申情，蔣云良，張雄濤

（1.湖州學(xué)院 理工學(xué)院，浙江 湖州 313000;2.湖州師范學(xué)院 信息工程學(xué)院，浙江 湖州 313000;3.湖州師范學(xué)院 浙江省現(xiàn)代農(nóng)業(yè)資源智慧管理與應(yīng)用研究重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江 湖州 313000）

多屬性決策是有廣泛應(yīng)用背景的一類決策。但由于客觀事物既有確定性一面又有不確定性一面，使得這一類決策問題通常受種種不確定性的困擾，決策者會(huì)因此在決策時(shí)產(chǎn)生一定的猶豫性，這使得Torra 等[1-2]的猶豫模糊集（hesitant fuzzy set,HFS）理論應(yīng)運(yùn)而生。HFS 理論允許元素屬于集合的隸屬度可以是若干個(gè)猶豫模糊值，一定程度上發(fā)展了Zadeh 模糊集理論，吸引了不少學(xué)者基于HFS 理論研究猶豫模糊環(huán)境下的多屬性決策問題。Xia 等[3]最早給出猶豫模糊集的數(shù)學(xué)表達(dá)式。在中國，張超等[4]研究了猶豫模糊圖及其在多屬性決策中的應(yīng)用，武文穎等[5]給出了基于概率猶豫信息集成方法的群決策模型，王寶麗等[6]提出基于粒計(jì)算給出未知屬性權(quán)重時(shí)的猶豫模糊多準(zhǔn)則決策方法[7-10]等。集對(duì)分析理論能同時(shí)表示系統(tǒng)的確定性測度與不確定性測度以及兩者之間的關(guān)系，把人們對(duì)事物的確定性與不確定性關(guān)系的辯證認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)換成一個(gè)具體的數(shù)學(xué)工具-聯(lián)系數(shù)。集對(duì)分析自趙克勤[11]于1989 年提出以來，已在人工智能和不確定性決策中得到應(yīng)用[12-17]。文獻(xiàn)[18]針對(duì)準(zhǔn)則權(quán)系數(shù)信息不完全確定的多準(zhǔn)則直覺模糊決策，將直覺模糊數(shù)轉(zhuǎn)化為二元聯(lián)系數(shù)，建立了基于二元聯(lián)系數(shù)的多準(zhǔn)則直覺模糊決策綜合加權(quán)模型。文獻(xiàn)[19-20]研究了區(qū)間數(shù)和聯(lián)系數(shù)之間的關(guān)系，分別提出了準(zhǔn)則值和準(zhǔn)則權(quán)重為區(qū)間數(shù)的多準(zhǔn)則決策方法。文獻(xiàn)[21-22]中針對(duì)二元聯(lián)系數(shù)信息的集成問題，定義了幾種二元聯(lián)系數(shù)信息集成的幾何算子，提出了基于二元聯(lián)系數(shù)的信息不完全的群決策方法。文獻(xiàn)[23]通過將三角模糊數(shù)轉(zhuǎn)化為二元聯(lián)系數(shù)，提出了一種基于三角模糊數(shù)的二元聯(lián)系數(shù)雙重多屬性決策方法。文獻(xiàn)[24]將不確定語言變量轉(zhuǎn)換為二元聯(lián)系數(shù)，利用二元聯(lián)系數(shù)的距離公式，建立了多目標(biāo)規(guī)劃模型。文獻(xiàn)[25-26]利用二元聯(lián)系數(shù)方法解決了區(qū)間直覺模糊多屬性決策和猶豫模糊多屬性決策問題。

