于子航，王改云

(桂林電子科技大學(xué)花江校區(qū)電子工程與自動(dòng)化學(xué)院，廣西 桂林 541000)

1 引言

隨著人類對(duì)機(jī)器人技術(shù)智能化本質(zhì)認(rèn)識(shí)的深入，這項(xiàng)技術(shù)就開始不斷應(yīng)用在人類工作以及生活的各個(gè)領(lǐng)域內(nèi)[1]，在與這些領(lǐng)域應(yīng)用特點(diǎn)相結(jié)合，例如：軍事、建筑業(yè)、服務(wù)業(yè)、醫(yī)學(xué)、工業(yè)以及農(nóng)業(yè)等，都起到了至關(guān)重要的用途[2]。

為了使機(jī)器人可以完成各種各樣的任務(wù)以及動(dòng)作，所制定的控制手段，被稱為機(jī)器人控制技術(shù)，包括的范圍非常廣泛，從機(jī)器人的智能、任務(wù)描述到運(yùn)動(dòng)控制以及伺服控制等，既包含了控制所需要的各種各樣硬件系統(tǒng)，還包含了各種各樣的軟件系統(tǒng)。因?yàn)闄C(jī)器人的發(fā)展時(shí)間較短，所以很多技術(shù)都只是在起步階段，因此，如果需要機(jī)器人自主運(yùn)動(dòng)工作，在路徑上存在障礙等阻攔物，很容易導(dǎo)致其偏移目標(biāo)點(diǎn)甚至是失去目標(biāo)點(diǎn)，使任務(wù)無法完成。為此，相關(guān)學(xué)者對(duì)機(jī)器人目標(biāo)導(dǎo)向運(yùn)動(dòng)控制做出了研究并取得了一定研究成果。

文獻(xiàn)[3]提出基于運(yùn)動(dòng)控制和頻域分析的移動(dòng)機(jī)器人能耗最優(yōu)軌跡規(guī)劃，通過對(duì)比期望軌跡與實(shí)際輸出軌跡，引入頻域分析得到軌跡線性能耗模型，搜索全局路徑規(guī)劃的局部目標(biāo)點(diǎn)，確定能量消耗的最優(yōu)軌跡。文獻(xiàn)[4]提出基于路徑積分強(qiáng)化學(xué)習(xí)方法的蛇形機(jī)器人目標(biāo)導(dǎo)向運(yùn)動(dòng)。通過路徑積分強(qiáng)化學(xué)習(xí)得到機(jī)器人的步態(tài)方程參數(shù)，避開障礙物到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制。上述方法均具有一定的有效性，但未能全方面考慮機(jī)器人工作路徑上的障礙干擾，機(jī)器人目標(biāo)導(dǎo)向運(yùn)動(dòng)控制存在一定誤差。為此本文提出一種基于路徑積分強(qiáng)化的機(jī)器人目標(biāo)導(dǎo)向運(yùn)動(dòng)控制方法，不但能夠有效的避開路徑上的障礙，且操作人員的期望值和實(shí)際值之間差距非常小，以此可以說明該方法效果良好。

2 路徑積分強(qiáng)化與隨機(jī)最佳控制分析

隨機(jī)最佳控制主要應(yīng)用于控制隨機(jī)動(dòng)態(tài)的系統(tǒng)，具體性能指標(biāo)的函數(shù)是損失函數(shù)，機(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡τi的定義公式為

(1)

式中：ti代表起始時(shí)刻，tN代表終止時(shí)刻，x(t)代表t時(shí)刻的狀態(tài)，u(t)代表t時(shí)刻的控制量，φ[·]代表終止時(shí)刻tN位置損失函數(shù)，L[·]代表立即的損失函數(shù)。具體隨機(jī)最佳的控制目地是為了找到控制量u(t)，且具體評(píng)估函數(shù)最小公式為

(2)

式中：Eτi[·]代表全部起始狀態(tài)是xti軌跡的損失函數(shù)期望。具體隨機(jī)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的定義公式為

