）對圖像O的非右邊界和非下邊界區(qū)域進行插值，生成非基準像素，得到插值圖像。

（3）對圖像O的右邊界的像素點進行插值。

（4）對圖像O的下邊界的像素點進行插值。

（4）對于最右下角的像素點進行插值。

2.2 像素分類

基于梯度預測算法完成圖像像素分類，將圖像像素分為邊緣像素和非邊緣像素。首先計算圖像C的像素點(i，j)在θ方向擴散后的梯度值Uθ：

式中，?θ為方向導數(shù)，θ∈{0°，45°，90°，135°}，由此可得：

式中，*表示卷積運算，Sθ表示邊緣檢測算子對應的掩膜，4個方向的掩膜分別為：

數(shù)據(jù)保真項Ed(μθ)為：

數(shù)據(jù)平滑項Es(μθ)為：

像素點的能量函數(shù)為：

式中，λ=0.2。

根據(jù)式（12）-（14）可得：

將式（15）的積分函數(shù)轉換為：

對E(μθ)求解最小值可得：

運用拉布拉斯算子?2，即?2μθ可表示為：

根據(jù)式（17）、式（18）化簡可得：

由于式（19）存在兩個連續(xù)的空間變量x、y，因此適用迭代方程進行求解。引入連續(xù)的時間變量參t后可得：

根據(jù)式（20）-（22）可得：

式中，n1代表迭代次數(shù)，一般為不超過10的正整數(shù)。

利用所得的4 個方向梯度值μ0、μ45、μ90、μ135對圖像C的像素點進行類型判斷。對于水平方向上的像素，若|μ0-μ90| ≥T，則此像素為邊緣像素；若|μ0-μ90|

2.3 圖像塊分類

插值圖像C中邊緣像素點的數(shù)量Z占所有像素點的比例D：

式中，0 ≤Z≤m×n。

根據(jù)圖像邊緣像素占比D可得圖像分塊劃分參數(shù)d：

將插值圖像C以步長為2 與3 × 3 分塊進行不完全重疊操作，為了避免重復嵌入信息，每個分塊選擇3 個非基準像素點嵌入秘密信息，分別為第一行的插值、第一列插值和對角線插值，如圖3所示。

Fig.3 Block diagram圖3 分塊示意圖

由圖3 可見，當分塊邊緣像素點占比大于d時，則為邊緣像素塊，反之則為非邊緣像素塊。

2.4 圖像塊方差排序

設分塊左上角的基準像素點為C(i，j)，分別計算分塊中非基準像素C(i，j+1)、C(i+1，j)、C(i+1，j+1)與最鄰近差值最小的基準像素的差值bk(k∈{1，2，3})：

各分塊對應的方差Vh為：

由于方差越小，圖像越平滑，對圖像的影響越小，圖像質量越好。因此，首先對各分塊按照方差Vh進行排序，然后優(yōu)先選擇方差最小的塊進行信息隱藏。

3 可逆信息隱藏方案

由于圖像插值會將原始圖像先進行下采樣操作，再進行插值，因此需要計算非基準像素與基準像素之間的差值以便于進行數(shù)據(jù)隱藏操作［14］。

3.1 一元二次方程插值算法

為了提高嵌入容量，針對非邊緣像素塊相對平滑的特點，本文將三相鄰像素點作為一元二次方程ax2+bx+c=0 的系數(shù)a、b、c，根據(jù)方程的兩個解與圖像期望插值的最大差值嵌入秘密信息。

3.1.1 一元二次方程構造及性質

為了避免一元二次方程無解的情況，由于原始a、b、c均為像素灰度值（大于0），因此a取負數(shù)：

同時，為了提高圖像插值的質量及系統(tǒng)安全性，按照水平、垂直、對角線等不同方向構造一元二次方程，如圖4所示。

（1）對于水平像素點C(i，j+1)，選擇水平方向上2 個領域像素值和對角線方向上1 個領域像素值作為一元二次方程的系數(shù)（見圖4(b)）：

（2）對于豎直像素點C(i+1，j)，選擇垂直方向上2 個領域像素值和對角線方向1 個領域像素值作為一元二次方程的系數(shù)（見圖4(c)）：

Fig.4 Point selection distribution圖4 構造一元二次方程

（3）對于對角線像素點C(i+1，j+1)，首先計算該像素點的梯度以此判斷方向θ，從而選擇不同像素點作為一元二次方程的系數(shù)。對角線像素點可由判斷值g表示：

