劉志紅李 瑩丁文旭樊學(xué)玲

(聊城大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 聊城 252059)

0 引言

本文使用的符號(hào):C n為n階復(fù)列向量集合，C m×n為m×n階復(fù)矩陣集合，I n為n階單位陣，A?為復(fù)矩陣A的MP逆，AT為復(fù)矩陣A的轉(zhuǎn)置。K n為n階Hankel矩陣集合，T n為n階Toeplitz矩陣集合。

特殊矩陣的研究取得了一系列的成果，其中形如

的矩陣稱為Hankel矩陣。近年來，Hankel矩陣受到越來越多學(xué)者的關(guān)注，例如，錢研究了基于Hankel矩陣的熒光油膜灰度與厚度預(yù)測(cè)模型改進(jìn)[1]，郭提出在離線階段使用能夠有效去除噪聲的Hankel矩陣，重構(gòu)RSS指紋數(shù)據(jù)庫(kù)將真實(shí)信號(hào)空間與噪聲空間分離[2]，仇提出一種將Hankel矩陣奇異樣本熵、奇異能量值和隨機(jī)森林相結(jié)合的電機(jī)故障診斷方法[3]。

Toeplitz矩陣作為Hankel矩陣的一種特殊變形，即

在工業(yè)上具有廣泛的應(yīng)用，如吳研究了基于Toeplitz矩陣的MIMO 雷達(dá)DOA 估計(jì)[4]，梁通過對(duì)陣列接收的單次快拍數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)處理后重構(gòu)Toeplitz矩陣并證明該矩陣的秩不受信號(hào)相干性的影響，再通過特征值分解得到對(duì)應(yīng)的信號(hào)子空間和噪聲子空間，結(jié)合MUSIC，ESPRIT 等子空間類算法實(shí)現(xiàn)了對(duì)相干和非相干信號(hào)的DOA 估計(jì)[5]。

對(duì)給定的矩陣A，D∈C m×n，B，E∈C n×p，G∈C m×p，矩陣方程

被稱為Sylvester方程。它在系統(tǒng)理論[6，7]、圖像恢復(fù)[8]、目標(biāo)跟蹤[9，10]、農(nóng)業(yè)工程[11]、模型降階[12]等方面具有廣泛的應(yīng)用。許多學(xué)者利用不同方法研究了Sylvester方程的解，如袁研究了復(fù)矩陣方程(1)的極小范數(shù)最小二乘Hermitian解[13]，楊研究了矩陣方程(1)的Hermitian迭代解[14]，馮研究了矩陣方程(1)的極小范數(shù)最小二乘三對(duì)角Hermitian解[15]。本文將研究Sylvester方程組

的Hankel解及Toeplitz解。

問題1設(shè)矩陣A i，D i∈C m×n，B i，E i∈C n×p，G i∈C m×p，i＝1，2，求

并求極小范數(shù)最小二乘Hankel解X H∈S H，即

問題2設(shè)矩陣A i，D i∈C m×n，B i，E i∈C n×p，G i∈C m×p，i＝1，2，求

并求極小范數(shù)最小二乘Toeplitz解X T∈S T，即

求解矩陣方程的一種常用方法是直接利用vec算子將矩陣方程變?yōu)橄蛄糠匠?，該方法不考慮矩陣的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，運(yùn)算量較大。如果所求解具有某種結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，直接轉(zhuǎn)化會(huì)造成計(jì)算上的浪費(fèi)。H-表示方法給出了一種提取特殊結(jié)構(gòu)矩陣獨(dú)立元素的固定模式，利用H-表示，可以將矩陣方程轉(zhuǎn)化為向量值方程，通過簡(jiǎn)化解的結(jié)構(gòu)降低運(yùn)算的復(fù)雜度[16]。目前，H-表示在隨機(jī)系統(tǒng)[17-19]等方面具有廣泛的應(yīng)用。例如，Wang研究了具有多噪聲的馬爾科夫跳變隨機(jī)系統(tǒng)的精確能觀性[20]，Li研究了隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性和鎮(zhèn)定性[21]。本文將H-表示的方法應(yīng)用于矩陣方程的計(jì)算中。

本文包括以下內(nèi)容:第一節(jié)，介紹矩陣H-表示的方法并研究其性質(zhì)；第二節(jié)，利用H-表示研究方程組(2)的極小范數(shù)最小二乘Hankel解和極小范數(shù)最小二乘Toeplitz解并給出有解的充要條件及通解表達(dá)式；第三節(jié)，給出數(shù)值算法，并通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)算法的有效性；第四節(jié)，將此方法成功應(yīng)用到一類離散周期耦合Sylvester矩陣方程組的計(jì)算中；第五節(jié)，對(duì)文章進(jìn)行總結(jié)。

