蔡春晨，毛雪飛，趙雷，陳振，李震

（北京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，北京 100081）

超聲電機(jī)因其具有低速大轉(zhuǎn)矩、無電磁干擾、斷電自鎖、響應(yīng)快、速度和位置控制性好等優(yōu)點(diǎn)[1]，在航空航天、機(jī)器人、移動(dòng)電子設(shè)備等運(yùn)動(dòng)控制領(lǐng)域得以廣泛應(yīng)用[2]。但由于其獨(dú)特的機(jī)電能量轉(zhuǎn)換方式，超聲電機(jī)的效率還不是很高[3]。一方面，由于其主要應(yīng)用場(chǎng)合能量供應(yīng)有限，過低的效率會(huì)嚴(yán)重制約系統(tǒng)的續(xù)航能力；另一方面，效率過低意味著機(jī)電能量轉(zhuǎn)換過程產(chǎn)生大量的熱量[4]，導(dǎo)致電機(jī)升溫，而溫度升高對(duì)電機(jī)的材料、諧振頻率、動(dòng)態(tài)特性影響很大[5-7]，給電機(jī)的高精度、高動(dòng)態(tài)性能控制帶來挑戰(zhàn)，甚至損壞電機(jī)。因此，在實(shí)現(xiàn)超聲電機(jī)轉(zhuǎn)速控制前提下如何最大程度地提升其工作效率已成為此領(lǐng)域內(nèi)亟需解決的關(guān)鍵問題之一[8]。

超聲電機(jī)轉(zhuǎn)速及效率優(yōu)化控制方法研究的重點(diǎn)主要包括：效率反饋方式、控制變量的選擇以及動(dòng)態(tài)工況下效率優(yōu)化算法的穩(wěn)定性。當(dāng)調(diào)節(jié)頻率使得電機(jī)驅(qū)動(dòng)電壓和電流之間相位差的余弦值最大時(shí)，可實(shí)現(xiàn)效率的間接反饋控制[9-11]。文獻(xiàn)[9]僅采用了頻率單變量控制，無法同時(shí)滿足轉(zhuǎn)速和效率的控制需求，不能實(shí)現(xiàn)效率的全局優(yōu)化；文獻(xiàn)[10-11]通過引入占空比這一控制變量，在精準(zhǔn)控制電機(jī)轉(zhuǎn)速的前提下實(shí)現(xiàn)最大效率。然而上述方法需要檢測(cè)電壓和電流并計(jì)算相位差來實(shí)現(xiàn)效率反饋，因此電路復(fù)雜、計(jì)算量大。以雙變量控制為基礎(chǔ)，通過只檢測(cè)電壓并將其控制到最小值來跟蹤最大效率點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)了轉(zhuǎn)速和效率優(yōu)化控制[12]。在實(shí)際工程應(yīng)用中，由于電機(jī)的需求轉(zhuǎn)速及負(fù)載轉(zhuǎn)矩會(huì)發(fā)生動(dòng)態(tài)變化，上述方法不能保證效率優(yōu)化算法的收斂精度和動(dòng)態(tài)工況下的穩(wěn)定性。

在對(duì)超聲電機(jī)及其驅(qū)動(dòng)電路工作特性分析的基礎(chǔ)上，確定電機(jī)轉(zhuǎn)速和效率優(yōu)化兩個(gè)控制量，然后對(duì)基于驅(qū)動(dòng)電壓有效值的效率反饋方式進(jìn)行理論證明，并針對(duì)電機(jī)的電壓-效率-頻率特性設(shè)計(jì)了最大效率點(diǎn)跟蹤（maximum efficiency point tracking，MEPT）算法，并基于最小二乘法（LSM）的多項(xiàng)式曲面擬合方法計(jì)算得到頻率更新步長(zhǎng)。

1 超聲電機(jī)及其驅(qū)動(dòng)電路工作特性分析

針對(duì)超聲電機(jī)的工作原理，驅(qū)動(dòng)電路的常用拓?fù)渲饕腥N：推挽電路、全橋電路和半橋電路[13]，其中全橋電路在可靠性、輸出電壓諧波等方面性能最好，因此應(yīng)用最為廣泛。