若g=|μ0|且g>0，則θ=0°，一元二次方程選擇0°方向掩膜為1的像素點（見圖4(d)）：

若g=|μ0|且g≤0，則θ=180°，一元二次方程選擇180°方向掩膜為1的像素點（見圖4(e)）：

若g=|μ45|且g>0，則θ=45°，一元二次方程選擇45°方向掩膜為1的像素點（見圖4(f)）：

若g=|μ45|且g≤0，則θ=225°，一元二次方程選擇225°方向掩膜為1的像素點（見圖4(g)）：

若g=|μ90|且g>0，則θ=90°，一元二次方程選擇90°方向掩膜為1的像素點（見圖4(h)）：

若g=|μ90|且g≤0，則θ=270°，一元二次方程選擇270°方向掩膜為1的像素點（見圖4(i)）：

若g=|μ135|且g>0，則θ=135°，一元二次方程選擇135°方向掩膜為1的像素點（見圖4(j)）：

若g=|μ135|且g<0，則θ=315°，一元二次方程選擇315°方向掩膜為1的像素點（見圖4(k)）：

一元二次方程ax2+bx+c=0的解為：

此外，為了保證結果的通用性，將x1、x2進行歸一化，并將歸一化結果映射到區(qū)間大小為0～255的像素值區(qū)間。

3.1.2 可嵌入位數(shù)

將期望插值（包括基準像素點）記為Goodk，一元二次方程得出的解記為默認為x1

若Goodk在x1、x2的絕對值取整的對稱軸的右邊，選取x1，反之選取x2。因此，一元二次方程起始值Gsk為：

期望插值Goodk與Gsk的差值goodk可嵌入?yún)^(qū)間，該區(qū)間大小為：

式中，k∈{1，2，3}。

可嵌入的位數(shù)為：

以水平C(i+1，j)、k=1 為例，當所選像素點為a=-111、b=107、c=109 時，能夠將一元二次方程轉化為拋物線與X 軸的交點，根為x1=-0.62、x2=1.5839，歸一化映射像素值為x1=105、x2=139，可 得Good1=C(i，j+1)=108、good1=31、L1=4。根據(jù)上述信息，可在圖中嵌入4bit的二進制秘密信息，如圖5所示。

Fig.5 Example of a quadratic equation of one variable圖5 一元二次方程示例

3.1.3 修正因子

當goodk+S=Goodk時，載密圖像E的質量最理想，但由于秘密信息S的不確定性，會產(chǎn)生不同的結果。為此，引入修正因子T使Goodk-(goodk+S+T)趨近與0。其中，秘密信息S對應的二進制為ssi(i=1，2，3...)，插入的最大范圍Smax為：

由式（46）可得嵌入秘密信息位數(shù)，但該式會造成goodk與Smax之間產(chǎn)生差值，影響圖像的質量。因此，本文增加參數(shù)t1對該式進行調整：

同理，S與Smax也存在差值，引入閾值Lk′控制嵌入位數(shù)：

根據(jù)（48）-（50）修正參數(shù)t2：

最終調整參數(shù)為：

3.1.4 信息隱藏

一元二次方程的信息隱藏公式如下：

若隱藏秘密信息s=0，則t1=31 -15=16、Lk′=1、smax′=1、t2=16-2=14、T=30、Sk=139-0-30=109、Goodk-(goodk-s-T)=1。此時，算法對圖像效果質量影響較小。

3.2 自適應梯度插值算法

該算法的目的在于盡量不破壞邊緣像素塊原有性質的同時，在邊緣像素塊中隱藏秘密信息，以提高圖像質量。具體的，算法依據(jù)邊緣像素點在各方向上的梯度值占比，自適應地計算可嵌入位數(shù)以嵌入秘密信息。

3.2.1 梯度預測

根據(jù)邊緣像素塊每個像素點在0°、45°、90°、135°方向上的預測梯度μ0、μ45、μ90、μ135，可得梯度占比Pθ，其中θ∈｛0o，45o，90o，135o｝：

其中，可溢出像素范圍即為可嵌入?yún)^(qū)間goodk：

式中，k∈{1，2，3}，godk為可溢出值。

根據(jù)式（45）計算可嵌入位數(shù)，以第一個像素點為例，4個方向的預測梯度分別為：μ0=0.042 3、μ45=0.062 9、μ90=0.018 0、μ135=0.022 6，期望插值分別為Goodk=112、P0=0.408 6、P45=0.758 6、P90=0.140 9、P135=0.183 35，god1=168、good1=37、L1=56。因此，可嵌入秘密信息S二進制的位數(shù)為5。

3.2.2 信息隱藏

為了減少插入秘密信息S產(chǎn)生的各種差值對圖像質量造成的影響，本文提出自適應梯度插值算法：

當隱藏秘密信息為s=13，即t1=56 -31=25、Lk′=4、S′max=16、t2=32 -16=16、T=41、Sk=168-13-41=114，可得Goodk-(goodk+s+T)=2。由此可見，載密圖像值與期望插值幾乎接近于0，圖像質量存在一定程度提升。

4 圖像恢復與信息提取

4.1 載體圖像恢復

在秘密信息隱藏過程中，所有基準像素點都未進行任何更改操作?？筛鶕?jù)載秘圖像E中保留的插值圖像C的基準像素點，通過下采樣操作無損恢復載體圖像R。例如，對于8×8含密子塊E，黑色像素為基準像素（見圖6），其中最后一行/列黑色像素與倒數(shù)第二行/列黑色像素相同。因此，利用公式（57）恢復載體4×4 子塊R，其中i、j∈{1，2，3，4}。

