李心宓，吳 謠，高 峰

(1.清華大學(xué) 物理系，北京 100084；2.清華大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，北京 100084)

0 引言

理論和實(shí)踐都表明信息擁有價(jià)值。信息量更大的信息結(jié)構(gòu)具有更高的經(jīng)濟(jì)價(jià)值[1]。在一個(gè)達(dá)到均衡和有效率的經(jīng)濟(jì)體中，社會(huì)福利隨著私人和公共信息的增加而增加[2]，精確度較低的信息會(huì)降低信息所有者的收入[3]。

信息對(duì)企業(yè)決策十分重要。信息缺乏容易導(dǎo)致決策的準(zhǔn)確性較差[4]。當(dāng)數(shù)據(jù)和信息能促進(jìn)商業(yè)公司的競(jìng)爭(zhēng)時(shí)，隨著更多數(shù)據(jù)和信息的出現(xiàn)，企業(yè)也可能從中獲益[5]。這些信息包括但不限于選擇性銷售[6]、最佳影響力策略[7]和個(gè)性化定價(jià)[8]等。

發(fā)揮數(shù)據(jù)和信息的作用，離不開信息的合理定價(jià)。但信息的定價(jià)取決于許多因素。比如：(1)投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好。在風(fēng)險(xiǎn)中性的情況下，信息的價(jià)值只是每個(gè)交易者的事前預(yù)期利潤(rùn)，而在風(fēng)險(xiǎn)平均的情況下，信息的最佳分配取決于風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)[3]。(2)項(xiàng)目借款人的異質(zhì)性和潛在進(jìn)入者的競(jìng)爭(zhēng)。在貸方-借方模型中，借方的特征可能會(huì)影響貸方對(duì)信息共享的動(dòng)力[9]。(3)信息銷售者的數(shù)量。隨著對(duì)稱、獨(dú)立和排他性信息賣者人數(shù)的增加，信息的價(jià)格將上升[4]。

數(shù)據(jù)定價(jià)文獻(xiàn)通常只考慮具有一維信息結(jié)構(gòu)的模型。在這些模型中，信息被視為一個(gè)可量化的、可加的基數(shù)變量，因此可以被視作商品進(jìn)行交易。與之不同，本文提出了一個(gè)具有多維信息的模型來(lái)研究信息定價(jià)。選擇維度作為信息結(jié)構(gòu)的原因如下：(1)有了足夠維度或因素的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)分析人員更容易從統(tǒng)計(jì)角度發(fā)現(xiàn)這些因素之間的相關(guān)性。(2)更大的數(shù)據(jù)集并不等價(jià)于更大的信息空間。(3)在高維空間中，更可能滿足許多統(tǒng)計(jì)定理的完備性條件。綜上所述，有必要設(shè)計(jì)一個(gè)框架，保證維度形式的信息可以在數(shù)據(jù)定價(jià)中發(fā)揮重要作用。

結(jié)果表明，如果某個(gè)投資者掌握了其他投資者無(wú)法觀察到的信息，則該投資者可以賺取更高的利潤(rùn)，這與文獻(xiàn)[10]的結(jié)果一致。結(jié)果還證明了信息的公開可以改善社會(huì)福利。

本文首先給出模型的基本設(shè)定，并給出一個(gè)直觀的示例來(lái)說(shuō)明模型的分配方式；然后對(duì)信息在不同情況下的價(jià)值進(jìn)行討論，包括完全信息、非對(duì)稱信息和獨(dú)家信息的情形，并根據(jù)這些結(jié)果給出一種信息定價(jià)和交易模型。

1 模型

1.1 投資者集合M和信息賣方G

本文用M={i，j}表示投資者集合，假設(shè)信息賣方G擁有一些雙方都不知道的新信息，且信息交易是被允許的，并假設(shè)信息賣方G以零成本獲得這一信息。

1.2 信息空間

定義1所有的信息是一個(gè)集族I，X為全信息空間，是集族I中所有集合Xk的笛卡爾積。

對(duì)于集族I中的任意一個(gè)集合Xk，每個(gè)投資者有兩種狀態(tài)：知道或不知道。如果觀察到Xk，并對(duì)其進(jìn)行量化，則投資者“知道”Xk，該投資者可以區(qū)分出Xk中的不同元素。反之，為“不知道”Xk。對(duì)于投資者而言，無(wú)法獲得某些維度的信息意味著缺少這些維度的信息。

