王玉虎，張 楠

(1. 晉中信息學(xué)院食品與環(huán)境學(xué)院，山西 晉中 030800；2. 山西大同大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，山西 大同 037003)

1 引言

隨著人類對(duì)自然環(huán)境的改造和破壞，景觀破碎化進(jìn)程逐漸加快，程度加深，恢復(fù)破碎化景觀成為當(dāng)前環(huán)境保護(hù)的重要方向[1，2]。景觀破碎化導(dǎo)致種群空間隔離，進(jìn)而造成原始種群分裂成局域種群，演變出相互連接的異質(zhì)種群生存方式。因此，研究異質(zhì)種群動(dòng)態(tài)也是研究破碎化景觀動(dòng)態(tài)。

在研究景觀空間時(shí)，張金茜使用GeoDA軟件工具進(jìn)行景觀破碎化研究[3]，但該方法的功能較少，不能批量導(dǎo)入數(shù)據(jù)，效率較低。魏莉莉曾提出使用遙感技術(shù)進(jìn)行景觀破碎化研究[4]，遙感技術(shù)動(dòng)態(tài)監(jiān)測(cè)能力較差，受影響因素多。除此之外，還有學(xué)者使用一階泰勒級(jí)數(shù)展開進(jìn)行近似求解關(guān)系式，但一階構(gòu)造精確度較低。因此本文選擇空間現(xiàn)實(shí)異質(zhì)種群模型的處理方式，建立基于二階泰勒級(jí)數(shù)展開優(yōu)化的景觀異質(zhì)種群空間重構(gòu)模型，通過該模型研究破碎化景觀動(dòng)態(tài)，為宏觀調(diào)控破碎化景觀，維持生態(tài)平衡提供科學(xué)依據(jù)。

2 景觀異質(zhì)種群空間重構(gòu)模型

2.1 空間現(xiàn)實(shí)異質(zhì)種群模型

空間現(xiàn)實(shí)異質(zhì)種群模型作為異質(zhì)種群模型進(jìn)化的第三階段，其具有多樣空間特征，比如局域種群的空間位置和面積等，還含有破碎化景觀的幾何特征及其中異質(zhì)種群的全部信息，擁有的信息能夠直接模擬真實(shí)景觀，其中關(guān)聯(lián)函數(shù)模型較為典型。關(guān)聯(lián)函數(shù)模型通常使用一階線性馬爾可夫模型，該模型以單個(gè)生境斑塊為基礎(chǔ)，是離散時(shí)間的隨機(jī)模型[5，6]。

破碎化景觀的結(jié)構(gòu)為斑塊化網(wǎng)絡(luò)，斑塊的性質(zhì)特征決定了景觀和種群動(dòng)態(tài)。生境斑塊存在定居和未定居兩種狀態(tài)，通過定居概率和滅絕概率可以確定這兩種狀態(tài)間的轉(zhuǎn)化，并且相互獨(dú)立[7]。令一個(gè)斑塊為i，用Ci描述定居概率，Wi描述滅絕概率，因此有式(1)

(1)

其中，Ji為單位時(shí)間斑塊i被占據(jù)的靜態(tài)概率，表示斑塊i和物種間的關(guān)聯(lián)。

Wi的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(2)

其中，Ai表示i的面積，當(dāng)Ai≤e1/x時(shí)，i的滅絕概率為100%，這時(shí)Ai最小，等于A0；e、x為相關(guān)參數(shù)。

引入一個(gè)概念——遷入種群i的個(gè)體總數(shù)Mi，表達(dá)式見式(3)

(3)

其中，Si描述斑塊i的連接度；Pi描述斑塊格局，它的值取為0或1，在空白斑塊取0，被占領(lǐng)斑塊取1；dij描述斑塊i到斑塊j的距離；α、β、b是相關(guān)參數(shù)。由此確定定居概率的表達(dá)式

(4)

其中，y′=y/β，y為相關(guān)參數(shù)。由此式(1)可以擴(kuò)展為

(5)

模型參數(shù)估計(jì)通過極大似然值θ進(jìn)行，具體表達(dá)式見式(6)

(6)

