喬 丹，高 陽(yáng)，倪仕全，田大鵬*

(1. 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049；2. 中國(guó)科學(xué)院長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，吉林 長(zhǎng)春 130033；3. 中國(guó)科學(xué)院航空光學(xué)成像與測(cè)量重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，吉林 長(zhǎng)春 130033)

1 引言

人機(jī)交互實(shí)現(xiàn)了操作者與機(jī)器之間的交互和協(xié)作，是當(dāng)前的一項(xiàng)研究熱點(diǎn)[1-2]。在人機(jī)交互領(lǐng)域，執(zhí)行器的設(shè)計(jì)及其控制問(wèn)題是影響操作體驗(yàn)的直接因素[3]。為了實(shí)現(xiàn)靈活的人機(jī)交互，高動(dòng)態(tài)、輕量化、多自由度的執(zhí)行器設(shè)計(jì)已成為一項(xiàng)關(guān)鍵問(wèn)題。

面向人機(jī)交互的執(zhí)行器的機(jī)械結(jié)構(gòu)包括串聯(lián)機(jī)構(gòu)、并聯(lián)機(jī)構(gòu)、串聯(lián)與并聯(lián)混合機(jī)構(gòu)[4-6]。與串聯(lián)機(jī)構(gòu)相比，并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)緊湊、輸出能力強(qiáng)的突出優(yōu)點(diǎn)[7]，在人機(jī)交互的執(zhí)行器設(shè)計(jì)中得到了廣泛應(yīng)用[8-10]。然而，在現(xiàn)有的設(shè)計(jì)中，驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)副通常采用伺服電機(jī)結(jié)合減速機(jī)構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn)，限制了執(zhí)行器的動(dòng)態(tài)性能。而為了提高動(dòng)態(tài)性能、實(shí)現(xiàn)靈活運(yùn)動(dòng)的目的，采用電機(jī)直驅(qū)的方式越來(lái)越受到重視。對(duì)于直驅(qū)方式，執(zhí)行機(jī)構(gòu)自身的重力會(huì)導(dǎo)致外環(huán)控制量較大、增益難以提升的問(wèn)題。對(duì)機(jī)構(gòu)的重力補(bǔ)償控制就成為不得不面對(duì)的問(wèn)題。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的重力補(bǔ)償基于對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行靜力平衡分析[11]，一般有兩種方法：機(jī)構(gòu)配重法和基于動(dòng)力學(xué)分析的驅(qū)動(dòng)法。其中，基于動(dòng)力學(xué)分析的方法更加精確，得到廣泛的研究。例如，余昆等以Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)的手控器為研究對(duì)象，運(yùn)用虛位移原理計(jì)算出機(jī)構(gòu)在任意位置時(shí)的重力補(bǔ)償力矩[12]。還有將并聯(lián)機(jī)構(gòu)與串聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)合的觸覺(jué)設(shè)備為研究對(duì)象，采用虛功原理法建立動(dòng)力學(xué)方程，得到重力矩進(jìn)行補(bǔ)償[13]。然而，現(xiàn)有的研究多是針對(duì)少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)開(kāi)展的，對(duì)于采用直驅(qū)設(shè)計(jì)的多自由度并聯(lián)結(jié)構(gòu)的深入研究十分有限。

本文提出了一種應(yīng)用于人機(jī)交互中動(dòng)作采集的6-PSS (Prismatic joint-Spherical joint-Spherical joint，移動(dòng)副-球面副-球面副) 并聯(lián)機(jī)構(gòu)。該機(jī)構(gòu)采用直線(xiàn)電機(jī)直接驅(qū)動(dòng)，避免了減速機(jī)構(gòu)產(chǎn)生的精度損失。采用牛頓-歐拉法對(duì)每個(gè)構(gòu)件建立動(dòng)力學(xué)方程，進(jìn)而得到整個(gè)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型。進(jìn)一步地，從動(dòng)力學(xué)模型中得到重力模型，并基于重力模型建立重力補(bǔ)償控制器。最后，采用Simulink工具箱對(duì)該機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。采用彈性阻尼模型模擬人機(jī)交互過(guò)程，對(duì)重力補(bǔ)償前后的效果進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