定義2投資者θ可獲得的信息集是集族I中的一個(gè)子集族：

其中θ=i，j。Iθ代表投資者θ已知的信息，Iθ?I。

定義3投資者θ已知的信息空間為：

其中×Xk∈Iθ表示對(duì)所有Xk∈Iθ的笛卡爾積。

根據(jù)每個(gè)投資者對(duì)信息知曉與否的具體情況，可以將維度X1，X2，…，XD分為以下4種類型：

(1)XC：雙方投資者都知道；

(2)Xi：投資者i已知但投資者j未知；

(3)Xj：投資者i未知但投資者j已知；

(4)XU：雙方投資者都未知。

整理可得：

定義4可知信息空間XA代表至少一個(gè)投資者已知的維度：

1.3 收益函數(shù)

x類型企業(yè)的利潤(rùn)表示為外生收益函數(shù)v(x)，進(jìn)行如下假設(shè)：

假設(shè)1投資者θ觀察到的收益函數(shù)vθ：

其中θ=i，j，-θ代表除了θ的所有投資者。積分意味著投資者θ只能在自己的信息空間中觀察到總的收益。

由于X=XA×XU，XU代表所有投資者都不知道的信息，因此可以在不同的空間中定義收益函數(shù)。

定義5可知信息空間XA中的收益函數(shù)：

1.4 決策

兩個(gè)投資者同時(shí)采取行動(dòng)，以決定對(duì)不同企業(yè)x的投資額度，目標(biāo)是最大化自己的投資收益。

定義7投資者θ(θ=i，j)的投資決策函數(shù)是：

且滿足以下歸一化條件(不失一般性，本文把投資者i的總資本歸一化為1)：

其中C表示投資者j的總資本，C＞0。

假設(shè)2如果投資者θ不知道信息維度Xk，那么其投資決策函數(shù)qθ滿足：

其中投資者θ不知道信息維度Xk，因此無(wú)法區(qū)分那些在Xk維度上有差別而在其他維度上沒(méi)有差別的企業(yè)。

1.5 投資總利潤(rùn)和社會(huì)福利

假設(shè)企業(yè)x的收益將根據(jù)投資者的投資量按比例地分配給投資者。

定義8投資者θ的總投資收益為：

社會(huì)福利不涉及信息賣方G的收入，用例1來(lái)展示模型的一個(gè)離散形式的示例：

例1假設(shè)X1={i1，i2}，X2={j1，j2}。 投資者i和j均知道X1和X2信息維度。 支付函數(shù)vA(xC，xi，xj)是一個(gè)外生給定的矩陣，如表1所示。

表1 支付函數(shù)矩陣

假設(shè)投資者的投資決策函數(shù)如表2矩陣所示。分別計(jì)算投資者(以i為例)在各類企業(yè)中的收益如下：投資者i的總投資收益Wi是上述4種類型的企業(yè)投資收益的總和。

表2 投資決策矩陣

假設(shè)其他條件相同，但投資者i知道X1和X2維度，而投資者j只知道X2，那么投資者j對(duì)那些擁有不同x2但x1相同的企業(yè)投資應(yīng)該是相同的，見(jiàn)表3。

表3 不對(duì)稱信息下的決策矩陣

由于投資者j沒(méi)有關(guān)于X1維度的信息，只能在該維度上均勻地分配其投資。換言之，在較高維度的空間中，投資者j的投資決策函數(shù)qj不顯含X1維度的變量。

1.6 盈利集Ω和收益率R(x)

