吳怡凡， 沈建， 金世杰， 夏晉

（1.浙江大學(xué)結(jié)構(gòu)工程研究所，杭州 310058；2.浙江大學(xué)建筑設(shè)計(jì)研究院有限公司，杭州 310028）

0 引言

隨著有限元技術(shù)的不斷發(fā)展，在大型土木工程結(jié)構(gòu)的模擬分析中，為了滿足整體結(jié)構(gòu)的力學(xué)響應(yīng)，并反應(yīng)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的塑性發(fā)展，多尺度建模成為了一種常用策略，即在整體結(jié)構(gòu)的非關(guān)鍵部位使用計(jì)算效率較高的宏觀單元，而在需要精細(xì)分析的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)部位使用精度較高的微觀單元，并通過(guò)一定的連接方式將兩種類型的單元耦合起來(lái)，以達(dá)到既兼顧計(jì)算效率又保證精度的目的［1-3］。多點(diǎn)約束法是目前土木工程領(lǐng)域進(jìn)行多尺度界面連接最常用的一種方法，它的核心思想是通過(guò)建立不同尺度界面節(jié)點(diǎn)自由度間的協(xié)調(diào)方程使兩界面達(dá)到有效的耦合［4］。在過(guò)去的研究中，學(xué)者們往往采用三種理論來(lái)構(gòu)建多點(diǎn)約束方程，分別為：位移協(xié)調(diào)、能量協(xié)調(diào)以及位移協(xié)調(diào)與能量協(xié)調(diào)相結(jié)合。林旭川等運(yùn)用平截面假定列出位移協(xié)調(diào)方程，采用MSC.MARC模擬了鋼筋混凝土框架多尺度模型在地震下的受力情況，并通過(guò)試驗(yàn)驗(yàn)證［5］。Yue和Wu等［6，7］利用做功相等能量協(xié)調(diào)原理，分別通過(guò)ABAQUS和ANSYS建立了鋼筋混凝土框架多尺度模型，并與實(shí)驗(yàn)比較，結(jié)果表明該方法可以準(zhǔn)確模擬結(jié)構(gòu)局部破壞。但在鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的數(shù)值模擬分析中，由于材料非線性、幾何非線性等因素，基于單一理論的多點(diǎn)約束法存在一定的局限性［8-10］?；谖灰茀f(xié)調(diào)與能量協(xié)調(diào)相結(jié)合的多點(diǎn)約束法可以避開(kāi)兩種單一理論的缺點(diǎn)得到更好的模擬結(jié)果，但需要插入數(shù)量龐大的約束方程，建模前處理繁瑣復(fù)雜［11］。

文中提出了一種基于連續(xù)分布耦合理論的多點(diǎn)約束法以實(shí)現(xiàn)不同尺度單元間的連接，針對(duì)鋼筋混凝土節(jié)點(diǎn)，使用ABAQUS比較分析了連續(xù)分布耦合與位移協(xié)調(diào)、能量協(xié)調(diào)、位移協(xié)調(diào)與能量協(xié)調(diào)相結(jié)合4種多尺度界面連接方法的優(yōu)劣性。

1 多尺度界面連接方式分析

文中以梁-實(shí)體單元的連接為例介紹不同理論實(shí)現(xiàn)多尺度界面連接的基本原理和方法，梁-實(shí)體單元連接如圖1所示。

圖1 梁-實(shí)體單元連接

1.1 基于位移協(xié)調(diào)的界面連接法

連接界面上實(shí)體單元共有n個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有x、y、z3個(gè)自由度；梁?jiǎn)卧c實(shí)體單元通過(guò)節(jié)點(diǎn)B連接，節(jié)點(diǎn)B有xB、yB、zB、θxB、θyB、θzB6個(gè)自由度。根據(jù)梁、實(shí)體單元可能產(chǎn)生的4種位移模式，可知界面節(jié)點(diǎn)間產(chǎn)生的變形協(xié)調(diào)如圖2所示。將精細(xì)實(shí)體單元節(jié)點(diǎn)的3個(gè)自由度分別用宏觀梁?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)的6個(gè)自由度表示，一共形成3n個(gè)位移協(xié)調(diào)方程如式（1）。

圖2 梁-實(shí)體單元多尺度界面變形協(xié)調(diào)

式中，bxi、byi為實(shí)體單元節(jié)點(diǎn)i在X、Y坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)。

1.2 基于能量協(xié)調(diào)的界面連接法

在軸力、彎矩、剪力、扭矩的作用下界面節(jié)點(diǎn)變形示意如圖3所示，根據(jù)虛功原理可列出做功相等方程如式（2）。

圖3 梁-實(shí)體單元多尺度界面受力變形

式中，F(xiàn)j為作用在宏觀單元B節(jié)點(diǎn)方向的力；σi1,Fj為精細(xì)單元i節(jié)點(diǎn)處由Fj引起的軸向應(yīng)力；τi2,Fj、τi3,Fj為精細(xì)單元i節(jié)點(diǎn)處由Fj引起的切向應(yīng)力；u1S、u2S、u3S為精細(xì)單元i節(jié)點(diǎn)處軸向及切向的位移。

