陳思成，陳淑仙，安斯奇

(中國民用航空飛行學(xué)院，四川 廣漢 618307)

1 引言

航空動力裝置的控制系統(tǒng)是一種復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，工程中通常采用多變量控制方法進(jìn)行控制，隨著被控參數(shù)和控制回路的增多，各變量和回路間的耦合作用會越發(fā)明顯，這將導(dǎo)致控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)性能變差，其中在控制系統(tǒng)中采用解耦方法是避免上述不足的有效途徑[1，2，3]。傳統(tǒng)解耦的方法依賴于解耦補(bǔ)償器與被控對象組成的廣義系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣為對角陣，從而實(shí)現(xiàn)將一個耦合影響的多變量系統(tǒng)化為無耦合的單變量系統(tǒng)[4]。但在實(shí)際的工業(yè)生產(chǎn)中有很多被控對象的模型都是非線性、參數(shù)未知且復(fù)雜的MIMO系統(tǒng)，對于航空動力裝置這樣的多變量控制系統(tǒng)更是如此，由于其工況點(diǎn)的變化，則傳統(tǒng)的解耦方法是不能滿足實(shí)際的控制要求的。所以之后又提出了自適應(yīng)解耦控制方法，文獻(xiàn)[5]和[6]提出的在線辨識的自適應(yīng)解耦控制方法具有良好的適應(yīng)性、跟蹤性及解耦能力。文獻(xiàn)[7-9]針對一類非線性的多變量系統(tǒng)以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的在線解耦，該方法使得多變量耦合系統(tǒng)從靜態(tài)解耦轉(zhuǎn)為了動態(tài)解耦，對耦合系統(tǒng)具有更好的適應(yīng)性。

為了簡化非線性系統(tǒng)的解耦算法，本文提出一種基于機(jī)載(Linear Parameter Varying)LPV模型和結(jié)合傳統(tǒng)解耦結(jié)構(gòu)的在線解耦控制方法，該方法可根據(jù)實(shí)時的輸入求解出動力裝置對應(yīng)狀態(tài)下線性模型的系數(shù)矩陣，還可結(jié)合相對增益判據(jù)去判斷該狀態(tài)下系統(tǒng)的耦合程度，如果耦合程度滿足判據(jù)則以前饋補(bǔ)償解耦法在線生成解耦補(bǔ)償對動力裝置進(jìn)行解耦，最終以PID控制器實(shí)現(xiàn)被控系統(tǒng)的在線解耦控制。以兩輸入兩輸出且具有強(qiáng)耦合特性的電力驅(qū)動變距螺旋槳動力裝置為實(shí)例，驗(yàn)證本文所提解耦方法的有效性。

2 航空動力裝置的耦合性描述

(1)

式中：α為耦合因子矩陣，其中αij=1(i=j)，v為多個輸入量相互疊加后形成的新的輸入向量。

從式(1)中可看出輸入變量增多和耦合因子過大會都會使得變量間的耦合作用變強(qiáng)，導(dǎo)致輸出量發(fā)生偏離，嚴(yán)重時將會使系統(tǒng)的控制品質(zhì)變差。所以對于航空動力裝置而言，在確定好控制變量后，需采取解耦方法去減弱和抵消系統(tǒng)內(nèi)的耦合因素，使得系統(tǒng)的控制品質(zhì)得到改善。當(dāng)然最理想的情況是通過解耦后使得α=diag(1，1…，1)，系統(tǒng)將化為每個控制回路獨(dú)立的MIMO控制系統(tǒng)。

3 航空動力裝置的在線解耦

3.1 模型建立

對于一個航空動力裝置的多變量的非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可描述為式(2)

(2)

式中：u為n維的輸入向量，x為m維狀態(tài)向量，y為n維的輸出向量，f(x，u)和g(x，u)分別為m維狀態(tài)x和n維輸入u的非線性向量函數(shù)。

由于前置補(bǔ)償解耦采用的是線性模型，則需要對上述的非線性模型進(jìn)行線性化，即穩(wěn)態(tài)點(diǎn)附近對其進(jìn)行一階泰勒展開[10]，再歸一化處理得式(3)

(3)

LPV模型是非線性模型的線性表達(dá)，能夠反映整個包線內(nèi)各工況點(diǎn)的情況。首先，LPV模型的建立需確立的是調(diào)度變量，且對于動力裝置而言，調(diào)度變量需和動力裝置的狀態(tài)有關(guān)，也可將動力裝置的狀態(tài)作為調(diào)度變量。之后將調(diào)度變量進(jìn)行等值點(diǎn)劃分，通過辨識可求得所對應(yīng)的多個穩(wěn)態(tài)點(diǎn)附近的狀態(tài)空間方程，根據(jù)對應(yīng)狀態(tài)下的調(diào)度變量可將系數(shù)矩陣A、B、C、D進(jìn)行多項(xiàng)式擬合得到變參數(shù)矩陣，以此可得到航空動力裝置非線性模型所對應(yīng)的LPV模型，如式(5)