定義10盈利集為：只有當(dāng)投資者觀察到維度時(shí)，該投資者才能在相應(yīng)的信息空間中區(qū)分出盈利的企業(yè)和非盈利的企業(yè)?；诳芍畔⒖臻g的盈利集ΩA，可以在XA空間中定義收益率為：

綜上所述，本文把整個(gè)模型簡(jiǎn)單描述為在可知信息空間XA中給定外生的收益函數(shù)vA。投資者集合M(假設(shè)只有2人)中的每個(gè)投資者θ都有自己的信息Iθ和由此產(chǎn)生的信息空間Xinfo，θ。 他們根據(jù)自己的信息空間，同時(shí)做出投資決策qθ。投資者的目標(biāo)是解決帶資本約束的博弈問(wèn)題，如下所示：

其中，資本約束為：

2 均衡分析

2.1 完全信息下的純策略納什均衡

當(dāng)XC=XA而Xi=Xi=?時(shí)，即沒(méi)有投資者擁有獨(dú)家的信息維度。這時(shí)兩個(gè)投資者都觀察到相同的信息空間和相同的利潤(rùn)函數(shù)。完全信息下：

命題1在信息完全且對(duì)稱的條件下，投資博弈存在唯一的純策略納什均衡

這意味著兩個(gè)投資者都將避免投資于無(wú)利可圖的企業(yè)。文獻(xiàn)表明，此競(jìng)賽博弈中存在純策略納什均衡[13]。

命題1的詳細(xì)證明過(guò)程如下：

已知，投資者θ的決策問(wèn)題為：

即，理性的投資者只會(huì)在盈利的企業(yè)上投入資源。

在盈利集ΩA上，可以應(yīng)用Euler-Lagrange方程求解泛函問(wèn)題：

推論1對(duì)于兩個(gè)以上投資者的市場(chǎng)，命題1和命題2仍然成立。

2.2 不完全信息

在這一部分中，本文討論不完全信息對(duì)個(gè)人和社會(huì)的投資利潤(rùn)產(chǎn)生的影響。

2.2.1 對(duì)稱披露新信息

假設(shè)信息的新維度表示為XN。在公開XN之前，假設(shè)在信息完全且對(duì)稱的條件下所有投資者都知道并且只知道XC，沒(méi)有任何獨(dú)家的信息。對(duì)稱地披露XN后，即所有投資者同時(shí)知道XN。此時(shí)，可知信息空間為：

引理1在一個(gè)信息完全且對(duì)稱披露的市場(chǎng)中，新信息的對(duì)稱披露不會(huì)減少社會(huì)福利。

首先引入如下記號(hào)以表示盈利集之間的交集和并集關(guān)系：

這表明，減少在I1類型企業(yè)上的投資，增加在I2類型企業(yè)上的投資，將提高社會(huì)總福利水平。引理1的證明過(guò)程如下：

投資者θ在新信息XN對(duì)稱公開的前后的投資決策函數(shù)分別為qθ和Qθ。

據(jù)式(42)～式(44)，可得：的積分值大于等于W的積分值。得證。

2.2.2 不對(duì)稱披露新信息

在公開XN之前，假設(shè)所有投資者都知道并且只知道XC，沒(méi)有任何獨(dú)家的信息維度。在不對(duì)稱地披露XN后，投資者i知道XN，而投資者j不知道XN，且這個(gè)事實(shí)被投資者i所知。仍然令可知信息空間為：XA=XC×XN。

引理2在一個(gè)信息完全且對(duì)稱披露的市場(chǎng)中，新信息的不對(duì)稱披露仍然可以提高社會(huì)福利(至少不會(huì)減少)。

引理2的證明過(guò)程如下：

令投資者i在新信息XN對(duì)稱公開的前后，投資決策函數(shù)分別為qi和Qi。令投資者i在新信息XN不對(duì)稱公開的前后，被投資的企業(yè)分別為即：

因?yàn)橥顿Y者j沒(méi)有更新其信念，其投資決策也沒(méi)有改變，因此：

新信息XN未公開時(shí)，i和j選擇了相同的、在XC空間中盈利的企業(yè)進(jìn)行投資。單獨(dú)獲取新信息XN后，由于j沒(méi)有改變自己的投資決策，因此上述XC空間中的盈利企業(yè)類型仍然被投資。因此：

