桂子杭，黎 楊，2*，李 瓊，2

（1.武漢工程大學 電氣信息學院，湖北 武漢 430205；2.湖北省視頻圖像與高清投影工程技術(shù)研究中心，湖北 武漢 430205）

0 引 言

波束形成是陣列信號處理的一項核心技術(shù)，廣泛應用于多種場景，如陣列雷達、無線通信、宇航探測等[1]。自適應波束形成理論上能夠最大化輸出信干噪比（Signal to Interference plus Noise Ratio，SINR），具有統(tǒng)計意義上的最優(yōu)性能[2]。自適應波束形成器通常會使用由采樣數(shù)據(jù)構(gòu)造的協(xié)方差矩陣以及由期望信號波達方向（Direction of Arrival，DOA）和陣列流型估計的導向矢量。在多數(shù)應用場景中，接收的陣列信號通常由方向性期望信號、干擾信號及噪聲組成。如果期望信號的信噪比（Signal to Noise Ratio，SNR）比較高，那么即使存在微小的協(xié)方差矩陣誤差，或者存在微小的導向矢量誤差，波束形成器在自適應抑制干擾時會將期望信號誤判為干擾進行抑制，無法實現(xiàn)抑制干擾信號、加強期望信號的目的，致使波束形成器的性能顯著下降[3]，這稱為“期望信號自消除現(xiàn)象”。

穩(wěn)健性用于描述自適應波束形成器在存在誤差的情況下對抗“期望信號自消除”的能力。在存在協(xié)方差矩陣誤差和/或?qū)蚴噶空`差時，穩(wěn)健自適應波束形成器應不出現(xiàn)“期望信號自消除現(xiàn)象”，最低要求是性能不能低于常規(guī)波束形成器[4]。近20 年來，隨著應用場景的變化和數(shù)學理論的發(fā)展，研究出現(xiàn)了多種類提高自適應波束形成器穩(wěn)健性的技術(shù)和方法。例如，對采樣數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣進行對角加載以提高穩(wěn)健性[5]，子空間投影提高穩(wěn)健性[6]，估計更新得到更準確的導向矢量[7]，估計更新得到更準確的協(xié)方差矢量[8]，對導向矢量的誤差采用特定的約束[9]以及對協(xié)方差矩陣的誤差采用特定的約束[10]等。然而，多數(shù)穩(wěn)健自適應波束形成器在期望信號SNR 較高時，性能會接近常規(guī)波束形成器，即對干擾的抑制能力會隨著SNR 的增加而下降。

近十年來，通過構(gòu)造干擾加噪聲協(xié)方差矩陣（Interference plus Noise Covariance Matrix，INCM）來提高穩(wěn)健性的波束形成方法由于具有優(yōu)異的性能而受到廣泛關(guān)注[11]。這類方法通過估計或重建不含有期望信號的INCM，替代采樣協(xié)方差矩陣。這樣，即使存在導向矢量和協(xié)方差矩陣誤差，自適應波束形成器都不會出現(xiàn)期望信號消除現(xiàn)象，從而提高了穩(wěn)健性。INCM 重建類方法可通過多種方式消除采樣協(xié)方差矩陣中的期望信號成分，例如使用Capon空間譜在指定方位區(qū)域進行積分重建、估計所有干擾和噪聲的功率進行重建等[12-13]。INCM 重建類方法的輸出SINR 性能在很大范圍內(nèi)都能非常接近于最優(yōu)，這是其相對于其他種類方法的一個優(yōu)點。然而，INCM 類方法的計算時間復雜度比其他常用方法要高很多，這是現(xiàn)有INCM 重建類方法的一個缺點。

為了降低INCM 方法的計算復雜度，本文提出一種低復雜度的期望信號預減除方法。該方法的核心思想是使用陣列中每相鄰的兩根天線的接收信號進行加權(quán)相減來消除期望信號，其先驗條件僅需要預估期望信號的DOA。本文的貢獻是給出了一種從陣列信號中消除期望信號成分的方法，其優(yōu)點是具有較低的計算復雜度。

