商立群，許海洋，臧 鵬，楊 雷

基于DFT和群組諧波能量回收理論的諧波與間諧波檢測(cè)算法

商立群1，許海洋1，臧 鵬1，楊 雷2

(1.西安科技大學(xué)電氣與控制工程學(xué)院，陜西 西安 710054；2.國網(wǎng)陜西省電力公司渭南供電公司，陜西 渭南 714000))

采用離散傅里葉變換(DFT)檢測(cè)含有頻率相近的諧波與間諧波的電網(wǎng)信號(hào)時(shí)，信號(hào)的非同步采樣會(huì)引起頻譜泄露和混疊現(xiàn)象，嚴(yán)重影響了檢測(cè)精度。針對(duì)以上問題，提出一種基于DFT和群組諧波能量回收理論的諧波與間諧波檢測(cè)算法。首先根據(jù)DFT對(duì)諧波/間諧波的頻譜分析結(jié)果判別諧波/間諧波分量數(shù)。然后基于群組能量回收理論通過頻率偏移量自動(dòng)調(diào)整取樣窗口的長度，依次對(duì)主要諧波/間諧波周圍的潰散能量進(jìn)行迭代收集。最后通過主要諧波/間諧波周圍潰散總能量值將其幅值與頻率恢復(fù)為原貌，即可得到各分量幅值和頻率的精確值。Matlab仿真算例表明，該算法能有效減小因頻譜泄露而引起的測(cè)量誤差，準(zhǔn)確測(cè)量出鄰近諧波與間諧波分量的幅值和頻率。

諧波；間諧波；頻譜干擾；潰散能量；群組諧波能量

0 引言

近年來，隨著非線性時(shí)變拓?fù)湄?fù)載在電網(wǎng)中的應(yīng)用越來越廣泛，其產(chǎn)生的諧波、間諧波已經(jīng)對(duì)電網(wǎng)造成了嚴(yán)重污染，引起了電網(wǎng)電壓電流波形的畸變，造成了電網(wǎng)諧波的不穩(wěn)定和復(fù)雜性，電力電子設(shè)備的安全和穩(wěn)定性也受到了極大的影響[1-4]。因此，找到合適的諧波檢測(cè)方法并實(shí)現(xiàn)快速準(zhǔn)確的測(cè)量，是治理諧波污染的前提[5-8]。

離散傅里葉變換(DFT)諧波分析方法因其易于嵌入電網(wǎng)諧波測(cè)量系統(tǒng)而得到廣泛應(yīng)用[9-12]，但實(shí)際上電網(wǎng)基波頻率難以避免地存在波動(dòng)，同步采樣難以做到，易產(chǎn)生頻譜泄露，給諧波檢測(cè)帶來了誤差[13-15]。目前已有相關(guān)文獻(xiàn)提出利用加窗函數(shù)和譜線校正的方法消除頻譜泄露，減少各次諧波之間的頻譜干擾。然而，基于加窗插值的FFT諧波分析方法中，現(xiàn)有窗函數(shù)中在被測(cè)信號(hào)含有高次弱幅值諧波分量以及電網(wǎng)頻率波動(dòng)等復(fù)雜工況下，檢測(cè)準(zhǔn)確度較低[16]。文獻(xiàn)[17]提出一種由矩形窗和余弦窗經(jīng)過卷積運(yùn)算得到的混合卷積窗，該算法不受基頻波動(dòng)的影響，也有一定的抗噪性，但其主瓣隨著階數(shù)的升高而變寬，導(dǎo)致頻譜間隔較短的成分的測(cè)量精度降低。文獻(xiàn)[18]采用全相位頻譜分析方法，雖然有效地減小了頻譜泄露的影響，但降低了諧波分析的分辨率。