本文利用猶豫模糊元邊界的確定性與邊界內(nèi)隸屬度取值的不確定性，把同樣具有確定性與不確定性雙重特性的集對(duì)分析理論中的三元聯(lián)系數(shù)引入到屬性權(quán)重未知的猶豫模糊多屬性決策研究，建立了屬性權(quán)重未知情況下的基于三元聯(lián)系數(shù)的猶豫模糊多屬性決策新模型，該新模型不僅包含了其他模型的結(jié)果，還提供了其他可能的方案排序結(jié)果，由此形成的有條件決策，是猶豫模糊多屬性決策不確定性本質(zhì)屬性的映照，與猶豫模糊多屬性決策實(shí)際應(yīng)用情況吻合，且算法簡明；此外，在第5 節(jié)還介紹了經(jīng)典勢函數(shù)shi(μ)的擴(kuò)展公式，使得本文給出的新模型有更好的潛力應(yīng)對(duì)更為復(fù)雜的猶豫模糊多屬性決策問題。

1 權(quán)重未知的猶豫模糊多屬性決策

1.1 猶豫模糊集

猶豫模糊集的基本特征在于用多個(gè)隸屬度刻畫給定元素對(duì)于給定集合的隸屬程度。例如，3 位科技專家在評(píng)估某科技項(xiàng)目創(chuàng)新程度時(shí)分別給出0.65、0.75、0.8 三個(gè)隸屬度，這3 個(gè)隸屬度用<0.65,0.75,0.8>表示，稱之為猶豫模糊元。猶豫模糊元是猶豫模糊集理論的核心，一般用hA(x)表示一個(gè)猶豫模糊元，定義如下。

定義1設(shè)X是一個(gè)非空集合，從集合X到[0,1]區(qū)間上的一個(gè)函數(shù)稱為猶豫模糊元（hesitant fuzzy element，HFE）。Xia 等給出的猶豫模糊集的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中：x代表某一屬性；hM(x)表示方案M對(duì)屬性x的隸屬程度,也稱綜合猶豫模糊元，它是方案M在n個(gè)屬性上的n個(gè)猶豫模糊元hA(x)(A=1,2,···,n)的綜合值。

Torra 給出猶豫模糊元的計(jì)算公式[2]：

其中：h、h1、h2是3 個(gè)猶豫模糊元。

熟悉模糊數(shù)學(xué)的人知道，對(duì)于兩個(gè)和兩個(gè)以上模糊隸屬度作“取大取小”運(yùn)算會(huì)丟失信息和導(dǎo)致誤判。同理，對(duì)于兩個(gè)和兩個(gè)以上猶豫模糊元作“取大取小”運(yùn)算也會(huì)丟失信息和導(dǎo)致誤判。因此，如何科學(xué)地提取一個(gè)猶豫模糊元的猶豫模糊信息，又為后續(xù)的數(shù)學(xué)建模運(yùn)算與決策提供方便，顯然是猶豫模糊多屬性決策研究的關(guān)鍵問題。

1.2 權(quán)重未知的猶豫模糊多屬性決策問題

在猶豫模糊多屬性決策問題中，屬性權(quán)重對(duì)決策起著舉足輕重的作用。通常，在給定的一個(gè)模糊多屬性多方案決策問題中，屬性權(quán)重由專家根據(jù)自身的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)給定，但專家定權(quán)會(huì)有一定的主觀性，簡稱主觀定權(quán)；與主觀定權(quán)法相反的有“客觀定權(quán)法”，這是根據(jù)原始數(shù)據(jù)之間的關(guān)系來確定權(quán)重。在同一個(gè)多屬性決策問題中，如何客觀地給多個(gè)屬性確定權(quán)重，是一個(gè)復(fù)雜的問題；為了界定本文要研究和解決的問題，下面對(duì)權(quán)重未知的猶豫模糊多屬性決策問題先作一般性描述：設(shè)有四元組D=(S,Q,W,P)表示一個(gè)猶豫模糊多準(zhǔn)則決策系統(tǒng)，其中S為評(píng)價(jià)對(duì)象集S=(S1,S2,···,Sm)，m≥2；Q為評(píng)價(jià)屬性集Q=(Q1,Q2,···,Qn)，n≥2；且Q1,Q2,···,Qn都是越大越好的效益型屬性；W為屬性權(quán)重集為評(píng)價(jià)函數(shù)P=f(S×Q)∈[0,1]。