1 問題描述

1.1 陣列信號模型

考慮一個由M根全向性天線組成的均勻直線陣列（Uniform Linear Array，ULA），1 個期望信號和L個干擾從不同方向入射到ULA，那么接收陣列信號可表示為：式中：k表示采樣信號的時域序列，k=1,2,…,K；s0(k)和a0分別表示期望信號的時域采樣信號和導向矢量（與DOA 和陣元位置有關(guān)），si(k)和ai分別表示第i個干擾信號的時域采樣信號和導向矢量，n(k)表示陣列噪聲。x(k)，a和n(k)為M×1 維的復矢量。信號和噪聲經(jīng)過下變頻處理后成為復數(shù)。

1.2 自適應波束形成

期望信號的導向矢量a0可由其DOA 和陣列流型估計得到[14]，波束形成器的加權(quán)輸出結(jié)果通過y(k)=wHx(k)計算，其中w是波束形成加權(quán)矢量。常規(guī)波束形成器的加權(quán)矢量為w=a0，它能在期望信號方向形成陣列方向圖的主瓣，但是方向圖的副瓣和零陷不受控制。由于整個波束形成的過程與實際數(shù)據(jù)無關(guān)，因此常規(guī)波束形成器不具備自動抑制干擾的能力。自適應波束形成器在計算過程中使用了接收數(shù)據(jù)，能夠根據(jù)數(shù)據(jù)中信號和干擾的變化自適應調(diào)整權(quán)矢量，對干擾進行自動抑制。假定期望信號和干擾信號是相互獨立的，且噪聲為高斯白噪聲。理想情況下，接收陣列信號的協(xié)方差矩陣可表示為R=E[x(k)xH(k)]。經(jīng)典的最小功率無失真響應（Minimum Power Distortionless Response，MPDR）自適應波束形成器的加權(quán)矢量由w=αR-1a0計算，其中α=1/(a0HR-1a0)是一個不影響輸出性能的常數(shù)。當協(xié)方差矩陣和導向矢量都準確時，MPDR 的干擾和噪聲抑制性能是最優(yōu)的[2]。

1.3 穩(wěn)健性和INCM 重建

具備穩(wěn)健性的自適應波束形成器在允許誤差存在的情況下，性能不低于常規(guī)波束形成器。然而，在期望信號的SNR 較高時，隨著SNR 的增加，多數(shù)穩(wěn)健自適應波束形成器的輸出SINR 性能會隨之下降。盡管不會出現(xiàn)期望信號自消除，但性能會趨近于常規(guī)波束形成器。

近十年來出現(xiàn)的協(xié)方差矩陣重建類方法通過估計或重建不含有期望信號的INCM 來替代采樣協(xié)方差矩陣，這樣即使存在導向矢量和協(xié)方差矩陣誤差，自適應波束形成器也不會出現(xiàn)期望信號消除現(xiàn)象，從而提高了穩(wěn)健性。由GU Y J 提出的經(jīng)典INCM重建方法，是利用Capon 空間譜結(jié)合導向矢量在干擾可能存在的離散角度空間內(nèi)進行累積得到[11]：

研究表明，INCM 的性能在任意期望信號信噪比情況下都能保持良好的對干擾抑制的性能，這是其相對于其他種類波束形成器的一個顯著優(yōu)點[11]。然而，INCM 重建方法的計算時間復雜度很高，例如式方法的計算復雜度為O(NM2)，通常N>>M。而其他種類波束形成器的計算復雜度多為O(M3)量級。近年來，研究出現(xiàn)了多種先進的INCM 類方法，并且針對計算復雜度高這個問題也有新的進展，但它們的計算復雜度仍然明顯高于O(M3)量級[15-16]。

