陳 波 李映輝 李翔宇 袁江宏

(西南交通大學力學與航空航天學院，成都 610031)

桿件在工程結(jié)構(gòu)中廣泛應(yīng)用，如桁架[1]、樁基[2]和機床滾珠絲杠[3-4]。其動力行為分析對這些結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計、健康監(jiān)測和振動控制起著重要作用，研究備受關(guān)注。Kumar等[5]研究了截面積按多項式或正弦函數(shù)變化的變截面桿的自由振動，給出了固有頻率的精確解。Erol等[6]處理了由黏彈性層連接的雙桿系統(tǒng)的強迫振動問題。邢沁妍等[7]用伽遼金有限元能量投影法，分析了黏性阻尼下變截面桿的軸向受迫振動。借助振型分解和杜哈梅積分，范學明等[8]導出了桿強迫振動的基本解。黏彈性桿在頻域內(nèi)的振動控制方程為二階復系數(shù)微分方程，與彈性桿相比，其模態(tài)特性信息（頻率和模態(tài)函數(shù)）較難獲取。李會俠等[9]用復數(shù)理論，研究了固定–自由黏彈性桿的振動特性。張菊梅[10]提出小波–微分求積法，得到了黏彈性桿自由振動和強迫振動的數(shù)值解。Shatalov等[11]基于伽遼金法，給出了固定–自由黏彈性桿的強迫振動響應(yīng)。Gera等[12]求解了軸向勻速運動的縱向非均勻黏彈性桿的強迫振動。

以上文獻對任意邊界條件下黏彈性桿振動解析研究有限，因此本文將各種邊界條件表示為統(tǒng)一形式，基于格林函數(shù)法和疊加原理導出簡諧激勵和黏性阻尼下，任意邊界條件開爾文黏彈性桿穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的解析解。

1 控制方程及其解

受軸向力q(x,t)的開爾文黏彈性桿，其長度為L，彈性模量為E，橫截面積為A，密度為ρ，開爾文黏性阻尼系數(shù)為ηm，外部阻尼系數(shù)為ηe。軸向位移為u，則桿縱向振動方程為[9]

式中 “′”和“·” 分別表示對x和t求導。設(shè)q(x,t) =Q(x)eiΩt，式中i為虛數(shù)單位，Ω為外載荷圓頻率。則u(x,t) =U(x)eiΩt。式（1）可表示為

λ1和 λ2定義為

由疊加原理，式（2）的解可寫成

其中G(x;x0) 為桿穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的格林函數(shù)，其物理含義為：x=x0處單位載荷作用下在x處所產(chǎn)生的位移。它是式(5)微分方程的解

式中δ(·) 為狄拉克函數(shù)。由式（5），有G(x;x0) =U(x;x0) 。式（5）對x進行拉普拉斯變換得

式中F(s;x0) 表示U(x;x0)的拉普拉斯變換，U(0) =U(0 ;x0) 和U'(0)=U'( 0 ;x0) 是由邊界條件確定的待定常數(shù)。對式（6）進行拉普拉斯逆變換得

式中H(·)為單位階躍函數(shù)，及

其中

將x=L代入式（7）及其一階導數(shù)得到

式中

式中U(L) =U(L;x0) ，U'(L) =U'(L;x0) 。桿的各種邊界條件可統(tǒng)一表示為

式中B0和BL是由邊界條件決定的常數(shù)矩陣。如兩端固定的桿，x= 0和L處的位移為0，有B0=BL= [1 0]。其他邊界條件的B0和BL見表1。聯(lián)合式（10）和（12）得

表1 不同邊界條件的系數(shù)矩陣B0 和BLTable 1 Coefficient matrixes B0 and BL for various boundary conditions

式中E代表單位矩陣，0代表零矩陣。由式（13）可求得U0，將其代入（7）可得桿穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的格林函數(shù)。不考慮外激勵，桿的固有頻率可通過令式（13）系數(shù)矩陣行列式為0求得，此時Ω對應(yīng)系統(tǒng)的固有頻率。