傳統(tǒng)的間諧波測(cè)量方法都是僅對(duì)單個(gè)頻率分量進(jìn)行頻譜校正，只適用于單頻率或間隔較遠(yuǎn)的多頻率成分信號(hào)的檢測(cè)，當(dāng)間諧波與諧波成分相近時(shí)，間諧波的頻譜會(huì)泄露到諧波譜線上，和諧波頻譜產(chǎn)生主瓣干涉，使檢測(cè)結(jié)果產(chǎn)生較大的誤差[19]。文獻(xiàn)[20]利用五項(xiàng)MSD窗六譜線插值FFT算法來抑制頻譜泄露，該算法比其他插值FFT算法具有更高的諧波與間諧波檢測(cè)精度，但其并未考慮鄰近諧波、間諧波以及基頻波動(dòng)情況的影響。此外，國內(nèi)外學(xué)者還提出了其他間諧波檢測(cè)方法，但都存在一定局限性，例如Prony算法可以識(shí)別出信號(hào)中的頻率、幅值、初相位和衰減因子等重要信號(hào)，但其具有模型階數(shù)選取難、抗噪聲干擾性差和計(jì)算量大等缺點(diǎn)[21-23]；原子分解算法在搜索最佳匹配原子時(shí)需要多次內(nèi)積運(yùn)算，計(jì)算量非常大，導(dǎo)致計(jì)算時(shí)間過長，實(shí)時(shí)性無法保證[24-26]；文獻(xiàn)[27]提出一種參數(shù)法對(duì)諧波和間諧波進(jìn)行分析，頻率分辨率較高，但間諧波檢測(cè)模型的階數(shù)計(jì)算復(fù)雜；文獻(xiàn)[28]提出基于總體最小二乘法—旋轉(zhuǎn)不變法的諧波檢測(cè)算法，可區(qū)分密集譜間諧波的頻率分量，且具有一定的抗噪性，但算法計(jì)算量較大，密集譜諧波與間諧波的參量不易獲得。

為解決在非同步采樣的情況下，傳統(tǒng)算法存在頻譜泄露、鄰近諧波與間諧波之間相互干擾等問題，本文提出一種基于DFT和群組諧波能量回收理論的諧波與間諧波檢測(cè)算法。首先根據(jù)DFT對(duì)信號(hào)的頻譜分析結(jié)果，判別諧波、間諧波的分量數(shù)；然后，依據(jù)群組諧波能量回收理論提出群組諧波能量迭代回收法，將因頻譜泄露而潰散至諧波、間諧波周圍的“群組能量”重新收集并恢復(fù)為原貌，得到諧波、間諧波幅值與頻率參數(shù)的精確測(cè)量值。

1 ?DFT諧波檢測(cè)原理

DFT的逆變換可以從其頻譜中恢復(fù)其原來的信號(hào)，如式(4)。

2 基于DFT和群組諧波能量回收理論的諧波與間諧波檢測(cè)算法

2.1 群組諧波能量回收理論

根據(jù)IEC 6100-4-7標(biāo)準(zhǔn)中對(duì)“群組”的定義，建立“群組諧波”的概念。由Parseval關(guān)系式的離散形態(tài)可將波形的能量表示為

正負(fù)頻譜值可視為由取樣信號(hào)的頻域轉(zhuǎn)換成周期性的時(shí)頻信號(hào)，因此，實(shí)際的信號(hào)頻譜是對(duì)稱的且為共軛復(fù)數(shù)。然而，因?yàn)轭l譜有對(duì)稱的特性，實(shí)際上頻譜分析結(jié)果僅會(huì)顯示其正頻譜的部分。

每一個(gè)諧波振幅可表示為

實(shí)際上，在利用DFT對(duì)電網(wǎng)信號(hào)進(jìn)行頻譜分析時(shí)，大部分的頻譜泄露都可以回收為一個(gè)群組，且位于一個(gè)主要頻率上，依此結(jié)論可作為測(cè)量間諧波的理論基礎(chǔ)，如圖1所示。

2.2 群組諧波潰散能量迭代回收法

圖1 諧波子組

失真的波形信號(hào)一般可以由3個(gè)部分組成，如式(16)所示。

圖2 主要頻譜周圍振幅能量分布圖

本文提出的基于DFT改進(jìn)的諧波與間諧波檢測(cè)方法的分析計(jì)算流程如下。

(3) 執(zhí)行DFT。

(4) 得到主要諧波/間諧波的個(gè)數(shù)；設(shè)=1。執(zhí)行DFT。

圖3 群組諧波潰散能量迭代回收法流程圖

3 實(shí)驗(yàn)仿真與分析

3.1 含高次、弱幅值且頻率相近的諧波與間諧波仿真信號(hào)分析

實(shí)際電網(wǎng)中的信號(hào)既含有幅值較大的基波信號(hào)，同時(shí)含有幅值較小的高次諧波分量，高次弱幅值諧波容易受到其他次諧波的影響，造成現(xiàn)有窗函數(shù)在頻譜泄漏抑制效果上仍不理想，導(dǎo)致復(fù)雜諧波情況下測(cè)量精度較低。為驗(yàn)證本文所提出的基于DFT和群組諧波回收理論的諧波與間諧波檢測(cè)算法的精確性和穩(wěn)定性，設(shè)置一組含有高次、弱幅值及頻率相接近的諧波與間諧波測(cè)試信號(hào)，其表達(dá)式如式(21)所示。

