王晶晶,劉玉潔,鄭麗?

(1大連工業(yè)大學(xué)光子學(xué)研究所,遼寧 大連 116034;2大連工業(yè)大學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)部,遼寧 大連 116034)

0 引言

宏觀系統(tǒng)中量子行為的存在性問(wèn)題一直吸引著眾多的物理學(xué)家。一方面,從認(rèn)識(shí)物理世界的角度,宏觀系統(tǒng)的量子效應(yīng)與量子力學(xué)和廣義相對(duì)論背后潛在的新物理有密切的聯(lián)系。另一方面,量子科學(xué)與量子技術(shù)的發(fā)展趨勢(shì)表明,未來(lái)的量子系統(tǒng)將會(huì)向更復(fù)雜、更宏觀的方向發(fā)展,新的技術(shù)革新必將由此產(chǎn)生。因此,認(rèn)識(shí)宏觀物體的量子性存在的機(jī)制或宏觀量子性存在的機(jī)制,并在此基礎(chǔ)上探索如何有效地消除環(huán)境對(duì)宏觀量子性的影響,以及如何控制宏觀量子態(tài),是十分有意義的研究。

隨著納米技術(shù)和半導(dǎo)體工藝的迅猛發(fā)展,人們?cè)絹?lái)越關(guān)注光力學(xué)這個(gè)新領(lǐng)域,實(shí)驗(yàn)中已經(jīng)可實(shí)現(xiàn)的腔光力系統(tǒng)有法布里-珀羅腔、回音壁腔、振動(dòng)薄膜腔、超導(dǎo)微波腔、光子晶體腔等[1]。目前人們可以利用腔光力系統(tǒng)來(lái)制備力學(xué)和光學(xué)非經(jīng)典態(tài)等[2?4],同時(shí)研究量子理論基本問(wèn)題,如量子退相干、宏觀量子疊加以及經(jīng)典量子邊界等[5?8]。

對(duì)于單個(gè)二能級(jí)系統(tǒng)和單模光場(chǎng)耦合的腔量子電動(dòng)力學(xué)系統(tǒng),人們可以根據(jù)原子-腔場(chǎng)的耦合強(qiáng)度與腔場(chǎng)頻率的比值,將相互作用情況劃分為弱、強(qiáng)、超強(qiáng)、深度強(qiáng)耦合區(qū)間[9]。若二能級(jí)系統(tǒng)與單模光場(chǎng)的耦合強(qiáng)度?小于他們各自的耗散率,則相互作用為弱耦合,如J-C模型;當(dāng)?大于他們各自的耗散率時(shí),相互作用為強(qiáng)耦合[10];最近研究人員在實(shí)驗(yàn)中實(shí)現(xiàn)了超強(qiáng)耦合相互作用[11?13],此時(shí)?與腔場(chǎng)共振頻率ωC和二能級(jí)系統(tǒng)躍遷頻率ω的比值滿足0.11,耦合系統(tǒng)進(jìn)入深度強(qiáng)耦合區(qū)間。2017年,Yoshihara等[14]在電路中通過(guò)約瑟夫森結(jié)耦合磁通量子比特和LC振蕩器,首次在實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)了深度強(qiáng)耦合。

文獻(xiàn)[8]給出了原子與單模腔場(chǎng)超強(qiáng)耦合作用情況下低能級(jí)子空間的有效哈密頓量,文獻(xiàn)[15]利用該模型討論了腔光力系統(tǒng)中制備力學(xué)振子的宏觀量子疊加態(tài)的理論方案,但是沒(méi)有針對(duì)影響宏觀量子態(tài)量子特性的因素給出更多的分析和討論。本文主要討論在超強(qiáng)耦合腔光力系統(tǒng)中,不同的系統(tǒng)初始態(tài)對(duì)力學(xué)振子宏觀量子疊加態(tài)量子特性的影響,并給出了原子-腔初始狀態(tài)的最佳參數(shù)值。

1 模型

考慮一個(gè)由二能級(jí)原子、單模法布里-珀羅腔和力學(xué)振子組成的系統(tǒng),法布里-珀羅腔包含一個(gè)固定反射鏡和一個(gè)可移動(dòng)反射鏡,可移動(dòng)反射鏡與機(jī)械振子之間通過(guò)光機(jī)耦合相互關(guān)聯(lián),則系統(tǒng)哈密頓量為[8]