(4)

式中：A(ρ)、B(ρ)、C(ρ)、D(ρ)是與調(diào)度參數(shù)ρ相關(guān)的變參數(shù)矩陣。

3.2 耦合程度判斷

對于多輸入多輸出的耦合系統(tǒng)，變量之間存在著耦合作用使得變量間產(chǎn)生了關(guān)聯(lián)，在進(jìn)行解耦之前需根據(jù)求解出系統(tǒng)傳遞函數(shù)以相對增益(Relative Gain Array,RGA)方法來對該系統(tǒng)的耦合程度進(jìn)行評估[11-14]。根據(jù)穩(wěn)態(tài)點(diǎn)附近所得到的系數(shù)矩陣A、B、C、D以系統(tǒng)傳遞函數(shù)式(5)可得解耦對象的系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣。

G(s)=C(sI-A)-1B+D

(5)

式中：G(s)=(gij(s))∈Rn×n為解耦對象的傳遞函數(shù)矩陣，A、B、C、D為系數(shù)矩陣。

下面使用傳遞函數(shù)法來求解相對增益矩陣，則定義式(6)為此時系統(tǒng)的相對增益矩陣。

Λ=G(0)?(G(0)-1)T

(6)

式中：Λ=(λij)∈Rn×n，“?”表示矩陣的元素與元素相乘(即Hadamard乘積)。

由RGA方法可知，系統(tǒng)中相對增益矩陣Λ的每一個元素λij滿足條件0.3，<λij<0.7時，表明關(guān)聯(lián)嚴(yán)重，存在嚴(yán)重耦合，需要對該系統(tǒng)進(jìn)行解耦[15，16]。

3.3 在線前饋補(bǔ)償解耦

本文所提出的在線前饋補(bǔ)償解耦是在傳統(tǒng)的解耦方法的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)的。傳統(tǒng)的解耦結(jié)構(gòu)如圖1所示，如果解耦器起到作用，最理想的情況是將系統(tǒng)解耦后系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣GD(s)中的非主對角元素變?yōu)榱?，如?7)，最后根據(jù)不變性原理[5]求解K(s)。

GD(s)=G(s)K(s)=diag(w11(s)，w22(s)，…，wnn(s))

(7)

式中：K(s)=(kij(s))∈Rn×n為解耦矩陣，且當(dāng)i=j時，kij(s)=1。

但對于圖1所示的傳統(tǒng)解耦結(jié)構(gòu)是無法實(shí)時解算系數(shù)矩陣A、B、C、D的，因此不能得到實(shí)時的前饋補(bǔ)償，只能離線辨識系數(shù)矩陣A、B、C、D再求解出相應(yīng)的前饋解耦補(bǔ)償加入到解耦結(jié)構(gòu)，這種傳統(tǒng)的解耦結(jié)構(gòu)應(yīng)用在航空動力裝置是受限的，無法適應(yīng)航空動力裝置復(fù)雜的工況點(diǎn)變化過程。

圖1 傳統(tǒng)解耦結(jié)構(gòu)框圖

本文所采用的在線前饋補(bǔ)償?shù)慕怦罱Y(jié)構(gòu)，如圖2所示，在航空動力裝置進(jìn)行多對回路系統(tǒng)控制時，以簡單的傳統(tǒng)解耦結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，加入的機(jī)載LPV模型根據(jù)系統(tǒng)實(shí)時的輸入和狀態(tài)可實(shí)時解算出系統(tǒng)的系數(shù)矩陣A、B、C、D以此得到解耦對象傳遞函數(shù)，利用RGA方法對耦合系統(tǒng)的耦合程度進(jìn)行在線判斷后，對于耦合嚴(yán)重的將使用在線求解的前饋解耦補(bǔ)償器，以解耦網(wǎng)絡(luò)去減弱或消除各回路間的關(guān)聯(lián)性達(dá)到解耦的目的。如不滿足解耦條件，系統(tǒng)的前饋補(bǔ)償結(jié)構(gòu)將會失效，則系統(tǒng)將無需進(jìn)行解耦。對于航空動力裝置，該解耦結(jié)構(gòu)能夠適應(yīng)其復(fù)雜的工況。