(3)

式中：xt∈Rn×1代表系統(tǒng)的狀態(tài)量，Gt=G(xt)∈Rn×p代表控制矩陣，ft=f(xt，t)∈Rn×1代表模型方程，ut∈Rn×1代表控制向量，具體即時(shí)回報(bào)的定義公式為

(4)

式中：qt=q(xt，t)代表隨意依賴于狀態(tài)損失的函數(shù)，R代表半正定的權(quán)值矩陣[5]。具體的隨機(jī)最佳控制HJB方程公式如下

(5)

其中

Ft=f(xt，t)+G(xt)ut

(6)

將式(5)代入至式(6)內(nèi)，可以獲得最佳控制量公式為

(7)

將式(7)代入至式(6)內(nèi)，可以獲得非線性的二階偏微分方程公式為

(8)

式中：?x代表雅克比矩陣，?xx代表黑森矩陣。而直接求解HJB的方程非常復(fù)雜，所以要將HJB方程進(jìn)行轉(zhuǎn)變，變成線性的偏微分方程，依據(jù)邊界的條件，可以獲得

(9)

以此就能夠?qū)㈦S機(jī)最佳控制問題轉(zhuǎn)變成近似積分的問題，具體式(9)能夠轉(zhuǎn)換公式為

(10)

式中：τi=(xti，xti+1，…，xtN)代表樣本路徑中采樣的狀態(tài)點(diǎn)，P(τi|xi)代表起始狀態(tài)是xi樣本路徑τi概率，概率求解為解析解，主要依賴于系統(tǒng)的模型ft，能夠采用路徑積分的方法完成數(shù)值求解，而路徑積分的方法不會(huì)要求已知的模型，在起始狀態(tài)xti就隨機(jī)生成K條路徑(τi，1，τi，2，…，τi，K)，具體路徑τi，k概率公式為

(11)

而更新控制量為

(12)

經(jīng)過數(shù)值迭代，所得更新控制量就是損失函數(shù)的收斂[6]。

3 機(jī)器人目標(biāo)導(dǎo)向運(yùn)動(dòng)控制算法

3.1 降維的策略

在凸體空間中搜索機(jī)器人目標(biāo)導(dǎo)向運(yùn)動(dòng)路徑可行解[7]，能夠獲得多條可行的路徑，但由于搜索過程的時(shí)間復(fù)雜度比較大，而且搜索出的路徑缺少有效標(biāo)準(zhǔn)評(píng)價(jià)，所以通過目標(biāo)點(diǎn)確認(rèn)參考平面，把復(fù)雜三維空間的規(guī)劃問題轉(zhuǎn)變至平面規(guī)劃上，以此能夠極大程度降低算法時(shí)間的復(fù)雜度[8]。如果目標(biāo)點(diǎn)的坐標(biāo)是(xt，yt，zt)，利用目標(biāo)點(diǎn)向著系統(tǒng)坐標(biāo)系xOy的平面作投影，將平面x′Oy作為參考平面，具體如圖1所示。

圖1 目標(biāo)點(diǎn)確定參考平面

圖1內(nèi)，參考平面是xOy平面圍繞著z軸來作旋轉(zhuǎn)角度φ，接著在參考平面中構(gòu)建坐標(biāo)系{x′Oy}，構(gòu)建等效二維目標(biāo)點(diǎn)映射和三維目標(biāo)點(diǎn)關(guān)系，具體公式為

(13)

結(jié)合齊次的變換矩陣T，能夠把機(jī)器人結(jié)構(gòu)的隨機(jī)點(diǎn)，利用二維坐標(biāo)的形式進(jìn)行描述，就能夠完成維度的變換[9]。