4.2 秘密信息提取

秘密信息提取算法是插值隱藏算法的逆過程。首先對恢復的載體圖像R進行插值操作得到插值圖像C；然后計算插值圖像各像素梯度值，將圖像分成重疊的3 × 3 子塊，依據(jù)邊緣像素占比將其分為邊緣塊和非邊緣塊；接下來計算各分塊的方差，以選擇待提取塊；最后將二進制秘密信息轉化為十進制秘密信息S。

Fig.6 Recovery diagram of 8×8 block圖6 8×8子塊恢復圖

（1）當分塊屬于非邊緣像素塊時，秘密信息S為：

（2）當分塊屬于邊緣像素塊時，秘密信息S為：

5 實驗結果與分析

5.1 數(shù)據(jù)集

本文實驗基于SIPI 基準數(shù)據(jù)集［17］，在Wimdows10 和MATLAB 2020b 平臺進行仿真實驗，將實驗結果與現(xiàn)有算法進行性能比較，以進一步證明本文算法在嵌入率和圖像質量方面的優(yōu)勢。

SIPI 數(shù)據(jù)集主要包括紋理、天線、雜項、序列四大類，共306 張圖像，每種類型的圖像大小各不相同，黑白圖像為8 位/像素，彩色圖像為24 位/像素，如圖7 所示。為了避免實驗的偶然性，本文選擇不同大小的灰度和彩色圖像進行實驗。

Fig.7 Original carrier image圖7 原始載體圖像

5.2 透明性測試

圖8 為以512×512 大小的標準灰度圖像為例，嵌入隨機生成的二值信號的載密圖像。其中，圖8 分別展示了Lk′=1 和滿載時的圖像效果，由此可見載密圖像的不可感知性較好。

Fig.8 Secret image圖8 載秘圖像

5.3 嵌入容量與載秘圖像質量

采用峰值信噪比（Peak Signal-to-Noise Ratio，PSNR）、嵌入率（Embedding Rate，ER）、結構相似性（Structural Similarity Index，SSIM）作為評價標準分析算法性能。

表1 為算法在Lk′=1、2、4 和滿載時，載密圖像的ER、PSNR、SSIM 值，整個隱藏信息過程無數(shù)據(jù)溢出，也無任何附加信息。

由此可見，Lk′的取值與嵌入容量、圖像質量密切相關。當Lk′的取值越大時，平均嵌入率ER 越高，峰值信噪比PSNR 與結構相似性SSIM 越低，圖像質量降低；當Lk′的取值越小時，平均嵌入率ER 越低，峰值信噪比PSNR 與結構相似性SSIM 越高，圖像質量越好。

總體而言，本文算法具有較大嵌入容量，滿載時平均嵌入率ER 高達4.068 1bpp，載密圖像在Lk′=1、2、4 的PSNR 與SSIM 值較高。

Table 1 Values of Er，PSNR and SSIM of secret image表1 載密圖像ER、PSNR、SSIM值

5.4 性能比較

在相同實驗條件下，將本文算法與以插值圖像為載體圖像的可逆信息隱藏算法進行比較，具體實驗結果見表2、表3。

由表2 可知，本文算法容量最高，滿載平均容量高達4.068 1bpp，相較于現(xiàn)有方法優(yōu)勢明顯。當Lk′=1 時，算法的平均嵌入率與文獻［12］的方法相同；當Lk′=2 時，算法平均嵌入率高于文獻［8］和文獻［12］的方法；當Lk′=4 時，算法的平均嵌入率高于文獻［12］、文獻［17］、文獻［8］、文獻［15］、文獻［16］和文獻［15］的方法。

由表3 可知，本文算法的圖像質量較高，當Lk′=1、2時，算法的平均峰值信噪比分別為28.638 2dB 和28.613 4dB，均高于其他方法。當Lk′=4時，算法的平均峰值信噪比高達28.198 2dB，遠遠高于文獻［19］、文獻［18］、文獻［8］、文獻［15］、文獻［16］和文獻［15］的方法，略低于文獻［12］的方法。

Table 2 Comparison of embedding rate ER between the proposed algorithm and other algorithms表2 本文算法與其他算法嵌入率ER比較

6 結論

本文提出一種基于一元二次方程插值與自適應梯度預測插值可逆信息隱藏算法。該算法無任何附加信息、無數(shù)據(jù)溢出，僅以插值圖像為載體，通過構造一元二次方程和自適應梯度預測模型，結合邊緣像素和非邊緣像素的自身的梯度性質實現(xiàn)圖像插值和秘密信息嵌入。

Table 3 Comparison of PSNR between the proposed algorithm and other algorithms表3 本文算法與其他算法峰值信噪比PSNR比較

實驗結果表明，該算法靈活性高、實用性強，在圖像嵌入容量與隱秘圖像質量方面相較于傳統(tǒng)方法提升顯著，并能夠無損還原載體、準確提取秘密信息。下一步，將該模型運用于人工智能、模型水印等領域。