通過(guò)引理1、2可得出如下的結(jié)論：

命題3新信息的披露可以提高社會(huì)總福利(至少不會(huì)減少)。

命題3表明，給社會(huì)帶來(lái)的新的信息不會(huì)使情況變得更糟，更多的信息將增加社會(huì)經(jīng)濟(jì)價(jià)值[1]。

命題4在新信息不對(duì)稱披露的情況下，觀察新信息的個(gè)人的利潤(rùn)將增加(至少不會(huì)減少)。

假設(shè)i是在新信息不對(duì)稱披露的情況下觀察新信息的個(gè)人，投資者i可以在XA新信息空間中采取一個(gè)最優(yōu)策略獲得更高的利潤(rùn)。

2.2.3 獨(dú)家信息

假設(shè)Xi和Xj都不是空集，即Xi是僅被投資者i所知而不被投資者j所知的信息，反之Xj是僅被投資者j所知而不被投資者i所知的信息。在這種情況下，本文稱Xi和Xj分別是i和j的獨(dú)家信息。此時(shí)，可知信息空間為XA=XC×Xi×Xj。與引理1和引理2相類似，可得到：

命題5在兩個(gè)投資者都有獨(dú)家信息的情況下，如果他們兩個(gè)都披露自己的獨(dú)家信息，則社會(huì)福利將會(huì)增加（至少不會(huì)減少）。

命題5表明信息的合并和共享可以增加信息主體的總福利(至少不會(huì)減少)。因此，可以在擁有不同信息的主體之間設(shè)計(jì)利潤(rùn)分配合同，從而通過(guò)信息共享實(shí)現(xiàn)帕累托改進(jìn)。

基于上述假設(shè)，本文使用矩陣來(lái)構(gòu)建離散形式的示例，其中包含獨(dú)家信息。如果雙方都不公開自己的獨(dú)家信息，那么他們的利潤(rùn)都會(huì)遭受損失。而在信息完全公開的情況下，投資者會(huì)獲得正利潤(rùn)。

例2仍假設(shè)X1={i1，i2}，X2={j1，j2}。 投資者i知道X1而不知道X2信息維度。投資者j知道X2，但不知道X1信息維度。vA(xC，xi，xj)由表4的矩陣給出。

表4 支付函數(shù)矩陣

(1)如果他們不共享自己的獨(dú)家信息，那么投資者i會(huì)把所有資源投入i2類型的企業(yè)，而投資者j會(huì)把所有資源投入j2類型的企業(yè)。決策矩陣如表5所示。

表5 投資決策矩陣

投資者的效用是：

(2)如果他們共享自己的獨(dú)家信息，那么按照上面的博弈規(guī)則，決策矩陣如表6所示。

表6 共享決策矩陣

投資者的效用是：

滿足Wi，Wj＞0。

2.3 信息定價(jià)

在信息XN被售賣之前，假設(shè)所有投資者都知道并且只知道XC，沒(méi)有任何獨(dú)家信息維度，且信息可以被交易。信息賣方G是新信息維度XN的外部提供者。此時(shí)，可知信息空間XA=XC×XN，博弈模型變成投資者是否先選擇進(jìn)行信息交易，再進(jìn)行投資的同時(shí)決策，以探究不同的交易模式下的信息價(jià)格。

2.3.1秘密交易

在信息賣方G和投資者i雙方進(jìn)行秘密交易之后，投資者i獲得了XN，但投資者j仍然不知道XN。由于交易是秘密的，投資者j并不知道投資者i和信息賣方G進(jìn)行秘密交易的事實(shí)。

在信息交易前，投資者i的效用為：

在信息交易后，投資者i利用新信息更新自己的策略，而投資者j的策略不變。把投資者i更新自己策略后的效用記作，把因?yàn)樾畔⒔灰讕?lái)的超額效用部分記作Δi=-Wi。顯然，新信息XN的售價(jià)將不會(huì)高于Δi，否則投資者將不會(huì)購(gòu)買。