經(jīng)過維度的變換以后，僅需要完成對(duì)于彎曲角度遍歷，就能夠使算法的時(shí)間復(fù)雜度，降低成O(nk)。

3.2 區(qū)域劃分確認(rèn)導(dǎo)向

利用目標(biāo)點(diǎn)確認(rèn)導(dǎo)向角度，可以縮小彎曲角度的搜索范圍，根據(jù)兩個(gè)方面來約束彎曲角度的搜索過程為：各個(gè)關(guān)節(jié)彎曲的角度θi搜索范圍是介于0和目標(biāo)導(dǎo)向角θ二者間，就是θi<θ<π。全部關(guān)節(jié)彎曲的角度和值為朝向角度[10]，就是∑θi=θ。

在參考平面中單關(guān)節(jié)扭曲的角度是θ時(shí)，那么關(guān)節(jié)彎曲末端的坐標(biāo)公式為

(14)

第一種：1區(qū)域的陰影部分：隨意取大于90度的θ，具體公式為

l/θ·(1-cosθ)=xt

(15)

式中，θ代表導(dǎo)向的角度。

第二種：1區(qū)域的非陰影部分：隨意取小于90度的θ，滿足式(21)。

(16)

式中，θ代表導(dǎo)向的角度。

(17)

式中，θ代表導(dǎo)向的角度。

利用目標(biāo)作為導(dǎo)向，減少?gòu)澢嵌鹊淖兓秶源司湍軌蜻M(jìn)一步使時(shí)間復(fù)雜度降低[11]。

3.3 控制算法實(shí)現(xiàn)

采用機(jī)器人的中心位置作為控制點(diǎn)，把運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)化成單點(diǎn)運(yùn)動(dòng)控制模式。因機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)是通過直線運(yùn)動(dòng)以及圓弧運(yùn)動(dòng)所構(gòu)成的，所以要在控制點(diǎn)上作法向運(yùn)動(dòng)矢量以及切向運(yùn)動(dòng)矢量，在其中，切向運(yùn)動(dòng)的矢量，即是機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)直線性——運(yùn)動(dòng)的方向，而法向運(yùn)動(dòng)的矢量即是機(jī)器人運(yùn)動(dòng)圓弧性。將機(jī)器人的起始位置坐標(biāo)P0設(shè)為(X0，Y0)，起始朝向和入口中心切向的夾角是θ0，那么起始位置并垂直于起始朝向方程L0公式為

y-Y0=-ctgθ(x-X0)

(18)

軌跡的曲線是通過一段圓弧和一段直線所構(gòu)成的，將其簡(jiǎn)稱為R—L模式。

將圓弧圓心C坐標(biāo)設(shè)成(XC，YC)，就能夠得出L0通過C點(diǎn)，具體公式為

YC-Y0=-ctgθ(XC-X0)

(19)

(20)

即式(19)代表入口方向和運(yùn)動(dòng)圓弧同向相切，就是控制點(diǎn)走了一段圓弧，接著頭朝向入口處走直線來實(shí)現(xiàn)整體運(yùn)動(dòng)。而式(20)代表入口方向和運(yùn)動(dòng)圓弧逆向相切，就是控制點(diǎn)倒著走了一段圓弧，接著背向入口位置倒退走直線實(shí)現(xiàn)整體運(yùn)動(dòng)。

軌跡的曲線是通過兩段圓弧和一段直線所構(gòu)成，將其簡(jiǎn)稱為R—R—L模式。

1)機(jī)器人存在原地自轉(zhuǎn)的能力

在0≤θ<2arctg(Y0/X0)或者3θ/2<θ<2π時(shí)，可以使機(jī)器人進(jìn)行原地自轉(zhuǎn)180度，就能夠滿足R—L的模式處理?xiàng)l件，轉(zhuǎn)化成R—L模式進(jìn)行處理。這時(shí)R—R—L內(nèi)第一段的圓弧，就是機(jī)器人進(jìn)行自轉(zhuǎn)180度圓弧運(yùn)動(dòng)，而第二部分的R—L控制起始點(diǎn)(Y0，X0)不變，θ利用θ+π進(jìn)行代替。將其代入式(20)內(nèi)進(jìn)行計(jì)算，就能夠得出圓弧的圓心(XC，YC)坐標(biāo)值。