1.1 全橋驅(qū)動(dòng)電路工作特性

超聲電機(jī)及全橋驅(qū)動(dòng)電路拓?fù)淙鐖D1所示，其中Udc為直流輸入電壓，Q1～Q8為開關(guān)管MOSFET。

圖1 超聲電機(jī)及全橋驅(qū)動(dòng)電路拓?fù)銯ig.1 Ultrasonic motor and full bridge drive circuit topology

圖1中，A，B兩相全橋電路均采用移相PWM控制，Q1～Q8的驅(qū)動(dòng)信號(hào)頻率均為fs，占空比固定為50%（忽略死區(qū)），且同一橋臂上、下兩個(gè)開關(guān)管（如 Q1和Q2）驅(qū)動(dòng)信號(hào)互補(bǔ)。變壓器TrA，TrB變比均為1∶N，其輸出電壓uA，uB是頻率為fs的方波電壓。調(diào)節(jié)左、右橋臂開關(guān)管（如Q2和Q4）驅(qū)動(dòng)信號(hào)之間的相位差，即可改變uA，uB的占空比D1，其取值范圍為[0，1]。調(diào)節(jié)A相和B相同位置開關(guān)管（如Q4和Q8）驅(qū)動(dòng)信號(hào)相位差，即可改變兩相電壓uA，uB相位差α，為保證電機(jī)具有較高的電機(jī)效率和運(yùn)行穩(wěn)定性，一般將α固定為π/2。變壓器輸出端和超聲電機(jī)USM兩相輸入端之間分別串聯(lián)一個(gè)匹配電感LA，LB，電感值均為L(zhǎng)s，主要作用是進(jìn)行濾波和功率匹配[14]，得到正弦交流電壓uFA，uFB，于是可以通過全橋驅(qū)動(dòng)電路的兩個(gè)變量fs和D1改變超聲電機(jī)驅(qū)動(dòng)電壓uFA，uFB的頻率和幅值。

1.2 定子行波的產(chǎn)生及定轉(zhuǎn)子接觸模型

在超聲電機(jī)壓電陶瓷片上施加電壓uFA，uFB，通過逆壓電效應(yīng)可在定子上激發(fā)出兩個(gè)模態(tài)響應(yīng)wA，wB，且滿足下式：

式中：Θ，M，C，K分別為機(jī)電耦合系數(shù)、定子的模態(tài)質(zhì)量、結(jié)構(gòu)阻尼和機(jī)械剛度系數(shù)。

當(dāng)D1=1時(shí)，模態(tài)響應(yīng)wA，wB獲得最大幅值為

式中：Cd為電機(jī)等效靜態(tài)電容。

兩個(gè)模態(tài)響應(yīng)在定子上疊加形成波長(zhǎng)為λ的旋轉(zhuǎn)行波。由于定、轉(zhuǎn)子間存在一定的軸向預(yù)壓力，它們?cè)谛胁úǚ甯浇嬖谀Σ磷饔?，摩擦區(qū)域坐標(biāo)和正、負(fù)摩擦分界點(diǎn)坐標(biāo)分別為xc和xs，由于摩擦作用轉(zhuǎn)子可獲得的最大空載轉(zhuǎn)速為[10]

式中：h，r分別為轉(zhuǎn)子的厚度和外徑；λ為定子行波的波長(zhǎng)。

電機(jī)轉(zhuǎn)速為ωR時(shí)，轉(zhuǎn)子通過摩擦獲得的驅(qū)動(dòng)力矩可用下式表示：

式中：kT為轉(zhuǎn)矩系數(shù)。

2 轉(zhuǎn)速及效率優(yōu)化控制方法設(shè)計(jì)

超聲電機(jī)轉(zhuǎn)速及效率優(yōu)化控制框圖如圖2所示，外環(huán)對(duì)電機(jī)轉(zhuǎn)速進(jìn)行采樣和比較，經(jīng)過PI控制器得到控制量D1。內(nèi)環(huán)通過效率間接反饋單元對(duì)驅(qū)動(dòng)電壓uFA進(jìn)行整流濾波、采樣并計(jì)算其有效值UF，利用所設(shè)計(jì)的MEPT算法計(jì)算得到控制量fs。驅(qū)動(dòng)電路在D1和fs的雙變量控制下經(jīng)過匹配電路輸出uFA，uFB，進(jìn)而對(duì)超聲電機(jī)進(jìn)行控制。

圖2 轉(zhuǎn)速及效率優(yōu)化控制框圖Fig.2 Speed and efficiency optimization control block diagram