2 6-PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)描述

本文提出的動(dòng)作采集機(jī)構(gòu)如圖1所示。該機(jī)構(gòu)為橫置6-PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)，主要由動(dòng)平臺(tái)1、基座6以及六條支鏈(PSS)組成。每條支鏈包含上球鉸2(S)、連桿3、下球鉸4(S)和移動(dòng)副5(P)。其中，移動(dòng)副為直驅(qū)型直線(xiàn)電機(jī)。

圖1 6-PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)圖

忽略與動(dòng)力學(xué)無(wú)關(guān)的幾何尺寸，由各運(yùn)動(dòng)副中心得到如圖2(a)所示的結(jié)構(gòu)示意圖。沿連桿方向，以連桿質(zhì)心作為原點(diǎn)建立各連桿坐標(biāo)系Si-xsiysizsi。動(dòng)平臺(tái)上運(yùn)動(dòng)副位置分布如圖2(b)所示。其中U1U2U3為等邊三角形，以三角形質(zhì)心為原點(diǎn)建立動(dòng)坐標(biāo)系P-xPyPzP，由圖中尺寸可確定各上球鉸坐標(biāo)Pi。同理，以圖2(c)中等邊三角形A1A2A3的質(zhì)心作為原點(diǎn)建立定坐標(biāo)系O-xyz，由圖中尺寸可確定移動(dòng)副上的下球鉸坐標(biāo)bi。為了避免移動(dòng)副所受重力對(duì)動(dòng)力學(xué)的影響，本文首次設(shè)計(jì)了移動(dòng)副與地面平行的結(jié)構(gòu)。

圖2 機(jī)構(gòu)位置簡(jiǎn)圖

此外，為了保證機(jī)構(gòu)自由度與運(yùn)動(dòng)學(xué)可解，動(dòng)平臺(tái)與基座的參數(shù)設(shè)計(jì)需滿(mǎn)足如式(1)所示條件。

(1)

3 基于牛頓-歐拉法的動(dòng)力學(xué)建模

基于模型的重力補(bǔ)償需要機(jī)構(gòu)的重力模型。而重力模型包含在動(dòng)力學(xué)模型之中，因此本文首先對(duì)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行研究。

牛頓-歐拉法建立動(dòng)力學(xué)模型需要對(duì)動(dòng)平臺(tái)、連桿以及移動(dòng)副分別建立牛頓-歐拉動(dòng)力學(xué)方程，根據(jù)各個(gè)構(gòu)件中力與力矩平衡原則，進(jìn)而得到移動(dòng)副驅(qū)動(dòng)力與動(dòng)平臺(tái)位姿之間的聯(lián)系，即逆動(dòng)力學(xué)方程。由于直驅(qū)機(jī)構(gòu)的重力遠(yuǎn)大于摩擦力，因此在分析時(shí)忽略摩擦的影響。

3.1 動(dòng)平臺(tái)動(dòng)力學(xué)方程

對(duì)于本文提出的橫置機(jī)構(gòu)，重力沿x軸負(fù)方向。動(dòng)平臺(tái)承受自身的重力mPg以及第i個(gè)連桿的約束力FPi和約束力矩MPi，設(shè)動(dòng)平臺(tái)受到外力Fext和外力矩Mext。則動(dòng)平臺(tái)受力如圖3所示。

圖3 動(dòng)平臺(tái)受力圖

基于力與力矩平衡，建立動(dòng)平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)方程為

(2)

(3)

3.2 連桿動(dòng)力學(xué)方程

對(duì)于第i個(gè)連桿，連桿受到上球鉸關(guān)節(jié)的約束力Fpi和約束力矩Mpi、自身的重力mlg以及安裝在移動(dòng)副的下球鉸關(guān)節(jié)的約束力Fbi和約束力矩Mbi。連桿受力圖如圖4所示。