圖2 在線前饋解耦結(jié)構(gòu)框圖

4 實(shí)例驗(yàn)證

以一個兩輸入兩輸出的電力驅(qū)動的變距螺旋槳的動力裝置(Variable Pitch Electric Power Plant，VPEPP)為被控對象，該動力裝置可用于四旋翼無人機(jī)完成機(jī)動飛行[17]和農(nóng)業(yè)植保，也可作為長航時飛行器的動力裝置，能有效提高其飛行效率。對于這樣一種存在耦合多輸入多輸出的動力裝置，為了提高控制品質(zhì)，將采用上述基于機(jī)載LPV模型的在線解耦方法和PID控制器對其進(jìn)行在線解耦控制，結(jié)構(gòu)框圖如圖3所示。

圖3 VPEPP的在線解耦框圖

在圖3中，若以占空比主控軸功率，以槳葉角主控拉力，根據(jù)電力驅(qū)動的變距螺旋槳動力裝置的非線性數(shù)學(xué)模型式(8)可以看出，輸出量軸功率和拉力都和轉(zhuǎn)速有關(guān)，這使得無論是軸功率或者是拉力發(fā)生變化都會影響到轉(zhuǎn)速，從而產(chǎn)生相互干擾的耦合作用，本文將以式(8)作為動力裝置以仿真來驗(yàn)證解耦效果。

(8)

式中：兩輸入量分別是占空比δ和槳葉角β，兩輸出量分別為軸功率Ns和拉力Lf，角速度ω為狀態(tài)量。

首先，對于圖3的在線解耦控制應(yīng)獲得式(8)的機(jī)載LPV模型。在穩(wěn)態(tài)點(diǎn)附近進(jìn)行小偏差線性化可得到該系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程，如式(9)。

(9)

式中：a、b1、b2、c1、c2、d11、d22是局部線性模型的系數(shù)。

之后，根據(jù)10組穩(wěn)態(tài)點(diǎn)附近所得到的局部線性模型的系數(shù)，以狀態(tài)量轉(zhuǎn)速ω作為調(diào)度變量，對系數(shù)矩陣進(jìn)行擬合可得到電力驅(qū)動的變距螺旋槳動力裝置的LPV模型的變參數(shù)矩陣，如圖4所示，以此可得LPV模型，如式(10)。

圖4 LPV模型系統(tǒng)矩陣的擬合

(10)

以MATLAB/Simulink建立LPV的仿真模型，仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5 LPV的仿真結(jié)果

在圖3中，根據(jù)所得的LPV模型可得到與動力裝置相同輸入和對應(yīng)工況下的各系統(tǒng)矩陣的參數(shù)值：a、b1、b2、c1、c2、d11、d22，之后以式(6)可得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣，如式(11)。

(11)

以式(6)計(jì)算得式(12)，根據(jù)相對增益判據(jù)來判斷這一兩輸入兩輸出系統(tǒng)的耦合程度。

(12)

如式(12)滿足RGA判據(jù)則需進(jìn)行解耦，可根據(jù)式(7)以不變性原理使得GD(s)的非主對角元素為零，可求解前饋補(bǔ)償解耦的傳遞函數(shù)，如式(13)，求解結(jié)果為式(14)。

(13)

(14)

最后根據(jù)以上過程在MATLAB/Simulink上搭建電力驅(qū)動的變距螺旋槳動力裝置的在線解耦控制系統(tǒng)的模型，并進(jìn)行仿真驗(yàn)證，如圖6所示。

圖6 VPEPP 在線解耦控制系統(tǒng)的仿真模型(軸功率—拉力雙回路控制)

為了保證控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，對以上PID控制器的參數(shù)進(jìn)行離線整定，之后以電力驅(qū)動的變距螺旋槳動力裝置的三個工況來進(jìn)行仿真驗(yàn)證。在工況1下，根據(jù)變距電動力裝置的LPV模型可求出其線性模型中A、B、C、D的各系數(shù)矩陣的參數(shù)，如圖7所示。

圖7 矩陣參數(shù)在線解算結(jié)果

將各矩陣參數(shù)代入系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣，之后可解算出耦合系統(tǒng)的相對增益，如圖8所示。在圖8中該耦合系統(tǒng)的相對增益λ11、λ12、λ21、λ22均在0.3～0.7之間，滿足相對增益判據(jù)，說明在工況1條件下，此系統(tǒng)是一個強(qiáng)耦合系統(tǒng)，則需進(jìn)行解耦。此時根據(jù)辨識出的各矩陣參數(shù)以前饋解耦法解算出系統(tǒng)解耦的前饋補(bǔ)償傳遞函數(shù)k12(s)和k21(s)進(jìn)行解耦，解耦效果如圖9所示。其余的兩個工況點(diǎn)按以上仿真過程，解耦效果如圖10和圖11所示。