要求在未知(w1,w2,···,wn)具體數(shù)值，但條件下，決斷出S中的最優(yōu)對(duì)象，并作出S中m個(gè)對(duì)象的優(yōu)劣排序。

當(dāng)評(píng)價(jià)函數(shù)P為猶豫模糊元時(shí)，屬性權(quán)重未知的猶豫模糊多屬性決策問題可以進(jìn)一步描述如下：

設(shè)有m個(gè)備用方案 (S1,S2,···,Sm)，每個(gè)方案各有n個(gè)相同的屬性 (Q1,Q2,···,Qn)，但對(duì)每個(gè)屬性的評(píng)價(jià)函數(shù)Pkt(k=1,2,···,m;t=1,2,···,n)不同，且用猶豫模糊元hp(xkt)=(xkt1,xkt2,···,xktn)表示，屬性權(quán)重但w1,w2,···,wn具體數(shù)值未知，為方便，約定各屬性都是越大越好的效益型屬性，要求在m個(gè)備用方案中決策出最優(yōu)方案，并對(duì)這些方案在猶豫模糊環(huán)境下的優(yōu)劣排序作猶豫模糊性分析。

不難看出：屬性權(quán)重未知的猶豫模糊多屬性決策問題比屬性權(quán)重已知的猶豫模糊多屬性決策問題更為復(fù)雜。

2 三元聯(lián)系數(shù)

2.1 基于猶豫模糊元的三元聯(lián)系數(shù)定義

三元聯(lián)系數(shù)是集對(duì)分析理論中的一種結(jié)構(gòu)函數(shù)，也稱同異反聯(lián)系數(shù)，其一般形式為μ=a+bi+cj，但對(duì)應(yīng)于不同的“反”有不同的類型，如“正負(fù)型‘反’（j=?1,i∈[?1,1] ）”“有無型‘反’（j=0,i∈[0,1]）”等；為了把三元聯(lián)系數(shù)用于未知屬性權(quán)重的猶豫模糊多屬性決策研究，重作定義：

定義2設(shè)hA(x)=(x1,x2,···,xn)是一個(gè)猶豫模糊 元，0

稱μ=a+bi+c j，i=[0,1],j∈[?1,0]為基于猶豫模糊元的三元聯(lián)系數(shù)，或稱猶豫模糊元聯(lián)系數(shù)，也簡稱三元聯(lián)系數(shù)。

一般式為

式中：a∈[0,1],b∈[0,1],c∈[0,1],i∈[0,1],j∈[?1,0]，i稱為猶豫模糊元聯(lián)系數(shù)中偏于肯定的猶豫模糊強(qiáng)度系數(shù)，j稱為猶豫模糊元聯(lián)系數(shù)中偏于否定的猶豫模糊強(qiáng)度系數(shù)。統(tǒng)稱i、j為猶豫模糊強(qiáng)度示性系數(shù)，簡稱示性系數(shù)。

以上定義的三元聯(lián)系數(shù)具有以下性質(zhì)。

性質(zhì)1與猶豫模糊元具有等價(jià)性。

證明根據(jù)定義2 和式（5）可知，當(dāng)三元聯(lián)系數(shù)中的示性系數(shù)i，j取適當(dāng)?shù)臄?shù)值時(shí)，可以得到由式（1）定義的猶豫模糊元中任意一個(gè)隸屬度，例如前面提到的猶豫模糊元hA(x)=(0.65,0.75,0.8)，由此按定義2 得到猶豫模糊元三元聯(lián)系數(shù)

性質(zhì)2系統(tǒng)性。

證明首先，式（5）所示三元聯(lián)系數(shù)具有整體性，這是因?yàn)橄鄬?duì)于猶豫模糊元hA(x)=(x1,x2,···,xn)，多了hA(x)的補(bǔ)集也就是，有hA(x)=cj，hA(x)=a+bi。

根據(jù)系統(tǒng)是由兩個(gè)或兩個(gè)以上要素組成的有機(jī)整體的定義，可知式（5）所示三元聯(lián)系數(shù)是一個(gè)系統(tǒng)，所以具有系統(tǒng)性。