引理3在新信息的秘密交易中，假設(shè)信息賣方G與投資者i交易新信息XN。不失一般性，假設(shè)i是資本為1的投資者，而j是資本為C的投資者，那么新信息XN價(jià)格的上限為：

其中：

引理3的證明如下：

令投資者θ在新信息XN對(duì)稱公開前后的投資決策函數(shù)分別為qθ和Qθ。

在這一模型設(shè)定下，j仍然沿用舊的投資策略：

引理3的結(jié)果說(shuō)明，Δi由以下兩部分組成：

(1)新信息XA使投資者i可以在更高維度的空間分辨盈利與非盈利企業(yè)，從而獲得效用增量部分。此項(xiàng)對(duì)應(yīng)著：

值得注意的是，vA(I1)＜0而vA(I2)≥0，因此此項(xiàng)總是非負(fù)的。

(2)當(dāng)投資者j仍然沿用了沒(méi)有新信息時(shí)的舊策略時(shí)，投資者i比j擁有更多的信息，這一信息優(yōu)勢(shì)使i獲得更大的效用。此項(xiàng)對(duì)應(yīng)著：

由于投資者j沒(méi)有足夠多的信息維度，因此在XA空間(比投資者j能看到的XC更高維度的空間），投資者i可以采取針對(duì)j的最優(yōu)策略獲取更多效用。

這個(gè)結(jié)果可表述為以下引理：

引理4在新信息的秘密交易中，擁有新信息XN而導(dǎo)致信息不對(duì)稱、由此產(chǎn)生的額外效用是非負(fù)的，即：

第一項(xiàng)為在新信息完全公開下的純納什均衡策略下的投資收益。由于這是一個(gè)零和博弈，在新的信息空間中，投資者j沒(méi)有采取納什均衡下的策略(因?yàn)樾畔⒉蛔?，從而投資者i可以憑借自己的信息優(yōu)勢(shì)在新信息空間中采取最優(yōu)反應(yīng)，因此，投資者i的投資收益將不會(huì)低于在納什均衡策略下的收益。這意味著，第二項(xiàng)必然非負(fù)數(shù)。即：

因此分子也是非負(fù)的，即：

得證。

當(dāng)ΩA=ΩC×XA=I3時(shí)，收益函數(shù)在這些集合中為非負(fù)數(shù)，此時(shí)可以直接應(yīng)用Cauchy-Schwartz不等式證明左邊總是非負(fù)數(shù)，即：

由Cauchy-Schwartz不等式，上式等于0當(dāng)且僅當(dāng)vA(xA)∝vC(xC)。 注意到xA=(xC，xN)，而vC(xC)并不顯含xN，因此等號(hào)成立時(shí)，vA(xA)也不顯含xN，即：

這意味著新信息沒(méi)有為區(qū)分不同類型的企業(yè)帶來(lái)任何價(jià)值。

2.3.2 公開交易

公開交易是指任何投資者都知道信息交易的存在，并且任何投資者都有信息交易權(quán)。因此，投資者可以首先組成聯(lián)盟，通過(guò)聯(lián)盟與信息賣方G討價(jià)還價(jià)，再在聯(lián)盟內(nèi)部進(jìn)行信息的共享與成本的分配。此時(shí)，新信息XN的最大售價(jià)不可能超過(guò)它可以帶來(lái)的社會(huì)福利的增長(zhǎng)。

引理5在新信息的公開交易中，新信息XA的價(jià)格的上限為：

在有限公開交易的場(chǎng)景，信息賣方G僅將信息出售給一個(gè)投資者(假設(shè)是投資者i)，另一個(gè)未能從賣方購(gòu)買信息的投資者j也知道該交易。在這種情況下如果禁止聯(lián)盟，投資者i無(wú)法通過(guò)與投資者j組成聯(lián)盟來(lái)提高其效用。