表1 信號(hào)仿真參數(shù)

待分析信號(hào)的幅頻圖如圖4所示，各次諧波與間諧波的能量潰散情況十分嚴(yán)重，52.9 Hz間諧波幅值已經(jīng)被與其相近的基波頻譜所泄露的能量淹沒，350 Hz諧波和355 Hz間諧波之間也發(fā)生了信號(hào)頻譜能量泄露、譜線相互交疊的現(xiàn)象。分別利用加窗插值FFT算法、Prony算法和本文算法對(duì)該仿真信號(hào)的各分量進(jìn)行分析，結(jié)果如表2和表3所示。

表2 各分量幅值參數(shù)的估計(jì)結(jié)果

Table 2 Estimation result of each component amplitude parameter

表3 各分量頻率參數(shù)的估計(jì)結(jié)果

Table 3 Estimation results of each component frequency parameter

在無噪聲和信噪比為70 dB的條件下，分別利用方法1(插值FFT算法)、方法2(Prony算法)和方法3(本文算法)對(duì)仿真信號(hào)諧波與間諧波各分量進(jìn)行檢測(cè)。由表2和表3可以看出：在無噪聲的情況下，加窗插值FFT算法檢測(cè)諧波、間諧波時(shí)，若無頻率相近成分，各分量參數(shù)精度較高；而當(dāng)間諧波的頻率接近諧波時(shí)，參數(shù)估計(jì)偏差極大，甚至出現(xiàn)無法檢測(cè)的情況。傳統(tǒng)Prony算法在理想情況下，除了52 Hz間諧波外，其余分量都能夠較準(zhǔn)確測(cè)得，但受到噪聲干擾時(shí)，會(huì)使擬合信號(hào)與實(shí)際信號(hào)出現(xiàn)偏差，其測(cè)量誤差會(huì)隨之增大。利用本文算法不僅能夠?qū)︻l率相鄰近，存在主瓣干擾問題而導(dǎo)致頻譜嚴(yán)重泄露的各次諧波、間諧波(50 Hz和50.29 Hz、350 Hz和355 Hz)分量的幅值和頻率準(zhǔn)確估計(jì)，而且在頻譜分辨率固定的情況下，當(dāng)諧波與間諧波(50 Hz和52 Hz)之間的頻率差小于頻率分辨率時(shí)，依然能夠有效準(zhǔn)確估計(jì)幅值和頻率參數(shù)，但對(duì)個(gè)別諧波和間諧波(150 Hz和220 Hz)的檢測(cè)精度要稍遜于其他兩種算法。此外，在噪聲干擾情況下，本文方法的測(cè)量精度會(huì)有所下降，但整體計(jì)算精度要優(yōu)于插值FFT算法和傳統(tǒng)Prony算法，幅值估計(jì)精度均在0.5%以內(nèi)，頻率估計(jì)精度均在0.06%以內(nèi)。

3.2 基波頻率波動(dòng)情況下的仿真信號(hào)分析

通常，負(fù)荷的突然變動(dòng)會(huì)引起電網(wǎng)頻率波動(dòng)，而電網(wǎng)頻率波動(dòng)將導(dǎo)致系統(tǒng)中諧波的不確定性，從而影響諧波分析結(jié)果[29]。

由圖5和圖6可知：當(dāng)基波頻率波動(dòng)±0.5 Hz時(shí)，本文算法能夠克服頻率波動(dòng)帶來的影響，且保持良好的檢測(cè)精度。當(dāng)基波頻率偏離量較大(49.5 Hz、49.6 Hz或50.4 Hz、50.5 Hz)時(shí)，對(duì)于頻率相近的諧波、間諧波的測(cè)量參數(shù)相對(duì)誤差有較小影響，但對(duì)無頻率成分相近的諧波、間諧波的測(cè)量精度幾乎沒有影響；當(dāng)基波頻率偏離量較小(49.9 Hz或50.1 Hz)時(shí)，各次諧波、間諧波的測(cè)量參數(shù)相對(duì)誤差均基本維持在穩(wěn)定值。總體上，文中提出的基于DFT和群組諧波能量回收理論的諧波與間諧波檢測(cè)算法在基波頻率波動(dòng)的情況下，頻率、幅值的測(cè)量相對(duì)誤差分別保持在0.08%和0.7%以內(nèi)，滿足實(shí)際電網(wǎng)運(yùn)行對(duì)于諧波和間諧波測(cè)量的要求。