圖4 支鏈?zhǔn)芰D

基于力平衡與力矩平衡，建立連桿動(dòng)力學(xué)方程為

-FPi+mlg+Fbi=mlali

(4)

(5)

3.3 移動(dòng)副動(dòng)力學(xué)方程

移動(dòng)副自身受到下球鉸關(guān)節(jié)的約束力Fbi、自身的重力mbg、基座支撐力FB以及電機(jī)對(duì)其作用力Fi，見(jiàn)圖5。

圖5 移動(dòng)副受力圖

移動(dòng)副自由度受到自身的約束，水平方向以外的合力與合力矩均為零。

則水平方向的移動(dòng)副動(dòng)力學(xué)方程

Fi-Fbi=mbabi

(6)

式中，abi為第i移動(dòng)副移動(dòng)的加速度

3.4 整體機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程

基于文中建立的方程(2)-(6)，在消除各構(gòu)件的內(nèi)力后，可建立動(dòng)平臺(tái)位姿q=[x，y，z，γ，β，α]T與直線(xiàn)電機(jī)驅(qū)動(dòng)力τ=[τ1，τ2，τ3，τ4，τ5，τ6]T之間的動(dòng)力學(xué)關(guān)系為

(7)

慣性力的系數(shù)矩陣為：

(8)

向心力與科氏力的系數(shù)矩陣為：

(9)

重力項(xiàng)矩陣為：

(10)

完整的動(dòng)力學(xué)模型可用于6-PSS機(jī)構(gòu)的控制方法研究。若僅針對(duì)重力補(bǔ)償問(wèn)題，式(10)即為目標(biāo)重力模型。

4 重力補(bǔ)償

通過(guò)逆動(dòng)力學(xué)方程(7)，當(dāng)機(jī)構(gòu)只受到重力時(shí)，保持機(jī)構(gòu)平衡所需的直線(xiàn)電機(jī)驅(qū)動(dòng)力為

(11)

由此，對(duì)移動(dòng)副設(shè)計(jì)重力補(bǔ)償控制器為

(12)

式中，ug=[ug1，ug2，ug3，ug4，ug5，ug6]T，重力補(bǔ)償控制器作用于第i個(gè)直線(xiàn)電機(jī)的控制量為ugi。對(duì)每個(gè)直線(xiàn)電機(jī)設(shè)計(jì)控制結(jié)構(gòu)如圖6所示。

圖6 有重力補(bǔ)償控制結(jié)構(gòu)

得到重力補(bǔ)償后的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型為

(13)

當(dāng)動(dòng)力學(xué)模型準(zhǔn)確時(shí)，存在重力估計(jì)值

(14)

理想補(bǔ)償后的動(dòng)力學(xué)模型變?yōu)?/p>

(15)

因此，在機(jī)構(gòu)操作與控制器設(shè)計(jì)中，可近似忽略機(jī)構(gòu)橫置條件下重力的影響。

5 仿真驗(yàn)證

5.1 動(dòng)力學(xué)模型驗(yàn)證

為了驗(yàn)證機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)，特別是重力模型的正確性，采用Matlab與Simulink對(duì)動(dòng)力學(xué)進(jìn)行驗(yàn)證。在Simulink/SimMechanics工具箱中可以搭建受重力影響的三維機(jī)構(gòu)模型。當(dāng)給定動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)軌跡時(shí)，通過(guò)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型可以得到移動(dòng)副所需的位移。當(dāng)移動(dòng)副模塊工作在位置輸入、力輸出模式下，可解算出移動(dòng)副到達(dá)指定位置時(shí)的驅(qū)動(dòng)力。采用上文建立的動(dòng)力學(xué)方程，同樣可以計(jì)算驅(qū)動(dòng)力。通過(guò)對(duì)比模型結(jié)果與SimMechanics計(jì)算結(jié)果，即可驗(yàn)證動(dòng)力學(xué)方程的正確性。圖7為動(dòng)力學(xué)仿真結(jié)構(gòu)的基本流程圖。

圖7 動(dòng)力學(xué)仿真結(jié)構(gòu)