式中:a?和a分別是光場(chǎng)的產(chǎn)生和湮滅算符,σz、σ+、σ?是原子算符,b?和b分別是力學(xué)振子的產(chǎn)生和湮滅算符,?是二能級(jí)原子和腔場(chǎng)的耦合強(qiáng)度,ω是二能級(jí)原子的躍遷頻率,假設(shè)光腔與原子共振,力學(xué)振子的固有頻率為ωM,腔與力學(xué)振子的耦合系數(shù)為g。

若考慮原子與腔相互作用超強(qiáng)耦合的情況,即η=?/ω≥0.1,低能級(jí)子空間中的有效哈密頓量(二階近似)可表示為[8]

若對(duì)光力耦合系數(shù)進(jìn)行調(diào)控,使光力耦合近共振且以余弦規(guī)律變化,即g→gcos(vt),且v=ωM?δ,v為調(diào)控頻率,δ為調(diào)控引起的失諧量,則該系統(tǒng)的有效哈密頓量變?yōu)閇15]

2 相互作用表象的演化算符

利用幺正變換算符

可得相互作用表象中系統(tǒng)的哈密頓量為(旋轉(zhuǎn)波近似)

相應(yīng)于該相互作用表象中的哈密頓量,利用Wei-Norman方法,得到演化算符

3 任意初始態(tài)的演化波函數(shù)

設(shè)t=0時(shí)刻,系統(tǒng)的初態(tài)為|+0〉=|+〉?|0〉m,即原子-腔子系統(tǒng)的初態(tài)為|+〉,力學(xué)振子的初態(tài)為真空態(tài)|0〉m。由方程(6),可計(jì)算任意t時(shí)刻系統(tǒng)的演化波函數(shù)為

同理,當(dāng)系統(tǒng)初態(tài)為|?0〉時(shí),任意t時(shí)刻系統(tǒng)的演化波函數(shù)為

式中

因此若設(shè)t=0時(shí)刻原子-腔的初態(tài)為任意態(tài),力學(xué)振子處在真空態(tài),即

則由(9)式可得t時(shí)刻系統(tǒng)的演化波函數(shù)為

式中

可以看出,|φ1g〉m、|φ0e〉m、|φ2e〉m、|φ3g〉m為宏觀量子疊加態(tài)。若對(duì)腔進(jìn)行測(cè)量,測(cè)得光腔中有0個(gè)光子,則力學(xué)振子狀態(tài)為|φ0e〉m;若光腔中有1個(gè)光子,則力學(xué)振子狀態(tài)為|φ1g〉m,若光腔中有2個(gè)光子,則力學(xué)振子狀態(tài)為|φ2e〉m;若光腔中有3個(gè)光子,則力學(xué)振子狀態(tài)為|φ3g〉m。不管測(cè)量結(jié)果如何,力學(xué)振子都將處在宏觀量子疊加態(tài)。由(13)式可以看出,光子數(shù)為2或3的幾率和光子為0或1的幾率比值正比于η2,而此處假設(shè)η的大小為0.1的數(shù)量級(jí),所以相比而言,光子為0或1的幾率比光子數(shù)為2或3的幾率高出兩個(gè)數(shù)量級(jí),所以下文僅對(duì)光子數(shù)為0或1的情況進(jìn)行討論。下面以|φ0e〉m為例進(jìn)行討論,其他三個(gè)態(tài)與此討論結(jié)果相類似。

4 宏觀量子疊加態(tài)的量子特性分析

宏觀量子疊加態(tài)的可分辨性由兩個(gè)因素決定,|β±|max>1以及〈β+|β?〉?1。且當(dāng)t=(2k+1)π/δ(k取非負(fù)整數(shù))時(shí),β±取到最大值[15]。從(10)式可以看出,|β±|max=g(α±+ξ)/δ,因此若|β±|max>1,則需要滿足條件δ