當(dāng)假定異質(zhì)種群與隨機(jī)穩(wěn)定假設(shè)相近，Pi可通過極大似然函數(shù)直接用于建模，使建模效率大幅提升。模型的參數(shù)估計(jì)是關(guān)鍵問題?？梢杂煞蔷€性極大似然回歸得到上文中的相關(guān)參數(shù)，此方法能夠提高參數(shù)的準(zhǔn)確性，其中，α、β、b、A0可以通過觀察數(shù)據(jù)確定，但存在一定誤差，因?yàn)樗鼈兒捅谎芯课锓N的生物學(xué)特性相關(guān)，以上定義的特性可能會(huì)造成實(shí)際應(yīng)用中的麻煩，比如定居概率的恒定性和生境斑塊的獨(dú)立性，以及局域種群的平衡條件和觀測(cè)數(shù)據(jù)的質(zhì)量等都對(duì)參數(shù)估計(jì)有一定影響，因此通過二階泰勒級(jí)數(shù)展開完成這4項(xiàng)參數(shù)的優(yōu)化，以應(yīng)對(duì)這些可能出現(xiàn)的特性，提高參數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確性和可操作性。

景觀連接度是景觀破碎化研究的重點(diǎn)，它不僅能反映出景觀破碎化的趨勢(shì)，還能反映其程度。連接度Si能夠在一定條件下描述破碎化景觀動(dòng)態(tài)，機(jī)制和破碎化景觀動(dòng)態(tài)格局的關(guān)系也可以根據(jù)模型預(yù)測(cè)結(jié)果呈現(xiàn)在Si上。由于比格局分析法幾何學(xué)角度反映的景觀破碎化機(jī)制更真實(shí)，因此關(guān)聯(lián)函數(shù)模型得到廣泛應(yīng)用。

2.2 二階泰勒級(jí)數(shù)展開優(yōu)化算法

2.2.1 二階泰勒級(jí)數(shù)展開

為了使計(jì)算變得更加簡(jiǎn)潔，通常使用簡(jiǎn)單的函數(shù)關(guān)系近似表達(dá)一些復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系，利用泰勒級(jí)數(shù)展開的多項(xiàng)式函數(shù)表達(dá)最為常見[8，9]。已知函數(shù)的某一點(diǎn)，這一點(diǎn)鄰域內(nèi)的函數(shù)關(guān)系可以通過一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)近似表達(dá)，而這個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)由泰勒級(jí)數(shù)展開這一點(diǎn)的每階導(dǎo)數(shù)構(gòu)成。

假設(shè)函數(shù)z=z(x)在x0的鄰域內(nèi)連續(xù)，且有(n+1)階導(dǎo)數(shù)，由泰勒中值定理有

(7)

其中，h=x-x0；ξ表示在x0到x區(qū)間內(nèi)的某個(gè)值。

同理對(duì)n元函數(shù)z=z(x1，x2，…，xn)在點(diǎn)(x10，x20，…，xn0)某鄰域內(nèi)進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開，得到式(8)

z(x1，x2，…，xn)=z(X0)+h1z′x1(X0)+h2z′x2(X0)

(8)

其中，X0=(x10，x20，…，xn0)；hi=xi-xi0。

隱函數(shù)不能直接進(jìn)行求導(dǎo)，而建模參數(shù)和模型響應(yīng)間恰好為這種關(guān)系，因此利用差分法求得隱函數(shù)的近似導(dǎo)數(shù)，解決這個(gè)難題。

擾動(dòng)其中一個(gè)建模參數(shù)，使用關(guān)聯(lián)函數(shù)分析軟件計(jì)算出其相應(yīng)的響應(yīng)計(jì)算值，利用該值變化量與該建模參數(shù)的擾動(dòng)量相除得到的結(jié)果為一階偏導(dǎo)數(shù)，此一階偏導(dǎo)數(shù)為一個(gè)近似導(dǎo)數(shù)，數(shù)學(xué)式見式(9)

(9)

其中，z′xi(X0)為與建模參數(shù)X0關(guān)聯(lián)的模式響應(yīng)函數(shù)，xi為建模參數(shù)，Δxi為xi的擾動(dòng)量。

然后繼續(xù)擾動(dòng)xi，再得到一個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)，該一階偏導(dǎo)數(shù)的變化量和Δxi的比值則為二階偏導(dǎo)數(shù)，模式響應(yīng)關(guān)于xi的二階偏導(dǎo)數(shù)為一個(gè)近似導(dǎo)數(shù)，具體數(shù)學(xué)式見式(10)