仿真系統(tǒng)中的參數(shù)設(shè)置如表1所示。動(dòng)平臺(tái)中心運(yùn)動(dòng)軌跡如式(16)所示。

(16)

表1 機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)

為了量化評(píng)價(jià)模型誤差，本文采用相對(duì)誤差作為動(dòng)力學(xué)模型誤差評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。相對(duì)誤差Ei計(jì)算如式(17)所示。動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，六個(gè)驅(qū)動(dòng)電機(jī)的相對(duì)誤差曲線(xiàn)如圖8所示。

(17)

圖8 各驅(qū)動(dòng)電機(jī)輸出力相對(duì)誤差

仿真結(jié)果表明，動(dòng)力學(xué)方程求解結(jié)果與仿真結(jié)果十分接近，最大相對(duì)誤差約為3.55%?？紤]到模型搭建誤差、微分方程解算精度等因素的影響，可認(rèn)為誤差處于容許范圍內(nèi)?；谂ｎD-歐拉法的6-PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型準(zhǔn)確有效。動(dòng)力學(xué)中包含的重力模型準(zhǔn)確有效。

5.2 重力補(bǔ)償驗(yàn)證

重力補(bǔ)償仿真同樣在Simulink環(huán)境中完成。為了模擬人的操作力，將操作者模型簡(jiǎn)化為如圖9所示的彈性阻尼模型。

圖9 彈簧阻尼模型

在第i個(gè)自由度上，由人手操作位姿qh與動(dòng)平臺(tái)實(shí)際位姿q可以得到人手的操作力為

(18)

式中，Ki為第i個(gè)自由度的彈性系數(shù)，Di為阻尼系數(shù)，i=x，y，z，α，β，λ。基于操作者模型，可建立如圖10所示的控制系統(tǒng)。

圖10 有重力補(bǔ)償控制系統(tǒng)

采用動(dòng)平臺(tái)位姿作為反饋量，在六個(gè)自由度分別采用式(18)計(jì)算人手控制力與控制力矩。由上文仿真結(jié)果可知，動(dòng)力學(xué)模型正確?；趧?dòng)力學(xué)將操作力轉(zhuǎn)換為六個(gè)移動(dòng)副所受到的外力。設(shè)置移動(dòng)副模塊工作在力輸入、位置輸出模式下，可由Simulink得到動(dòng)平臺(tái)位姿響應(yīng)。當(dāng)仿真程序運(yùn)行到穩(wěn)態(tài)時(shí)，機(jī)構(gòu)姿態(tài)q處于操作位姿qh。此時(shí)的操作力為克服重力所需的操作力。

仿真選用動(dòng)平臺(tái)初始零位作為參考位姿輸入。操作者模型參數(shù)如表2所示。分別對(duì)無(wú)重力補(bǔ)償和有重力補(bǔ)償?shù)那闆r進(jìn)行仿真計(jì)算，得到使動(dòng)平臺(tái)靜止的操作力和力矩如圖11所示。

表2 操作者模型參數(shù)

圖11 仿真得到的輸出力與力矩圖

由仿真結(jié)果可知：當(dāng)動(dòng)平臺(tái)靜止時(shí)，在無(wú)重力補(bǔ)償?shù)那闆r下，操作者需要在x方向施加2N的作用力；而在有重力補(bǔ)償?shù)那闆r下，操作力為1.148×10-8N。經(jīng)過(guò)重力補(bǔ)償后操作力大幅降低，重力補(bǔ)償有效。

6 結(jié)論

本文面向人機(jī)交互設(shè)計(jì)了一種新型6-PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)?；谂ｎD-歐拉法對(duì)該機(jī)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，首次建立了橫置系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型。進(jìn)一步地，設(shè)計(jì)了基于動(dòng)力學(xué)模型的重力補(bǔ)償控制器。仿真驗(yàn)證了所建立的動(dòng)力學(xué)模型的正確性以及增加重力補(bǔ)償?shù)挠行?。為?shí)現(xiàn)高動(dòng)態(tài)靈活人機(jī)交互奠定了重要的基礎(chǔ)。