其次，三元聯(lián)系數(shù)的系統(tǒng)性還體現(xiàn)在3 個(gè)聯(lián)系分量a，bi，cj的層次性，這種層次性由3 個(gè)聯(lián)系分量的示性系數(shù)1，i，j得到充分體現(xiàn)，因?yàn)閕∈[0,1]，j∈[?1,0]。

再次，在μ=a+bi+c j中a、bi、cj存在相互作用，例如當(dāng)i、j有具體數(shù)值時(shí)，會(huì)對(duì)a起增減作用。

第四，不確定性。不僅i∈[0,1]，j∈[?1,0]在各自的定義區(qū)間取哪一個(gè)具體數(shù)值具有不確定性，而且當(dāng)i在[0,1]取定某個(gè)具體的數(shù)值時(shí)，是加大a還是減小c也具有不確定性；同理，當(dāng)j在[-1,0]取定某個(gè)具體的數(shù)值時(shí)，是減小a還是減小b也具有不確定性。

顯然，上述不確定性說明了式（5）所示三元聯(lián)系數(shù)不僅是一個(gè)不確定性系統(tǒng)，也同時(shí)說明應(yīng)用三元聯(lián)系數(shù)解決不確定性多屬性決策問題時(shí)與實(shí)際不確定性環(huán)境的對(duì)應(yīng)性與靈活性。

性質(zhì)3可比較性。

證明情況1，示性系數(shù)效應(yīng)結(jié)果比較。根據(jù)定義2，易知

成立。

情況2，示性系數(shù)有確定值時(shí)的結(jié)果比較。由情況1 進(jìn)一步推知，當(dāng)兩個(gè)三元聯(lián)系數(shù) μ1=a1+b1i1+c1j1與 μ2=a2+b2i+c2j中的i1，j1與i2，j2各有確定的值時(shí)，μ1與 μ2能比較大小。

例如對(duì)于三元聯(lián)系數(shù) μ1=0.6+0.3i1+0.1j1與μ2=0.5+0.25i2+0.25j2，當(dāng)i1=0.3，j1=?0.5，i2=0.8，j2=?0.1 時(shí)，有 μ1=0.6+0.09?0.05=0.64，μ2=0.5+0.2?0.025=0.675 。顯然，這時(shí)有 μ2>μ1。

情況3，同異反聯(lián)系分量幾何合成結(jié)果比較。把三元聯(lián)系數(shù)μk=ak+bkik+ck jk(k=1,2,···,n)映射到“同異反”三維空間見圖1，計(jì)算三元聯(lián)系數(shù)的“?！保?/p>

根據(jù)“模”rk的大小關(guān)系確定n個(gè)三元聯(lián)系數(shù)μk=ak+bkik+ck jk的大小關(guān)系。其原理是把三元聯(lián)系數(shù)看成是一組三維向量，在“同異反猶豫模糊決策”空間中求這三組三維向量的合成，見圖1。

圖1 同異反猶豫模糊空間中的同異反猶豫向量合成示意Fig.1 Synthesis of identical discrepancy contrary vectors in identical discrepancy contrary hesitant fuzzy space

從圖1 看出，三元聯(lián)系數(shù)a+bi+cj的“?！笔钦颍隙ǖ模┐_定性測度a與負(fù)向（否定的）確定性測度c和不確定的猶豫測度bi在i=1時(shí)的一種幾何合成。

情況4，與完全非猶豫點(diǎn)的距離比較。

定義3由定義1 和定義2，可以進(jìn)一步稱猶豫模糊元三元聯(lián)系數(shù)為 μhA(x)=1+0i+0j在圖1 所示同異反猶豫模糊決策空間中的點(diǎn)為完全肯定點(diǎn)（完全非猶豫點(diǎn)），記為 μ(1,0,0)，見圖2。

圖2 同異反猶豫模糊決策空間中完全非猶豫點(diǎn)Fig.2 Completely non-hesitant point in identical discrepancy contrary hesitant fuzzy space