(10)

2.2.2 空間現(xiàn)實(shí)異質(zhì)種群模型參數(shù)優(yōu)化

令Uj，c為響應(yīng)計(jì)算值，Ei為優(yōu)化參數(shù)，它們之間的關(guān)系式為Uj，c=U1jEi，該關(guān)系式是一個(gè)近似函數(shù)，通過一階泰勒級(jí)數(shù)展開求得。構(gòu)造一個(gè)目標(biāo)函數(shù)H

(11)

其中，Uj，t為模式響應(yīng)的試驗(yàn)值。

向前1%擾動(dòng)第i個(gè)優(yōu)化參數(shù)初始值Ei0得到1.01Ei0，用fj，c和ur，c描述響應(yīng)計(jì)算值，通過在優(yōu)化模型中代入1.01Ei0得到fj，c(E10，…，1.01Ei0，E40)和ur，c(E10，…，1.01Ei0，E40)，在式(9)中代入1.01Ei0對(duì)應(yīng)的模型響應(yīng)計(jì)算值和Ei0對(duì)應(yīng)的模型響應(yīng)計(jì)算值fj，c(E0)和ur，c(E0)求出一階偏導(dǎo)，即為頻率初始計(jì)算值和位移初始計(jì)算值對(duì)優(yōu)化參數(shù)的一階泰勒級(jí)數(shù)展開。

通過一階泰勒級(jí)數(shù)展開進(jìn)行響應(yīng)計(jì)算，構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，對(duì)其進(jìn)行最小化處理，得到優(yōu)化參數(shù)值。目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式見式(12)：

(12)

3 實(shí)驗(yàn)

將某地景觀用作研究區(qū)域，研究二階優(yōu)化的效果和景觀異質(zhì)種群空間重構(gòu)模型觀測(cè)與預(yù)測(cè)的破碎化程度，觀察人類活動(dòng)對(duì)景觀變化的影響，驗(yàn)證本文模型的應(yīng)用性。

3.1 二階優(yōu)化

為了驗(yàn)證二階優(yōu)化的效果，對(duì)最小化目標(biāo)函數(shù)得到的優(yōu)化參數(shù)誤差進(jìn)行分析，將實(shí)驗(yàn)得到的誤差值制成圖1。

圖1 泰勒級(jí)數(shù)展開優(yōu)化參數(shù)誤差

由圖1可知，二階泰勒級(jí)數(shù)展開優(yōu)化后的參數(shù)誤差與一階相比大幅降低且更穩(wěn)定，優(yōu)化后最大誤差為2.86%，低于3%。

將一階和二階泰勒級(jí)數(shù)展開優(yōu)化結(jié)果制成表1，對(duì)優(yōu)化后及優(yōu)化前的響應(yīng)計(jì)算值進(jìn)行誤差分析。

表1 泰勒級(jí)數(shù)展開優(yōu)化響應(yīng)計(jì)算值誤差

由表1可知，一階和二階優(yōu)化后的響應(yīng)計(jì)算值誤差和優(yōu)化前相比均有大幅降低。一階優(yōu)化后的響應(yīng)誤差在1%左右，而二階優(yōu)化后的誤差不超過0.2%。綜上可知經(jīng)二階優(yōu)化后的模型比一階效果更好，更符合實(shí)際情況。由于二階優(yōu)化的計(jì)算量較大，泰勒級(jí)數(shù)展開階數(shù)可根據(jù)實(shí)際進(jìn)行調(diào)整，減少計(jì)算量。

3.2 景觀破碎化分析

根據(jù)景觀類型把該地景觀分成六類：1.耕地；2.林地；3.草地；4.水域；5.建筑用地；6.未開發(fā)地。研究范圍共18276km2。使用斑塊密度指數(shù)(PD)來衡量景觀破碎化程度，值越高表示破碎化程度越高。將2010年、2015年、2020年該地各類景觀異質(zhì)種群斑塊密度指數(shù)制成圖2。

圖2 景觀斑塊密度指數(shù)

根據(jù)圖2可以看出，不同景觀類型密度變化有所差異，但建筑用地密度指數(shù)始終最高。耕地斑塊密度在前五年有所上升，后五年下降，而林地和草地密度在前五年下降后均有上升，這是由于隨著我國(guó)退耕還林還草政策的開展與實(shí)施，增加了林地與草地的面積。但耕地分布較為集中，破碎化程度低，林地與草地由于人類活動(dòng)的影響導(dǎo)致破碎化程度較高。