利用Wigner函數(shù)來(lái)討論制備的力學(xué)振子宏觀量子疊加態(tài)量子相干性的強(qiáng)弱。由Wigner函數(shù)的定義

式中α為任意復(fù)數(shù),可得

考慮到二階近似,計(jì)算得

式中Re函數(shù)為對(duì)復(fù)數(shù)取其實(shí)部。

從(16)式可以看出,|φ0e〉m態(tài)的量子相干性主要與第三項(xiàng)有關(guān),當(dāng)系統(tǒng)其他參數(shù)不變,該項(xiàng)取值與C1C2的乘積大小有關(guān),因此量子相干性與原子-腔的初始態(tài)有關(guān)。圖1中給出了幾種不同原子-腔初態(tài)情況下|φ0e〉m的Wigner函數(shù)W0e(α)的示意圖,以展示|φ0e〉m的量子相干性的強(qiáng)弱與原子-腔的初始態(tài)的相關(guān)性,圖中Im函數(shù)為對(duì)復(fù)數(shù)取其虛部。圖2給出C1C2隨初始態(tài)系數(shù)C1的變化關(guān)系圖,可以看出當(dāng)時(shí),C1C2的取值最大,即此時(shí)對(duì)應(yīng)的原子-腔初態(tài)所制備出的力學(xué)振子的宏觀量子疊加態(tài)的量子相干性最強(qiáng)。

圖1 不同初始態(tài)下|φ0e〉m的Wigner函數(shù)示意圖,ωM/g=20,δ=0.01g,t=π/δ,η=0.2。(a)C1=0.1;(b)C1=0.3;(c)C1=1/Fig.1 Schematic diagram of Wigner function of|φ0e〉m for different atom-cavity states,ωM/g=20,δ=0.01g,t=π/δ,η=0.2.(a)C1=0.1;(b)C1=0.3;(c)C1=1/

圖2 C1C2隨著C1的變化,ωM/g=20,δ=0.01g,t=π/δ,η=0.2Fig.2 Relation curve of C1C2 varying with C1,whereωM/g=20,δ=0.01g,t=π/δ,η=0.2

此外,從(16)式還可以看出,|φ0e〉m態(tài)的量子相干性還與原子-腔的耦合強(qiáng)度η有關(guān),因?yàn)楹瘮?shù)形式較為復(fù)雜,在圖3中給出η取不同值的情況下,|φ0e〉m的Wigner函數(shù)的等高線示意圖?？梢钥闯靓堑闹翟酱?|φ0e〉m的兩個(gè)波包的相干強(qiáng)度越強(qiáng)。

圖3 η取不同值情況下,|φ0e〉m的Wigner函數(shù)的等高線示意圖,C1=1/√,ωM/g=20,δ=0.01g,t=π/δ。(a)η=0.1;(b)η=0.2;(c)η=0.3;(d)η=0.4Fig.3 Contour plot of Wigner function for state|φ0e〉m with different values ofη,with C1=1/,ωM/g=20,δ=0.01g,t=π/δ.(a)η=0.1;(b)η=0.2;(c)η=0.3;(d)η=0.4

5 結(jié)論

主要討論了在原子-腔超強(qiáng)耦合光力系統(tǒng)中,利用對(duì)光力耦合的調(diào)制制備力學(xué)振子的宏觀量子疊加態(tài)。所制備的宏觀量子疊加態(tài)的兩波包之間的量子相干性,其強(qiáng)弱與原子-腔的初始狀態(tài)以及耦合強(qiáng)度密切相關(guān),給出了宏觀量子相干性最強(qiáng)的初態(tài)參數(shù),并且發(fā)現(xiàn)耦合強(qiáng)度越強(qiáng),宏觀量子疊加態(tài)的量子相干性就越強(qiáng)。給出了|φ0e〉m的Wigner函數(shù)的解析表達(dá)式,從理論上明確體現(xiàn)了兩波包的量子相干項(xiàng),可以結(jié)合具體的實(shí)驗(yàn)參數(shù)分析Wigner函數(shù)的分布情況,繼而討論利用該方案所制備的宏觀量子疊加態(tài)兩波包之間的量子相干性情況,為相關(guān)的實(shí)驗(yàn)研究提供了一定的理論參考。