計(jì)算任意一個(gè)非完全不猶豫點(diǎn)μk=ak+bki+ck j(k=1,2,···,n) 與完全非猶豫點(diǎn) μ(1,0,0)的海明距離ρ，即

當(dāng)有m個(gè)非完全不猶豫點(diǎn)時(shí)，可以根據(jù)它們與完全肯定點(diǎn)（完全非猶豫點(diǎn)）μ(1,0,0)的距離大小作出肯定程度的比較，與 μ(1,0,0)距離小的要比與μ(1,0,0)距離大的肯定。

情況5，勢函數(shù)比較。

定義4當(dāng)猶豫模糊三元聯(lián)系數(shù)μ=a+bi+c j中的ck不是零時(shí)，定義a/c為猶豫模糊三元聯(lián)系數(shù)μ=a+bi+c j的勢函數(shù)，記為

利用勢函數(shù)可以比較兩個(gè)猶豫模糊三元聯(lián)系數(shù)勢的大小。

2.2 三元聯(lián)系數(shù)的運(yùn)算

根據(jù)集對(duì)分析理論，三元聯(lián)系數(shù)可以作普通的加減乘除四則運(yùn)算，但本文僅用到其中的加法運(yùn)算和乘法運(yùn)算，定義如下：

定義5設(shè) μ1=a1+b1i+c1j，μ2=a2+b2i+c2j是兩個(gè)三元聯(lián)系數(shù)，則它們的和是一個(gè)三元聯(lián)系數(shù)μ=a+bi+c j，記作

式中：a=a1+a2，b=b1+b2，c=c1+c2。

從定義5 看出，三元聯(lián)系數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律，對(duì)于三個(gè)和更多個(gè)三元聯(lián)系數(shù)相加滿足結(jié)合律。

定義6設(shè) μ1=a1+b1i+c1j，μ2=a2+b2i+c2j是兩個(gè)三元聯(lián)系數(shù)，則他們的乘積是一個(gè)三元聯(lián)系數(shù)μ=a+bi+c j，記作

式中：a=a1a2+c1c2，b=b1a2+b2a1+b1b2+c1b2，c=a1c2+b1c2+a2c1，示性系數(shù)i，j在以上運(yùn)算過程中的規(guī)則是ii=i，ij=j，j j=1。

從定義6 看出,三元聯(lián)系數(shù)的乘法運(yùn)算滿足交換律，對(duì)于三個(gè)和更多個(gè)三元聯(lián)系數(shù)相乘滿足結(jié)合律。

定義7一個(gè)不等于零的實(shí)數(shù)k(k≠0)與三元聯(lián)系數(shù) μ=a+bi+cj相乘，其積仍然是一個(gè)三元聯(lián)系數(shù)。記作

3 算法步驟

1)將決策者對(duì)各方案在每個(gè)屬性下的評(píng)價(jià)值進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)形式轉(zhuǎn)換。應(yīng)用式(2～5)把專家給出的各屬性評(píng)價(jià)值猶豫模糊元轉(zhuǎn)換成三元聯(lián)系數(shù)形式。

2)利用式(6)，即三元聯(lián)系數(shù) μ=a+bi+cj的勢函數(shù) shi(μ)計(jì)算公式，計(jì)算1) 中得到的各三元聯(lián)系數(shù)的勢函數(shù)值。

3)利用基于離差的屬性權(quán)重計(jì)算公式計(jì)算各屬性權(quán)重：

4)利用綜合加權(quán)求和計(jì)算公式計(jì)算各評(píng)價(jià)對(duì)象的綜合三元聯(lián)系數(shù)：

5)猶豫性分析。利用猶豫示性系數(shù)i，j取不同值時(shí)各評(píng)價(jià)對(duì)象的三元聯(lián)系數(shù)值，討論猶豫性對(duì)初排序的影響。