圖5 基頻波動(dòng)時(shí)各次諧波和間諧波檢測(cè)頻率相對(duì)誤差

圖6 基頻波動(dòng)時(shí)各次諧波和間諧波檢測(cè)幅值相對(duì)誤差

4 結(jié)論

本文針對(duì)DFT算法在對(duì)頻率鄰近的諧波/間諧波做頻譜分析時(shí)，容易因采樣不同步而導(dǎo)致頻譜泄露和混疊的問題，采用群組諧波能量回收理論，提出了一種基于DFT和群組諧波能量回收理論的諧波與間諧波檢測(cè)算法，分別使用含高次低幅的鄰近諧波信號(hào)、含噪聲的諧波信號(hào)和含基頻波動(dòng)的諧波信號(hào)作為仿真模型，比較了本文算法與Prony算法、插值FFT算法對(duì)各諧波和間諧波分量的幅值與頻率測(cè)量精度。具體結(jié)論如下：

(1) 本文算法不僅能有效抑制位于基波和諧波附近的間諧波分量對(duì)參數(shù)估計(jì)帶來的偏差，并且不受基頻波動(dòng)的影響，同時(shí)也解決了以往在檢測(cè)鄰近基波、諧波的間諧波分量時(shí)需要長采樣數(shù)據(jù)這一難題。

(2) 本文算法利用群組諧波能量迭代回收的方法來測(cè)量諧波與間諧波信號(hào)，較其他兩種算法可以極大地減小計(jì)算量和復(fù)雜度。傳統(tǒng)Prony算法和插值FFT算法在諧波檢測(cè)研究中，都是依靠濾波、迭代和譜線插值的方法來提高算法的辨識(shí)精度，導(dǎo)致算法的計(jì)算量和復(fù)雜度提升，在一些實(shí)際設(shè)備上運(yùn)行較慢，最終無法同時(shí)兼顧時(shí)間和精度。

通過仿真實(shí)驗(yàn)和結(jié)果分析表明：本文算法的整體計(jì)算精度及抗噪性能要優(yōu)于傳統(tǒng)插值FFT算法和Prony算法，且速度快、實(shí)時(shí)性好，但如何減小噪聲，進(jìn)一步提高檢測(cè)精度，仍然有待深入研究。

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A harmonic and interharmonic detection algorithm based on DFT and group harmonic energy recovery theory

SHANG Liqun1, XU Haiyang1, ZANG Peng1, YANG Lei2

(1. School of Electrical and Control Engineering, Xi’an University of Science and Technology, Xi’an 710054, China; 2. Weinan Electric Power Supply Company, State Grid Shaanxi Electric Power Company, Weinan 714000, China)

When a discrete Fourier transform (DFT) is used to detect a grid signal containing harmonics and interharmonics with similar frequency, the non-synchronous sampling of the signal causes spectrum leakage and aliasing, which seriously affect the detection accuracy. In order to improve this, a harmonic and interharmonic detection algorithm based on DFT and group harmonic energy recovery theory is proposed. First, from a spectrum analysis of the harmonic / interharmonic by DFT, the number of harmonic and interharmonic components is determined. Then based on group energy recovery theory, the length of the sampling window is automatically adjusted by the frequency offset, and the collapse energy around the main harmonic / interharmonic is collected iteratively. Finally, the amplitude and frequency are restored to their original state by total collapse energy value around the main harmonic / interharmonic, and the accurate values of the amplitude and frequency of each component can be obtained. Simulation in Matlab shows that the proposed algorithm can effectively reduce the measurement error caused by spectrum leaks, and accurately measure the amplitude and frequency of adjacent harmonic and interharmonic components.

harmonic; interharmonic; spectrum interference; collash energy; group harmonic energy

10.19783/j.cnki.pspc.211265

2021-09-13；

2021-11-22

商立群(1968—)，男，博士，教授，研究方向?yàn)殡娏ο到y(tǒng)保護(hù)與控制；E-mail: shanglq@xust.edu.cn

許海洋(1996—)，男，碩士，研究方向?yàn)殡娏ο到y(tǒng)保護(hù)與控制；E-mail: 591186001@qq.com

臧 鵬(1996—)，男，碩士，研究方向?yàn)殡娏ο到y(tǒng)保護(hù)與控制。E-mail: 604854564@qq.com

陜西省自然科學(xué)基金項(xiàng)目資助(2021JM-393)

This work is supported by the Natural Science Foundation of Shaanxi Province (No. 2021JM-393).

(編輯 周金梅)