1 矩陣的H-表示

定義1[16]考慮一個(gè)p維復(fù)矩陣子空間P?C n×n，對(duì)每個(gè)矩陣X ＝x ij()n×n∈P，總存在一個(gè)映射ψ:X∈P?V c(X)，其中V c為vec算子。如果dimP( )＝p，e1，e2，…，e p組成P的一組基，p≤n2，那么存在x1，x2，…，x p∈C，使得。定義H ＝(V c(e1) ，V c(e2) ，…，V c e(p)) ，那么對(duì)每個(gè)X∈P，我們都可以用一個(gè)p維向量將ψ(X)＝V c(X)表示成

這里(x1，x2，…，x p)T，那么就叫做ψ(X)的H-表示，H叫做ψ(X)的H-表示矩陣。

注任意X∈P，由于P的基底選擇的不同，ψ(X)的H-表示是不同的，也就是說，矩陣H可能是不同的。顯然，當(dāng)P的基底固定時(shí)，H-表示矩陣H及向量是唯一確定的。

例1 設(shè)P ＝K3，X ＝x ij() ∈P，dimP( )＝5。

選擇P的一組基底

容易計(jì)算出

式中，

例2設(shè)P ＝T3，X ＝x ij() ∈P，dimP( )＝5。

選擇P的一組基底

容易計(jì)算出

式中

本文將對(duì)P＝K n以及P＝T n做H-表示如下，首先選取n階Hankel矩陣與n階Toeplitz矩陣的標(biāo)準(zhǔn)基底。

定理1若P ＝K n，選取一組標(biāo)準(zhǔn)基底

若P ＝T n，選取一組標(biāo)準(zhǔn)基底

顯然，對(duì)上述給定的基底，若P ＝K n，那么對(duì)任意X k ＝x ij()n×n∈P，我們有

同樣的，對(duì)P ＝T n，那么對(duì)任意X t ＝x ij()n×n∈P，我們有

為了方便，我們用H K表示對(duì)應(yīng)于P ＝K n的H-表示矩陣，用H T表示中對(duì)應(yīng)P ＝T n的H-表示矩陣。

2 Sylvester方程組的Hankel解和Toeplitz解

引理1[22]設(shè)A∈C m×n，b∈C m，則不相容線性方程組Ax ＝b的最小二乘解的通式為x ＝A?b＋(I n－A?A)y，其中y∈C n是任意的。

引理2[22]設(shè)A∈C m×n，b∈C m，則線性方程組Ax＝b有解的充分必要條件是AA?b＝b，這時(shí)，Ax＝b的通解是x ＝A?b＋(I n－A?A)y，其中y∈C n是任意的。