6)給出決策建議。根據(jù)以上5 步結(jié)果，提出決策建議，說明在何種猶豫模糊條件下的最優(yōu)方案及其他方案的優(yōu)劣排序。

4 應(yīng)用實(shí)例

為便于作對(duì)比分析，以下用2 個(gè)實(shí)例來驗(yàn)證本文前述模型的有效性。其中實(shí)例1 取自文獻(xiàn)[6]，實(shí)例2 取自文獻(xiàn)[27]。

實(shí)例1某企業(yè)為選拔一重要部門優(yōu)秀管理人員，需要作多屬性決策。企業(yè)負(fù)責(zé)人根據(jù)2 位專家的建議，從5 位備選管理人員u1～u5中根據(jù)專業(yè)技能c1、理性技能c2、人際交往技能c3和設(shè)計(jì)技能c4四個(gè)方面選擇1 位部門經(jīng)理。各個(gè)考核準(zhǔn)則權(quán)重未知。一方面，由于兩位專家來自不同部門，對(duì)各個(gè)備選人員在不同屬性上的模糊評(píng)判可能不同，即產(chǎn)生猶豫模糊判斷值；另一方面，可能有專家對(duì)部分備選人員在一些屬性上的表現(xiàn)把握不準(zhǔn)或了解不夠，從而出現(xiàn)不能給出模糊值的情況，如人力資源部門的管理人員對(duì)備選人員u1的人際交往技能c3方面了解不夠，因此未做出評(píng)價(jià)，僅有本部門2 個(gè)評(píng)估專家給出的模糊判斷值0.5。2 位專家對(duì)備選人員的判斷評(píng)價(jià)信息如表1 所示。試給出5 個(gè)排序?qū)ο蟮膬?yōu)劣次序。

1) 根據(jù)式(2)、(3)、(4)、(5) 把表1 中的各個(gè)猶豫模糊元改寫出成三元聯(lián)系數(shù)的形式，得表2。

表1 猶豫模糊決策系統(tǒng)Table 1 Hesitant fuzzy decision making system

表2 用三元聯(lián)系數(shù)表示的猶豫模糊決策系統(tǒng)Table 2 Hesitant fuzzy decision making system expressed TCN

2) 利用三 元聯(lián)系 數(shù) μ=a+bi+c j的勢函 數(shù)shi(μ)計(jì)算公式式(6)，計(jì)算表2 中各三元聯(lián)系數(shù)的勢函數(shù)值，得表3。

表3 一個(gè)猶豫模糊決策系統(tǒng)三元聯(lián)系數(shù)的勢函數(shù)Table 3 Potential function of TCN in a hesitant fuzzy decision making system

3)利用式(7)，得到各屬性權(quán)重為

4)利用式(8)，計(jì)算得u1、u2、u3、u4、u55 個(gè)評(píng)價(jià)對(duì)象各自的綜合三元聯(lián)系數(shù)：

5)猶豫性分析。

分別考察猶豫示性系數(shù)i、j取不同值時(shí)的5 個(gè)評(píng)價(jià)對(duì)象的三元聯(lián)系數(shù)值，并給出優(yōu)劣排序，結(jié)果見表4。

表4 優(yōu)劣排序比較Table 4 Comparison of ranking

6)決策建議。

首先，從表4 看出，無論是在哪一種猶豫情況下，u4最好。其次，由表4 看出，5 個(gè)評(píng)價(jià)對(duì)象在i=0，j=0 時(shí)的排序與文獻(xiàn)[6]得到的5 個(gè)評(píng)價(jià)對(duì)象排序相同，提示文獻(xiàn)[6]所用到的算法并沒有從實(shí)質(zhì)上計(jì)及決策者的猶豫模糊性；表4 第3 列到第7 列在計(jì)及決策者的猶豫模糊性之后，顯示出這5 個(gè)評(píng)價(jià)對(duì)象的優(yōu)劣排序跟隨猶豫強(qiáng)度變化而變化，這符合猶豫模糊決策實(shí)際。