電機(jī)工作時(shí)分為兩個(gè)階段：階段1（0—t0時(shí)刻），電機(jī)從靜止開始啟動(dòng)，MEPT算法不起作用，驅(qū)動(dòng)頻率fs設(shè)為恒定值f0，外環(huán)PI控制器正常工作直到轉(zhuǎn)速達(dá)到給定值；階段2（t0時(shí)刻之后），MEPT算法由初始值f0開始對(duì)fs進(jìn)行更新，直到采樣計(jì)算得到的UF值達(dá)到最小值，此時(shí)電機(jī)工作在最大效率點(diǎn)。

2.1 轉(zhuǎn)速控制器設(shè)計(jì)

設(shè)電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，負(fù)載轉(zhuǎn)矩為TL，有：

超聲電機(jī)的模型可由式（4）、式（5）確定，見圖2。當(dāng)電機(jī)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，驅(qū)動(dòng)力矩與負(fù)載轉(zhuǎn)矩相等，即TR=TL，于是由式（4）可以得到：

采用結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、應(yīng)用廣泛的PI控制器，將電機(jī)實(shí)際轉(zhuǎn)速nR與轉(zhuǎn)速參考值n*R進(jìn)行比較，得到偏差值E作為控制器輸入，經(jīng)過如下式表示的控制律作用得到的輸出值作為占空比D1(s)：

式中：KP為比例系數(shù)；TI為積分時(shí)間常數(shù)。

2.2 基于驅(qū)動(dòng)電壓有效值的效率反饋方式

基于電壓有效值的間接反饋方式簡(jiǎn)單可靠，下面對(duì)此效率反饋方式的合理性進(jìn)行證明。

機(jī)械品質(zhì)因數(shù)Qm是衡量超聲電機(jī)能量轉(zhuǎn)換性能的重要參數(shù)，可由下式給出：

同時(shí)有：

電機(jī)在最大效率點(diǎn)ηmax工作時(shí)，驅(qū)動(dòng)頻率設(shè)為fm，此時(shí)Qm和cosφ達(dá)到最大值。由于穩(wěn)態(tài)情況下電機(jī)存儲(chǔ)的總能量WU為定值，因此由式（8）、式（9）可知此時(shí)UF達(dá)到最小值，因此UF可作為電機(jī)效率的間接反饋量。測(cè)得Shinsei USR60型超聲電機(jī)在90 r/min，0.3 N·m條件下，UF和η隨頻率fs變化的曲線如圖3所示，其中fm=41.72 kHz。

圖3 90 r/min，0.3 N·m時(shí)UF和η隨頻率fs變化曲線Fig.3 Variation curves of UFand η with fsunder 90 r/min，0.3 N·m

2.3 效率優(yōu)化算法設(shè)計(jì)

基于圖3中UF和η隨fs變化的曲線特性，一種基本的效率優(yōu)化的思想是對(duì)最大效率點(diǎn)fm進(jìn)行跟蹤：由初始值f0開始，每隔UF的采樣周期Tsample按步長(zhǎng)Δf減小驅(qū)動(dòng)頻率fs，然后計(jì)算頻率變化前后UF的變化量 ΔUF，若 ΔUF＜0，則繼續(xù)減小fs，否則認(rèn)為UF達(dá)到最小值UFmin，即電機(jī)工作在最大效率點(diǎn)ηmax，不再減小fs。頻率更新的步長(zhǎng)會(huì)影響效率優(yōu)化算法以及轉(zhuǎn)速控制的性能，文獻(xiàn)[12]采用分頻段變步長(zhǎng)的方式，當(dāng)fs距離fm較遠(yuǎn)時(shí)，設(shè)置步長(zhǎng)0.3 kHz，距離較近時(shí)設(shè)置步長(zhǎng)0.003 kHz，縮短了優(yōu)化過程的時(shí)間。但上述步長(zhǎng)設(shè)置方式無法保證算法的收斂精度和動(dòng)態(tài)工況下的穩(wěn)定性。所提出的MEPT算法如圖4所示，基于最小二乘法的多項(xiàng)式曲面擬合方法計(jì)算Δf。