圖8 工況1解耦過程的相對增益

圖9 工況1解耦效果

圖10 工況2解耦效果

圖11 工況3解耦效果

從圖9，10，11中(a)的情況是輸入的軸功率Ns不變時，輸入的拉力Lf產(chǎn)生階躍，由于回路間的耦合干擾作用使得軸功率的輸出端產(chǎn)生了突躍偏離了給定值；圖9，10，11中(b)的情況是輸入的拉力Lf不變時，輸入的Ns產(chǎn)生階躍，由于回路間的耦合干擾作用使得拉力的輸出端產(chǎn)生了突躍偏離了給定值。從圖9，10，11中可看出使用在線解耦方法比傳統(tǒng)解耦的突躍程度要小，改善了解耦效果。

如果將上述雙回路控制其中的拉力Lf控制回路改為轉(zhuǎn)速ω控制回路，則變成軸功率-轉(zhuǎn)速雙回路控制，則相應(yīng)的LPV模型變?yōu)槭?15)

(15)

根據(jù)該模型的特性發(fā)現(xiàn)軸功率回路的響應(yīng)比轉(zhuǎn)速控制回路快，則可以考慮對該雙回路控制系統(tǒng)進(jìn)行部分解耦。因?yàn)閷τ趦蓚€響應(yīng)速度不一樣的控制通道而言，響應(yīng)快的被控參數(shù)受響應(yīng)慢的參數(shù)通道的影響小可以不考慮耦合作用；而響應(yīng)慢的被控參數(shù)受響應(yīng)快的參數(shù)通道耦合影響大，需要對響應(yīng)慢的參數(shù)通道進(jìn)行解耦[18]，所以對于軸功率-轉(zhuǎn)速控制回路而言應(yīng)對轉(zhuǎn)速控制回路進(jìn)行部分解耦。以圖3的在線解耦方法進(jìn)行對轉(zhuǎn)速控制回路的解耦，在Simulink中構(gòu)建仿真模型如圖12所示。在仿真中對軸功率進(jìn)行階躍，而使轉(zhuǎn)速保持不變，在四個工況點(diǎn)下對轉(zhuǎn)速回路的在線解耦效果進(jìn)行驗(yàn)證，并與傳統(tǒng)的解耦效果進(jìn)行對比，結(jié)果如圖13所示。

圖12 VPEPP 在線解耦控制系統(tǒng)的仿真模型(軸功率—轉(zhuǎn)速雙回路控制)

根據(jù)圖13中的解耦效果來看，軸功率的階躍會對轉(zhuǎn)速造成很大的干擾，雖然這種干擾會隨著時間的推移逐漸被控制器抑制，但調(diào)節(jié)時間過長，而采用本文提出的在線解耦方法后，轉(zhuǎn)速回路的受到的干擾在解耦補(bǔ)償?shù)淖饔孟铝⒓磳⑤S功率回路的耦合影響基本消除，并在多個工況點(diǎn)下解耦效果都很好，且對比傳統(tǒng)的解耦結(jié)構(gòu)，該在線解耦結(jié)構(gòu)反映出對工況點(diǎn)的變化很好的適應(yīng)性。

圖13 轉(zhuǎn)速控制回路解耦效果

5 結(jié)論

本文針對航空動力裝置這一典型的多變量耦合系統(tǒng)，保留了傳統(tǒng)的PID控制方法和前饋補(bǔ)償優(yōu)異控制性能的同時，引入了機(jī)載LPV模型在線直接解算出系統(tǒng)的矩陣參數(shù)，避免使用計(jì)算量大、解算時間長且復(fù)雜的在線辨識算法去辨識被控對象的模型。以被控對象的參數(shù)實(shí)時解算、解耦和控制結(jié)合起來實(shí)現(xiàn)非線性航空動力裝置耦合系統(tǒng)在工況點(diǎn)附近的線性模型參數(shù)未知時的在線解耦控制。從仿真結(jié)果來看，提出的在線解耦方法比傳統(tǒng)的靜態(tài)解耦方法對被控對象的適應(yīng)性要更強(qiáng)，能夠在線解算出前饋解耦補(bǔ)償?shù)膫鬟f函數(shù)，改善了回路之間的耦合關(guān)系，提高了解耦效率，為實(shí)現(xiàn)多變量解耦控制提供了一種新的思路。