實(shí)例2某企業(yè)董事會(huì)的5 名成員計(jì)劃制定未來5 年內(nèi)的戰(zhàn)略計(jì)劃。假設(shè)有4 種可能的方案Yi(i=1,2,3,4)要進(jìn)行評(píng)估。選擇其中最重要的項(xiàng)目，并從其重要性的角度進(jìn)行排序，考慮如下4 個(gè)屬性：G1財(cái)務(wù)支出，G2客戶滿意度，G3內(nèi)部業(yè)務(wù)流程，G4學(xué)習(xí)與成長前景。企業(yè)董事會(huì)成員對(duì)各方案在不同屬性下的評(píng)估值如表5 所示。

表5 猶豫模糊決策信息表Table 5 Hesitant fuzzy decision information table

1)根據(jù)式(2)～(5)將表6 中專家對(duì)各個(gè)屬性的評(píng)估值改寫出成三元聯(lián)系數(shù)的形式，得表6。

表6 用三元聯(lián)系數(shù)表示的猶豫模糊決策信息表Table 6 Hesitant fuzzy decision information table expressed by TCNs

2)利用三元聯(lián)系數(shù)的勢函數(shù) shi(μ)計(jì)算公式，計(jì)算表6 各三元聯(lián)系數(shù)的勢函數(shù)值，得表7。

表7 猶豫模糊決策信息中三元聯(lián)系數(shù)的勢函數(shù)Table 7 Potential function of TCN in hesitant fuzzy decision making information

3)根據(jù)式(7)計(jì)算得各屬性權(quán)重為

4) 利用式(8) 計(jì)算出各方案的綜合三元聯(lián)系數(shù)：

5)猶豫性分析。

計(jì)算猶豫示性系數(shù)i，j取不同值時(shí)4 個(gè)方案的三元聯(lián)系數(shù)值，并給出優(yōu)劣排序，結(jié)果見表8。

表8 4 個(gè)方案的優(yōu)劣排序比較Table 8 Comparison of the ranking for four schemes

6)決策建議。從5)中看出，當(dāng)4 個(gè)方案聯(lián)系數(shù)中的i和j同步取值時(shí)（同步猶豫），Y4最好。這與文獻(xiàn)[27]中的決策建議一致。但是不同步取值（不同步猶豫）時(shí)，每個(gè)方案都有可能成為最優(yōu)。

5 討論

5.1 模型的有效性

本文把集對(duì)分析中的三元聯(lián)系數(shù)用于屬性權(quán)重未知的猶豫模糊多屬性決策研究，核心工作是把猶豫模糊元轉(zhuǎn)換成三元聯(lián)系數(shù) μ=a+bi+cj，繼而利用三元聯(lián)系數(shù)的勢函數(shù) shi(μ)，按“離差最大法”計(jì)算得到各屬性的權(quán)重，為處理未知屬性權(quán)重的猶豫模糊多屬性決策問題提供了一個(gè)新途徑。實(shí)例應(yīng)用表明，這一新思路可行且有效，其有效性首先源自把猶豫模糊元hA(x)轉(zhuǎn)換成三元聯(lián)系數(shù)μ=a+bi+ci的過程，較為系統(tǒng)地保留了的猶豫模糊信息；其次是建立基于三元聯(lián)系數(shù)的猶豫模糊多屬性決策模型；三是從不同角度和不同算法提取三元聯(lián)系數(shù)的系統(tǒng)信息；四是就各方案的各屬性加權(quán)綜合后的三元聯(lián)系數(shù) μ(uk)作不同猶豫模糊強(qiáng)度下的不確定性分析，在數(shù)值上重現(xiàn)出猶豫模糊不確定性在決策空間中的真實(shí)猶豫模糊圖景，從而保證了模型計(jì)算結(jié)果對(duì)各種猶豫模糊情況的總體覆蓋，保證了猶豫模糊不確定性決策建議的客觀合理性和科學(xué)性。從系統(tǒng)科學(xué)的角度看，本文介紹的基于三元聯(lián)系數(shù) μ=a+bi+c j的屬性權(quán)重未知的猶豫模糊多屬性決策模型，其有效性來自三元聯(lián)系數(shù)系統(tǒng)地利用了問題給出的猶豫模糊結(jié)構(gòu)信息。