圖4 MEPT算法流程圖Fig.4 Algorithm flow chart of MEPT

工作流程描述如下：

1）對(duì)算法中各參數(shù)進(jìn)行設(shè)置。

f0為MEPT算法開始執(zhí)行時(shí)刻（t0時(shí)）電機(jī)的驅(qū)動(dòng)頻率，一般大于超聲電機(jī)諧振頻率fr，并保證此頻率下D1能夠滿足常用工況下啟動(dòng)階段的調(diào)速范圍60～110 r/min，仿真結(jié)果表明43.5 kHz可以滿足此要求；p為采樣周期數(shù)，將UF在連續(xù)p個(gè)Ts周期內(nèi)取平均值，用于減少UF在采樣過程產(chǎn)生的隨機(jī)誤差，取值過大會(huì)降低算法的收斂速度；ΔUmin為電壓判斷閾值，用于抑制算法在最大效率點(diǎn)附近由于ΔUF在零值上下波動(dòng)引起的振蕩，保證算法的穩(wěn)定性。經(jīng)過仿真測(cè)試p和ΔUmin分別取21和0.4 V可以滿足以上要求。

2）根據(jù)UF計(jì)算得到。

F(k)計(jì)算示意圖如圖5所示，橫軸t代表算法執(zhí)行的時(shí)間坐標(biāo)，相鄰兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)的間隔為Tp=p×Ts。在區(qū)間[t（k-1），t（k）]，[t（k-2），t（k-1）]內(nèi)，驅(qū)動(dòng)頻率分別為f（sk），f（sk-1），二者的差值記為Δf（sk），UF的平均值分別記為二者的差值記為。

圖5 F(k)計(jì)算示意圖Fig.5 Calculation diagram ofF(k)

3）根據(jù)電機(jī)轉(zhuǎn)速nR和轉(zhuǎn)矩TL，基于最小二乘法的多項(xiàng)式曲面擬合方法計(jì)算Δf。

如圖3所示，在超聲電機(jī)工作的最大效率點(diǎn)fm的鄰域[fm-δf，fm+δf]內(nèi)，UF與驅(qū)動(dòng)頻率fs之間的關(guān)系可使用下式表示的曲線進(jìn)行精確擬合：

其中，A為二次項(xiàng)系數(shù)，是轉(zhuǎn)速nR和轉(zhuǎn)矩TL的函數(shù)。若要保證超聲電機(jī)工作在最大效率點(diǎn)，應(yīng)保證下式成立：

由式（10）、式（11）聯(lián)立可得：

為防止算法發(fā)生振蕩，并保證較高的收斂速度，取式（12）“ = ”成立，并將Δf表示為轉(zhuǎn)速nR和轉(zhuǎn)矩TL的函數(shù)g（nR，TL）：

Shinsei USR60超聲電機(jī)常用工作范圍為60～110 r/min，0～0.5 N·m，轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)矩分別間隔 10 r/min，0.1 N·m，選取 36個(gè)工況（nRi，TLi），i=1，2，…，36，得到36個(gè)工況下A的值并代入式（13）中，計(jì)算得到對(duì)應(yīng)的Δfi如表1所示。

表1 不同工況（nRi，TLi）時(shí)Δfi的取值Tab.1 The value of Δfiin different working conditions

將表1中離散的數(shù)據(jù)點(diǎn)繪制在三維坐標(biāo)系中，如圖6所示，通過曲面擬合的方法得到函數(shù)Δf=g（nR，TL）的表達(dá)式。

圖6 Δfi與（nRi，TLi）在三維坐標(biāo)系中的關(guān)系Fig.6 Relationship between Δfiand（nRi，TLi）in 3D coordinate system

采用最小二乘法擬合得到的曲面如圖7所示，其中黑色實(shí)點(diǎn)表示離散數(shù)據(jù)點(diǎn)。計(jì)算此曲面對(duì)原始數(shù)據(jù)點(diǎn)的確定系數(shù)R和誤差平方和SSE分別為0.992和1.42×10-4，這說明對(duì)原始數(shù)據(jù)擬合效果很好，且能對(duì)未知數(shù)據(jù)點(diǎn)的Δf進(jìn)行預(yù)測(cè)。于是可根據(jù)式（16）計(jì)算任意轉(zhuǎn)速nR和轉(zhuǎn)矩TL條件下Δf的數(shù)值。

圖7 最小二乘法擬合函數(shù)Δf=g（nR，TL）廹到的曲面Fig.7 Surface obtained by fitting Δf=g（nR，TL）with LSM