由式（7）得到桿的格林函數(shù)解G(x;x0) 后，借助式（4）可得外激勵Q(x)作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)U(x)。注意在材料黏性阻尼系數(shù)ηm≠ 0和外部阻尼系數(shù)ηe≠ 0情況下，式（3）中的系數(shù)λ1和λ2均為復數(shù)，意味著U(x)為復數(shù)函數(shù)，即U(x) = α(x)+iβ(x)，其中 α(x)和β(x)是關(guān)于x的實數(shù)函數(shù)。分兩種情況討論：

（1）若q(x,t) =Q(x)cos (Ωt), 有

（2）若q(x,t) =Q(x)sin (Ωt), 有

式（14）和式（15）中

由式（14）～式（16）可見

（1）式（14）或式（16）中φ(x) 的物理意義為桿x處的響應(yīng)與外激勵之間的相位差。

（2）當阻尼系數(shù)ηm= 0和ηe= 0時，相位差φ(x) = 0。由式（14）或式（15），桿的位移在時間和空間上可分離，即可寫成u(x,t) =U0(x)·cos (Ωt)或U0(x)sin (Ωt)形式。 此時U0(x)不僅反映了桿的位移幅值，還反映其振動形狀，cos (Ωt)或sin (Ωt) 相當于結(jié)構(gòu)位移的尺度因子。因此不考慮阻尼時U0(x)足以展現(xiàn)其動力學行為。

（3）當阻尼系數(shù) ηm≠ 0 或 ηe≠ 0 時，U0(x) 僅反映結(jié)構(gòu)的位移幅值。桿上任意兩點x=x1和x=x2處的位移不同步，存在相位差|φ(x1)-φ(x2)|，此時阻尼桿的位移在時空上不可分離，即不能寫成u(x,t) =U0(x)p(t)（p(t)為時間t的實數(shù)函數(shù)）形式。因此必須用桿的動態(tài)位移u(x,t) 展現(xiàn)其動力學行為。

2 驗證和討論

考慮L= 1 m，E= 2×1011N/m2， ρ =7 850 kg/m3，A= 2.5×10–3m4，q(x,t) =Q(x)cos (Ωt)（Q(x) = 10 N/m），邊界條件為固支–自由桿。引入無量綱量

為檢驗本文方法，圖1給出了ηm= ηe= 0時，x=L處的幅頻響應(yīng)曲線。其中無阻尼（ηm=ηe= 0）下固支–自由桿的固有頻率精確解已在振動力學教材給出，其第n階固有頻率為 (2n–1)·π(E/ρ)0.5/(2L)?？梢娂ぐl(fā)共振峰的外激勵頻率與固有頻率完全一致。

圖1 固定–自由桿x = L處的幅頻響應(yīng)曲線Fig.1 Amplitude-frequency response curve of a fixed-free rod at x = L

為了驗證先前的討論，圖2給出了不同材料黏性系數(shù)ηmd和位置ξ下固定–自由桿的時間歷程曲線。由圖2(a)可見，不同黏性系數(shù)ηmd下，桿的時間歷程曲線并不同步，與理論預期一致，表明阻尼的存在導致結(jié)構(gòu)振動和外激勵作用在時間上是異步的，存在相位差。另外，由圖2(b)可知阻尼的存在導致桿上各點振動異步，存在相位差，從而驗證了前述阻尼作用下桿位移在時間和空間上不可分離的結(jié)論。

圖2 不同材料黏性系數(shù)ηmd和位置ξ下固定–自由桿的時間歷程曲線（Ωd = 0.4 π ）Fig.2 Dynamic deflection of the fixed-free rod versus time under different viscous coefficients of the material and locations (Ωd = 0.4 π )

3 結(jié)論

本文用格林函數(shù)法結(jié)合疊加原理，得到了任意邊界下考慮外部阻尼的黏彈性桿在簡諧激勵作用下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)解析解。將各種邊界條件統(tǒng)一為矩陣形式，提高了編程和計算效率。理論和數(shù)值結(jié)果均揭示了阻尼作用下桿的位移在時間和空間上是不可分離的。本文方法不僅適用于黏彈性桿縱向振動，還可應(yīng)用于其他一維連續(xù)系統(tǒng)，如歐拉–伯努利梁和鐵木辛柯梁橫向振動，歐拉–伯努利梁雙向振動，還可擴展到復雜結(jié)構(gòu)，如阻尼作用下鐵木辛柯梁彎扭耦合振動[13]和黏彈性層連接雙梁系統(tǒng)的耦合振動[14]。