5.2 關(guān)于勢函數(shù)

5.3 關(guān)于猶豫模糊條件決策

猶豫模糊條件決策是本文提出的一個(gè)新概念。從數(shù)學(xué)的角度看，猶豫模糊多屬性決策是一類在猶豫模糊空間中展開的決策，這個(gè)空間本身具有猶豫模糊性，猶豫模糊多屬性決策系統(tǒng)是該空間中的一個(gè)有限子空間，這個(gè)有限子空間與周圍的空間有著信息的交換，所有這些信息構(gòu)成了猶豫模糊決策條件集；顯然，在猶豫模糊空間中展開的猶豫模糊決策，本質(zhì)上離不開這些猶豫模糊條件的約束，這是猶豫模糊條件決策的空間幾何解釋。本文給出的基于三元聯(lián)系數(shù)的猶豫模糊多屬性決策模型則是猶豫模糊條件決策的一種簡化了的數(shù)學(xué)模型，模型中的猶豫模糊示性系數(shù)i、j如實(shí)地把不同猶豫模糊條件下的猶豫模糊強(qiáng)度信息傳遞給有關(guān)決策參數(shù)，化解了由“猶豫”和“模糊”兩類不確定因素疊加而致的復(fù)雜性，在保證模型計(jì)算結(jié)果客觀合理的同時(shí)又讓算法具有經(jīng)濟(jì)性、簡明性和實(shí)用性。

另一方面，“猶豫模糊條件決策”也將是一個(gè)會(huì)引發(fā)爭鳴的概念。因?yàn)椋瑥莫q豫模糊多屬性決策文獻(xiàn)[4-10]和文獻(xiàn)[27]看，這些文獻(xiàn)介紹的工作都是通過某種算法得到唯一確定的計(jì)算結(jié)果，進(jìn)而給出基于這一確定的計(jì)算結(jié)果的決策建議。由此引出一個(gè)值得深思的問題：面對(duì)一個(gè)猶豫模糊多屬性決策問題，研究結(jié)果是給出一個(gè)唯一確定的決策建議好，還是給出不同猶豫模糊強(qiáng)度條件下的決策建議集好。這需要有關(guān)猶豫模糊決策研究人員深思，也需要大量的決策實(shí)踐檢驗(yàn)。

6 結(jié)束語

本文把集對(duì)分析中的三元聯(lián)系數(shù)用于屬性權(quán)重未知的猶豫模糊多屬性決策研究，發(fā)現(xiàn)基于三元聯(lián)系數(shù)的屬性權(quán)重未知的猶豫模糊多屬性決策模型的計(jì)算結(jié)果中，不僅包括了同一個(gè)屬性權(quán)重未知的猶豫模糊多屬性決策問題用粒計(jì)算得到的結(jié)果，還得到其他的方案優(yōu)劣排序，真實(shí)地映照出屬性權(quán)重未知的猶豫模糊多屬性決策系統(tǒng)在猶豫模糊多屬性決策空間中與猶豫模糊環(huán)境進(jìn)行猶豫模糊信息交換，影響到?jīng)Q策結(jié)果的真實(shí)圖景；文章對(duì)猶豫模糊環(huán)境中的“猶豫模糊條件決策”概念作出了幾何解釋和數(shù)量化解釋；還介紹了三元聯(lián)系數(shù)經(jīng)典勢函數(shù) shi(μ)的擴(kuò)展公式，使得本文給出的模型有更好的適用性；當(dāng)然，作為一種新的屬性權(quán)重未知的猶豫模糊多屬性決策方法，仍然需要有更多的實(shí)例驗(yàn)證和決策實(shí)踐檢驗(yàn)，也需要在形式化和程序化處理上作進(jìn)一步研究，以便于用計(jì)算機(jī)處理此類問題，這也是下一步的工作。