2 提出的方法

2.1 期望信號預減除

本文利用ULA 接收信號的特征，使用兩根相鄰的天線減除期望信號成分。ULA 在角度θ的導向矢量可表示為：

接下來，使用更新的陣列信號Px(k)計算協(xié)方差矩陣：

2.2 方法討論和實現(xiàn)步驟

對于本文提出的方法，做出如下討論。

（1）新的噪聲成分n～(k)是兩個相鄰天線獨立高斯白噪聲的線性加權(quán)相減，因此仍然是高斯白噪聲。

（2）更新的陣列信號Px(k)中的干擾噪聲比（Interference to Noise Ratio，INR）與θ0和θi有關(guān)，因而Px(k)和x(k)中的干擾INR 大小會有差異。幸運的是，文獻[13]已給出證明，只要干擾的INR 足夠大，就不會影響波束形成器的性能。

（3）經(jīng)過式變換后，波束形成器的自由度減少了一個，這將會降低波束形成器的性能。然而，如果陣列的陣元數(shù)M較大，這點性能損失是非常微小的。

（4）為了補償隨期望信號一起被減除的噪聲分量，推薦對更新的INCM 進行對角加載處理，即R^DSR=PRPH+σn2I，其中σn2為噪聲的方差，噪聲方差可通過對協(xié)方差矩陣R^ 進行特征值分解，再對較小的特征值取平均得到。

本文提出方法的實現(xiàn)步驟總結(jié)如下：

（1）估計期望信號的DOA，推薦使用經(jīng)典的MUSIC 算法；

（2）通過式計算變換矩陣P；

（3）通過式計算INCMR^DSR；

（4）使用式計算權(quán)矢量w。

由上述實現(xiàn)步驟可知，本文提出算法的計算量主要由式（9）中的協(xié)方差矩陣求逆過程決定，計算復雜度為O[(M-1)3]。本文算法的優(yōu)點是其計算復雜度不高于現(xiàn)有的INCM 重建類算法。本文算法適用于ULA 陣列，并且由于自由度的減少，會有一定的微小性能損失。

3 仿真試驗

在下面的仿真試驗中，天線陣列默認設(shè)定為M=16 陣元的ULA（3.3 除外），各個天線陣元之間的間隔為半個波長，假定天線陣已經(jīng)校準，并且忽略耦合效應。6 個路徑信號的參數(shù)設(shè)置如表1 所示，θi表示DOA，Si表示SNR，其中“路徑i=0”表示期望信號，“路徑i=1”～“路徑i=5”表示干擾信號。

表1 部分信號仿真參數(shù)

以下波束形成器在仿真中使用。

（1）OPT，使用了真實協(xié)方差矩陣和導向矢量的最優(yōu)波束形成器。

（2）FDL，使用了10 倍噪聲功率加載水平的對角加載波束形成器[5]。

（3）WCB，文獻[9]中的波束形成器，其中設(shè)置參數(shù)為ε=2。

（4）INCM-CSI，經(jīng)典的Capon 空間譜INCM 重建波束形成器[11]。

（5）INCM-IPE，干擾功率估計INCM 重建波束形成器[13]。

（6）INCM-DSR，本文提出的期望信號消除波束形成器。

設(shè)定估計的期望信號DOA 為90°（即與真實值θ0=90.1°存在0.1°的誤差），INCM 重建的角度間隔為1°，INCM-CSI 和INCM-IPE 的干擾重建角度區(qū)域為Θ=86°～94°，采樣點數(shù)K=100，每個仿真的獨立試驗次數(shù)為100 次。

3.1 空間譜對比

第一個試驗，評估減除期望信號后更新的INCM協(xié)方差矩陣中的信號成分。將期望信號的SNR 固定 為25 dB，計 算Capon 空 間 譜P=1/[a^(θ)HR～-1a(θ)]，其中R～=R^ 和R～=R^DSR分別表示含有期望信號的協(xié)方差矩陣和本文方法重建的INCM 協(xié)方差矩陣，θ表示從1°到180°進行空間譜掃描，Capon 空間譜P的結(jié)果進行進一步的歸一化處理和分貝值轉(zhuǎn)換。圖1 的空間譜對比結(jié)果表明：