2)機(jī)器人不能夠原地自轉(zhuǎn)，存在最小的轉(zhuǎn)彎半徑Rmin。

這時(shí)，機(jī)器人會(huì)沿著最小的轉(zhuǎn)彎半徑Rmin行駛半個(gè)圓弧，通過這樣θ就能夠變成θ+π，同樣能夠滿足R—L處理的條件，將其轉(zhuǎn)化成R—L情節(jié)進(jìn)行處理。這時(shí)R—R—L內(nèi)第一段的圓弧，就代表機(jī)器人圍繞著最小的轉(zhuǎn)彎半徑行駛半個(gè)圓弧，具體的圓弧圓心坐標(biāo)(XC0，YC0)計(jì)算能夠獲得公式為

(21)

行駛完第一段的半圓弧之后坐標(biāo)(X1，Y1)公式為

(22)

接著機(jī)器人以(X1，Y1)作為起始點(diǎn)，完成R—L控制，具體計(jì)算結(jié)果和式(21)相似，不過有所不同的是(X0，Y0)值利用(X1，Y1)進(jìn)行代替[12]，θ值利用θ+π代替。以此即能夠完成機(jī)器人導(dǎo)向運(yùn)動(dòng)控制。

4 仿真研究

為了驗(yàn)證本文控制算法的有效性，在Matlab/Simulink的軟件內(nèi)搭建機(jī)器人與路面模型，設(shè)置障礙實(shí)施仿真。

以文獻(xiàn)[3]、文獻(xiàn)[4]方法作為實(shí)驗(yàn)對(duì)比方法，得到具體機(jī)器人導(dǎo)向運(yùn)動(dòng)曲線結(jié)果如圖2所示。

圖2 機(jī)器人的導(dǎo)向運(yùn)動(dòng)曲線

根據(jù)圖2能夠看出，在所提的目標(biāo)導(dǎo)向控制算法下，移動(dòng)機(jī)器人的實(shí)際軌跡和所期望的軌跡非常接近，而文獻(xiàn)方法與期望值存在一定偏差。所提方法的采用基貝爾曼的最優(yōu)準(zhǔn)則及HJB方程，能夠計(jì)算出最佳控制與路徑積分二者間的關(guān)系，通過目標(biāo)點(diǎn)確認(rèn)導(dǎo)向角度，因此得到的導(dǎo)向運(yùn)動(dòng)曲線與期望值十分接近，導(dǎo)向控制精度高。

在此基礎(chǔ)上驗(yàn)證機(jī)器人的軌跡曲率以及跟隨特性，得到實(shí)驗(yàn)對(duì)比結(jié)果如圖3所示。

圖3 機(jī)器人的軌跡曲率以及跟隨特性

分析圖3可知，隨著時(shí)間的增加，所提方法的機(jī)器人軌跡曲率波動(dòng)較小，在20s時(shí)曲率保持穩(wěn)定，且與期望值十分接近；而文獻(xiàn)對(duì)比方法的機(jī)器人軌跡曲率波動(dòng)大，且難以保達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。所提方法利用降維策略縮小了搜索變量個(gè)數(shù)，以機(jī)器人中心位置作為控制點(diǎn)，簡(jiǎn)化運(yùn)動(dòng)控制方式為單點(diǎn)控制，實(shí)現(xiàn)了機(jī)器人軌跡的精準(zhǔn)控制。由此可見，所提方法的超調(diào)量比較小，穩(wěn)態(tài)的誤差小。

5 結(jié)束語

本文方法能夠有效使機(jī)器人繞過障礙物，到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)完成工作，實(shí)際值和期望值之間的數(shù)值差距較小，效果良好。不過還是存在一些微小差距，在一些要求極其精細(xì)的場(chǎng)地還是無法使用，所以未來本文應(yīng)該爭(zhēng)取進(jìn)一步的對(duì)機(jī)器人控制算法進(jìn)行研究，使期望值和實(shí)際值之間的差距變得更小，甚至是消失。