4）判斷|ΔF(k)|＞ ΔUmin是否成立，若結(jié)果為“Y（是）”，說明fs尚未收斂至fm，則繼續(xù)執(zhí)行下一步進(jìn)行判斷；若結(jié)果為“N（否）”，說明算法已經(jīng)收斂，返回步驟2）進(jìn)入下一循環(huán)。

5）判斷 ΔF(k)·Δfs(k)＞ 0 是否成立，若是，通過fs（k+1）=fs（k）-Δf對(duì)fs進(jìn)行更新；若否，則通過fs（k+1）=fs（k）+Δf進(jìn)行更新，最終返回步驟2）進(jìn)入下一循環(huán)。

3 仿真結(jié)果

為驗(yàn)證所提出轉(zhuǎn)速及效率優(yōu)化控制方法的有效性，以Shinsei USR60超聲電機(jī)作為控制對(duì)象并基于圖1和圖2建立系統(tǒng)仿真控制模型，Udc為12 V，變壓器變比為1∶6，匹配電感取值Ls為2.4 mH，UF的采樣周期Tsample為0.85 kHz，PI控制器參數(shù)KP，TI分別為0.1和0.9 ms。

3.1 電機(jī)轉(zhuǎn)速及效率優(yōu)化控制效果

圖8 90 r/min，0.3 N·m時(shí)所提出方法的控制效果Fig.8 Control effect of the proposed method under 90 r/min，0.3 N·m

3.2 動(dòng)態(tài)工況下不同效率優(yōu)化算法控制效果對(duì)比

電機(jī)給定轉(zhuǎn)速為70 r/min，轉(zhuǎn)速環(huán)均采用PI控制器，效率優(yōu)化算法分別采用分頻段變步長(zhǎng)和MEPT算法并在1.5 s時(shí)開始工作，負(fù)載轉(zhuǎn)矩在3.5 s時(shí)由0.3 N·m減小為0.1 N·m，fs以及電機(jī)轉(zhuǎn)速和工作效率如圖9所示。

圖9 動(dòng)弦工況下不同效率優(yōu)化算法控制效果對(duì)比Fig.9 Comparison of control effects of different efficiency optimization algorithms under dynamic conditions

從圖9中可以看出，0～1.5 s內(nèi)，兩種控制效果沒有明顯差別；1.5～3.5 s內(nèi)，分頻段變步長(zhǎng)算法優(yōu)化速度較快，時(shí)間為0.395 s，轉(zhuǎn)速波動(dòng)為13.4%，但優(yōu)化后效率僅為0.209，說明算法未收斂至最大效率點(diǎn)，收斂精度低。而MEPT算法優(yōu)化時(shí)間為0.735 s，這對(duì)電機(jī)性能幾乎沒有影響，轉(zhuǎn)速波動(dòng)僅為1.6%，優(yōu)化后效率達(dá)到了0.268；3.5 s之后，由于負(fù)載突變，分頻段變步長(zhǎng)算法出現(xiàn)振蕩，導(dǎo)致轉(zhuǎn)速波動(dòng)很大，最大波動(dòng)為19.5%，此時(shí)電機(jī)無法正常工作，而MEPT算法僅為6.4%，且最終穩(wěn)定在70 r/min，電機(jī)近似達(dá)到最大效率0.194。

4 結(jié)論

針對(duì)超聲電機(jī)效率過低的問題，通過分析電機(jī)驅(qū)動(dòng)電路工作特性，確定fs和D1可以作為控制量，分別對(duì)轉(zhuǎn)速和效率進(jìn)行控制，并利用機(jī)械品質(zhì)因數(shù)Qm的表達(dá)式對(duì)基于驅(qū)動(dòng)電壓有效值的效率反饋方式進(jìn)行理論證明，然后針對(duì)電機(jī)的電壓-效率-頻率特性設(shè)計(jì)了最大效率點(diǎn)跟蹤算法，采用基于最小二乘法的多項(xiàng)式曲面擬合方法計(jì)算頻率更新步長(zhǎng)。與現(xiàn)有效率優(yōu)化方法相比，該方法不僅能夠提高電機(jī)穩(wěn)態(tài)時(shí)的工作效率，減小效率優(yōu)化過程中的轉(zhuǎn)速波動(dòng)，同時(shí)還保證了動(dòng)態(tài)工況下的穩(wěn)定性。