定理2設(shè)矩陣A i，D i∈C m×n，B i，E i∈C n×p，G i∈C m×p，i＝1，2， 定義映射

這里由(4)定義，則矩陣方程組(2)的最小二乘Hankel解X表達(dá)式為

極小范數(shù)最小二乘Hankel解X H滿足

證明設(shè)X為矩陣方程組(2)的最小二乘Hankel解，利用MP逆的性質(zhì)得

因此

對(duì)于復(fù)矩陣方程Mφ(X)＝G，由引理1可以得到它的最小二乘解X滿足

其極小范數(shù)最小二乘解X H滿足φ X H()＝M?G。

推論1設(shè)矩陣A i，D i∈C m×n，B i，E i∈C n×p，G i∈C m×p，i＝1，2，矩陣方程組(2)有Hankel解的充要條件為

且其通解表達(dá)式滿足φ(X)＝M?G ＋(I2n－1－M?M)y，?y∈C2n－1，極小范數(shù)Hankel解X1滿足

證明利用定理2的證明過程，可以得到

利用MP逆的性質(zhì)得

從而

類似的，我們可以得到問題2的極小范數(shù)最小二乘Toeplitz解及推論2，證明過程略。

定理3設(shè)矩陣A i，D i∈C m×n，B i，E i∈C n×p，G i∈C m×p，i＝1，2， 定義映射

這里由(5)定義，則矩陣方程組(2)的最小二乘Toeplitz解X表達(dá)式為

極小范數(shù)最小二乘Toeplitz解X T滿足

推論2設(shè)矩陣A i，D i∈C m×n，B i，E i∈C n×p，G i∈C m×p，i＝1，2，矩陣方程組(2)有Toeplitz解的充要條件為

且其通解表達(dá)式滿足χ(X)＝N?G ＋(I2n－1－N?N)y，?y∈C2n－1，極小范數(shù)Toeplitz解X2滿足

3 數(shù)值算例

在求解矩陣方程時(shí)，一種常用方法是利用vec算子轉(zhuǎn)化為Ax ＝b的形式，然后利用廣義逆進(jìn)行求解。和求解矩陣方程的常用方法相比，H-表示方法在計(jì)算特殊解誤差與求解時(shí)間方面有較明顯優(yōu)勢(shì)。

算法

步驟1 輸入A i，B i，D i，E i，G i∈C n×n，i＝1，2，H K，H T∈C n2×2n－1()。

步驟2 輸出G，M，N。

步驟3 根據(jù)公式(6)和(7)，輸出矩陣方程組(2)的極小范數(shù)Hankel解和極小范數(shù)Toeplitz解。

算例考慮Sylvester方程組，令n＝5k，k＝1:18，在Matlab中隨機(jī)生成n階矩陣A1，A2，B1，B2，D1，D2，E1，E2，具體如

生成n階Hankel矩陣與Toeplitz矩陣

計(jì)算

用上述算法與矩陣方程的常用求解方法求Sylvester方程組的極小范數(shù)Hankel解與極小范數(shù)Toeplitz解，利用兩種方法得到的極小范數(shù)Hankel解X1與真實(shí)解Xhh的誤差數(shù)量級(jí)ε1＝log10(X1－X hh) 如圖1所示，極小范數(shù)Toeplitz解X2與真實(shí)解X tt的誤差的數(shù)量級(jí)ε2＝log10(X2－X tt) 如圖2所示。利用兩種方法計(jì)算極小范數(shù)Hankel解所需時(shí)間如圖3所示，計(jì)算極小范數(shù)Toeplitz解所需時(shí)間如圖4所示。

圖1 問題1的誤差比較

圖2 問題2的誤差比較

圖3 問題1的時(shí)間比較

圖4 問題2的時(shí)間比較

根據(jù)圖1、圖2，在求解同等規(guī)模的Sylvester方程組的極小范數(shù)Hankel解和極小范數(shù)Toeplitz解時(shí)，本文提出的H-表示的方法得到的誤差明顯小于常用解法。根據(jù)圖3、圖4，當(dāng)矩陣維數(shù)大于50時(shí)，相比于常用方法，H-表示方法在求解時(shí)所需時(shí)間更短，且隨維數(shù)增大，H-表示方法優(yōu)勢(shì)更大。因此可以得出H-表示方法在求解矩陣方程時(shí)更占優(yōu)勢(shì)。

4 應(yīng)用

周期Sylvester矩陣方程組的求解是離散周期系統(tǒng)魯棒極點(diǎn)配置、狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)、基于觀測(cè)器的魯棒控制和故障判斷等控制領(lǐng)域問題研究的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，本節(jié)我們研究在特征值收集的周期計(jì)算子空間計(jì)算中常用的一類離散周期耦合Sylvester矩陣方程組。一般意義下，周期耦合矩陣方程可以含有多個(gè)約束矩陣方程，但為方便討論，我們?cè)O(shè)定其兩個(gè)約束方程如

式中A i，j，B i，j，D i，j，E i，j，i＝1，2，均為以T為周期的給定的矩陣，矩陣X j，Y j為待解矩陣。這里，我們考慮時(shí)不變系統(tǒng)，即T ＝1，且X j ＝Y(jié) j，(8)等價(jià)地轉(zhuǎn)化為

我們考慮解X為Toeplitz型矩陣的情況。選取以下的參數(shù)矩陣

利用H-表示，我們得到

因此矩陣方程組的Toeplitz解為

5 小結(jié)

本文提出了一種基于H-表示方法求解線性矩陣方程組的方法。與求解矩陣方程組的常用方法相比，利用此方法可以降低運(yùn)算復(fù)雜度，減少運(yùn)算時(shí)間。通過驗(yàn)證，該算法精度較高，耗時(shí)更少，優(yōu)勢(shì)更大。該方法可用于計(jì)算具有指定特征值集的周期收縮子空間的特殊時(shí)不變耦合矩陣方程的Toeplitz解。