將三個(gè)時(shí)間點(diǎn)的景觀異質(zhì)種群斑塊數(shù)量破碎化指數(shù)(FN)制成圖3。其中FN∈(0，1)，當(dāng)景觀未被破壞時(shí)FN值為0，當(dāng)景觀被完全破壞時(shí)FN值為1。

圖3 景觀斑塊數(shù)量破碎化指數(shù)

從圖3中可以看出，2010年到2015年，除了6號(hào)景觀，其它景觀數(shù)量破碎化指數(shù)均有所下降；該地十年間景觀破碎化程度呈整體降低趨勢(shì)。其中，2號(hào)景觀是景觀數(shù)量破碎化指數(shù)最大的景觀類型，其次是6號(hào)和3號(hào)，而1號(hào)景觀的數(shù)量破碎化指數(shù)最小。主要原因?yàn)槿祟惢顒?dòng)對(duì)景觀的影響，隨著人類活動(dòng)的增加，生活區(qū)域不斷發(fā)展，耕地和建筑用地平均斑塊面積也逐漸增大，且圍繞人類生活區(qū)域分布均勻，破碎化程度逐漸降低。

將三個(gè)時(shí)間點(diǎn)的景觀異質(zhì)種群分離度指數(shù)(N)制成圖4，當(dāng)N值越大，斑塊離散程度越大。

圖4 景觀分離度指數(shù)

從圖4可看出2010年到2020年這十年間景觀分離度指數(shù)的變化，建筑用地的景觀分離度指數(shù)始終最高。景觀分離度指數(shù)也與人類活動(dòng)有密切關(guān)聯(lián)，早年間建筑用地和水域景觀分離度指數(shù)較高，這是由于發(fā)展初期建筑用地離散程度較大，人類活動(dòng)強(qiáng)度較小。隨著社會(huì)發(fā)展建筑用地面積顯著提高，但由于其它景觀類型的限制，如耕地的位置，退耕還林還草面積的上升，可開發(fā)的景觀數(shù)量逐漸減少，只能在原有建筑用地基礎(chǔ)上進(jìn)行擴(kuò)充，建筑用地離散程度隨之降低。綜上景觀異質(zhì)種群分離度指數(shù)隨著人類活動(dòng)強(qiáng)度增加而減小，即分離度也減小。

4 結(jié)論

本文設(shè)計(jì)的基于二階優(yōu)化的景觀異質(zhì)種群空間重構(gòu)模型能夠準(zhǔn)確體現(xiàn)局部地區(qū)的景觀破碎化程度，為景觀建設(shè)提供有效參考。

1)通過二階泰勒級(jí)數(shù)展開對(duì)景觀異質(zhì)種群空間重構(gòu)模型進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化后的參數(shù)誤差和響應(yīng)計(jì)算值誤差均有大幅降低，一階優(yōu)化后最大誤差值分別為2.86%和1.62%，而二階優(yōu)化后最大誤差值分別小于1%和0.2%，說明二階泰勒級(jí)數(shù)展開的優(yōu)化效果更好。

2)自然條件和人類活動(dòng)共同影響景觀破碎化程度，人類活動(dòng)區(qū)域的發(fā)展和景觀破碎化息息相關(guān)，相互制約。本文對(duì)某地景觀2010年起五年為一個(gè)步長(zhǎng)到2020年選取了景觀異質(zhì)種群斑塊密度指數(shù)、景觀異質(zhì)種群斑塊數(shù)量破碎化指數(shù)和景觀異質(zhì)種群分離度指數(shù)三個(gè)指標(biāo)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析。2020年該地建筑用地景觀密度指數(shù)和分離度指數(shù)均比之前降低，而景觀數(shù)量破碎化指數(shù)有所上升，整體景觀破碎化逐年降低。主要原因?yàn)槿祟惢顒?dòng)影響其它景觀類型的連續(xù)性，早期景觀離散度增加，但隨著生態(tài)建設(shè)意識(shí)和水平的不斷提高，景觀破碎化程度逐漸降低，體現(xiàn)出各項(xiàng)環(huán)保政策的正確性。