2.3.3 秘密交易與公開交易的對(duì)比

命題6與進(jìn)行公開的信息交易相比，信息賣方在分別與兩個(gè)投資者進(jìn)行的秘密的信息交易中會(huì)獲得更高的(至少不會(huì)更低的)總收入。信息交易的博弈中，買賣雙方關(guān)于交易本身就存在信息不對(duì)稱——關(guān)于競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手是否已經(jīng)與信息賣方進(jìn)行交易的信息。這個(gè)交易信息不對(duì)稱造成了信息賣方可以獲取超額收入。

證明：如果信息賣方G分別與投資者i和j秘密交易，則與公開交易相比，兩種交易模式的為信息賣方的收入帶來(lái)的最大的差距為：

由引理4可知，該表達(dá)式總是非負(fù)的。

實(shí)際上，這種超額收入就是秘密交易或商業(yè)秘密信息的價(jià)值。因此，可能存在一個(gè)不道德的信息銷售商，其目的是從信息交易中尋求更高的收入，因而會(huì)隱藏與客戶相關(guān)的交易信息。在這種情況下，由于信息購(gòu)買者和信息出售者之間的信息不對(duì)稱，社會(huì)福利會(huì)受到損害。

此外，也存在Δi＞Δ的情況，即信息賣方G通過(guò)秘密交易獲得的收入，大于社會(huì)福利的增加。

命題7在某些情況下，信息賣方G在將信息出售給一個(gè)參與者時(shí)比兩個(gè)參與者都獲得更高的收入。此時(shí)，信息交易的收入可能會(huì)高于社會(huì)福利的增加。

證明：見(jiàn)例2的離散形式的例子。

例3假設(shè)XA={xN1，xN2，xN3}。vA(xC，xN)由表7所示的矩陣給出。

表7 v A(x C，·)收 益 矩 陣

因此，新信息的引入為社會(huì)帶來(lái)的總福利的增量應(yīng)該是Δ=1。

(2)當(dāng)投資者i通過(guò)信息交易獲取新信息XC×XN而投資者j沒(méi)有購(gòu)買新信息時(shí)，雙方的投資決策如表8所示。

表8 投資決策矩陣

投資者i獲得的效用是：

顯然，Δi＞Δ。這意味著，信息賣方可以以一個(gè)高于社會(huì)福利增量的價(jià)格為新信息定價(jià)。

3 結(jié)論

本文提出了一種新的信息結(jié)構(gòu)建模方法。證明了新信息的公開將增加信息獲得者的投資利潤(rùn)，也提高了社會(huì)總福利。占有獨(dú)家信息無(wú)法推導(dǎo)出穩(wěn)定的純策略均衡解，并且在貝葉斯納什均衡意義下可能降低投資利潤(rùn)和社會(huì)福利。實(shí)現(xiàn)最大化的社會(huì)福利，需要披露所有已知信息。隨著更多信息維度的披露，社會(huì)福利將至少不會(huì)下降，這表明，促進(jìn)信息共享是很有必要的。

在此基礎(chǔ)上，本文進(jìn)一步討論了信息的定價(jià)策略和信息交易。分析表明信息賣方和買方之間的信息不對(duì)稱將導(dǎo)致信息溢價(jià)。通過(guò)充分披露信息和適當(dāng)設(shè)計(jì)公開透明的交易機(jī)制，社會(huì)福利將得到改善。一方面，模型分析表明，信息的秘密交易為不道德的信息賣方帶來(lái)了更高的非法收入。因此，加大對(duì)非法信息秘密交易的懲罰力度，有助于抑制信息黑市中的犯罪行為。另一方面，分析表明，在某些情況下，相比將信息公開出售給所有人，信息賣方僅將信息出售給一位投資者時(shí)，獲得的收入會(huì)更高，從而導(dǎo)致社會(huì)福利的損失。因此，在特定情形下有必要強(qiáng)制要求信息公開，以防止市場(chǎng)機(jī)制在信息定價(jià)和交易領(lǐng)域中失靈。