圖1 使用兩個協(xié)方差矩陣計算的空間譜

（1）即使存在0.1°的角度估計誤差，在θ=90°附近，R^DSR中的期望信號成分幾乎被完全移除；（2）R^ 和R^DSR中5 個干擾的DOA 完全相同；（3）盡管R^ 和R^DSR中5 個干擾的空間譜功率大小有所差異，但它們的值都非常大；

（4）減除了期望信號之后，剩余的R^DSR中并沒有引入新的方向性信號成分。

以上幾點觀察到的性質(zhì)能夠保證估計的INCMR^DSR是有效的。

3.2 輸出SINR 性能

第2 個例子，評估波束形成器的輸出SINR性能，這也是評價自適應波束形成器性能的一個重要指標。本文計算了期望信號的輸出SINR（SSNR）隨輸入SNR（SSNR）（-20 ～40 dB）的性能變化曲線，如圖2 所示。結(jié)果表明：

圖2 多個波束形成器的輸出SINR 隨輸入SNR 的變化曲線

（1）使用固定對角加載技術(shù)的FDL 中，當SNR超過5 dB，性能隨著SNR的增加迅速下降，這是因為出現(xiàn)了期望信號自消除現(xiàn)象；

（2）WCB 在SNR較低時性能接近最優(yōu)，當SNR＞5 dB，隨著SNR的增加，雖然沒有出現(xiàn)期望信號自消除，但是其輸出SINR也有所降低，這是因為WCB 本質(zhì)上也是一種可變的對角加載技術(shù)，對干擾的抑制能力會降低；

（3）INCM-CSI 和INCM-IPE 的 輸 出SINR在整個SNR區(qū)間都非常平穩(wěn)，在所有SNR上都低于最優(yōu)OPT 值約1 dB 和5 dB 的固定值，這個固定的性能差異是由重建INCM 時存在0.1°的角度誤差引起的；

（4）在所有的波束形成器中，INCM-DSR 的性能始終最接近OPT，INCM-DSR 在各個SNR處的輸出SINR低于OPT 最優(yōu)值僅為0.52 dB（平均值），而性能僅次于本文方法的INCM-IPE 比OPT 的值低1.36 dB；盡管INCM-DSR 在實現(xiàn)過程中也存在0.1°的角度誤差，但是由于它不需要在干擾角度重建，因而其性能優(yōu)于其他兩個INCM 重建方法。

3.3 陣元數(shù)的影響

本文提出的方法存在由于自由度減少1 個而引起的性能損失。波束形成器的自由度等于天線陣元數(shù)，為評估自由度降低對本文方法的影響，將陣元數(shù)分別設(shè)定為M=8、M=16 和M=32，各個信號的DOA 和SNR參數(shù)按照按表1 設(shè)定。圖3 給出了在不同陣元數(shù)情況下本文方法的輸出SINR性能和最優(yōu)性能的對比圖，進一步計算可得出，在M=8、M=16和M=32 的情況下，本文INCM-DSR 方法的輸出SINR低于最優(yōu)值OPT 分別為0.43 dB、0.29 dB 和0.20 dB。這表明隨著M的增大，由自由度減少而帶來的性能損失確實隨之減小。實際應用中，在陣元數(shù)M超過8 時，這種性能損失幾乎可以忽略不計。

圖3 在不同天線陣元數(shù)情況下本文算法的輸出SINR 性能

4 結(jié) 語

本文提出了一種期望信號預減除的穩(wěn)健自適應波束形成方法，其優(yōu)點是具有較低的計算復雜度，原理是構(gòu)造一個變換矩陣，并施加到接收陣列信號上以減除期望信號成分，等效于對所有相鄰天線的接收信號進行加權(quán)減除。理論分析表明，更新的陣列信號減除了期望信號，保留了干擾成分，不足之處是存在由于自由度減少1個引起的微小性能損失。仿真結(jié)果表明，本文方法重建的INCM 中，期望信號幾乎完全被移除，輸出SINR 性能優(yōu)于其他對比的方法，性能損失在陣元數(shù)較大時可忽略不計。