結(jié)合材料力學(xué)公式，并用形函數(shù)來(lái)表示節(jié)點(diǎn)位移X={N}{X}，Y={N}{Y}，Z={N}{Z}，代入四節(jié)點(diǎn)四邊形單元形函數(shù)對(duì)積分方程求解，可得到約束方程如式（3）。

式中，Cxi、Cyi、Czi、Cθxi、Cθyi為與實(shí)體單元截面尺寸及連接界面點(diǎn)數(shù)個(gè)數(shù)相關(guān)的系數(shù)。

1.3 基于位移協(xié)調(diào)與能量協(xié)調(diào)相結(jié)合的界面連接法

基于位移協(xié)調(diào)的多點(diǎn)約束法在切向存在過(guò)約束的缺陷，而基于能量協(xié)調(diào)的多點(diǎn)約束法在轉(zhuǎn)角方向存在材料非線性和幾何非線性的缺陷。

因此將兩種方法在不同自由度上進(jìn)行方程聯(lián)立，在切向上使用基于能量協(xié)調(diào)的多點(diǎn)約束方程，而在軸向和轉(zhuǎn)角方向上使用基于位移協(xié)調(diào)的多點(diǎn)約束方程，聯(lián)立得到的方程組如式（4）。

1.4 基于連續(xù)分布耦合的界面連接法

連續(xù)分布耦合示意如圖4所示，連續(xù)分布耦合允許約束面上各節(jié)點(diǎn)發(fā)生相對(duì)移動(dòng)，通過(guò)對(duì)約束面上各節(jié)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行加權(quán)處理，使在此區(qū)域上受到的合力和合力距與施加在參考點(diǎn)上的力和力矩相等效。因此，使用連續(xù)分布耦合理論建立的多尺度模型在理論上可以避免位移協(xié)調(diào)理論產(chǎn)生的切向過(guò)約束。ABAQUS連續(xù)分布耦合有4種加權(quán)系數(shù)計(jì)算方式，包括一致、線性、二次方和三次方，計(jì)算公式如式（5）～式（8）。經(jīng)過(guò)反復(fù)試算文中采用一致加權(quán)系數(shù)計(jì)算方式對(duì)界面節(jié)點(diǎn)進(jìn)行加權(quán)處理。

圖4 連續(xù)分布耦合

式中，ωi為界面節(jié)點(diǎn)i的加權(quán)系數(shù)；ri為界面節(jié)點(diǎn)i到參考點(diǎn)的徑向距離；ω0為最遠(yuǎn)點(diǎn)的徑向距離。

2 不同多尺度界面連接法算例分析

分析模型如圖5所示，構(gòu)件高2m，截面為邊長(zhǎng)0.4m的正方形，多尺度界面距離底部1m。圖5（a）為精細(xì)化模型，圖5（b）～圖5（e）分別為基于位移協(xié)調(diào)、能量協(xié)調(diào)、位移協(xié)調(diào)與能量協(xié)調(diào)相結(jié)合、連續(xù)分布耦合理論建立的多尺度模型。分別命名為位移法模型、能量法模型、結(jié)合法模型和DC法模型。

圖5 鋼筋混凝土節(jié)點(diǎn)梁-實(shí)體單元多尺度連接模型

對(duì)于實(shí)體單元部分鋼筋混凝土采用分離式建模處理，其建模原理是將混凝土和鋼筋分別建模，混凝土采用C3D8R單元，鋼筋采用T3D2單元，并利用嵌固作用將鋼筋嵌入到混凝土中，實(shí)現(xiàn)鋼筋與混凝土的良好結(jié)合。對(duì)于梁?jiǎn)卧糠值匿摻罨炷敛捎谜w式模型，其建模原理是在同一位置建立兩個(gè)共節(jié)點(diǎn)B31梁?jiǎn)卧簡(jiǎn)卧?為混凝土，梁?jiǎn)卧?用箱形截面等效模擬鋼筋，其建模方式如圖6所示?；炷敛捎盟苄該p傷本構(gòu)模型，鋼筋采用無(wú)屈服點(diǎn)的彈塑性加工硬化兩折線模型。模型網(wǎng)格尺寸為50mm。

圖6 箱形截面等效配筋

2.1 軸力工況分析

在分析模型的底部設(shè)置固定約束，在頂部設(shè)置加載點(diǎn)通過(guò)施加位移控制加載，豎向位移從0逐漸增長(zhǎng)到10mm。各模型在塑性階段混凝土單元的應(yīng)力云圖如圖7所示，各模型在破壞階段混凝土受壓損傷云圖如圖8所示。通過(guò)觀察加載過(guò)程中應(yīng)力云圖的變化可以發(fā)現(xiàn)，在軸力工況下，隨著豎向位移的增大，各模型的單元應(yīng)力狀態(tài)逐漸由彈性進(jìn)入塑性，其中構(gòu)件的兩端和中部最先進(jìn)入塑性，混凝土在達(dá)到極限抗壓強(qiáng)度后發(fā)生破壞，應(yīng)力下降。在加載過(guò)程中，構(gòu)件的中部逐漸形成損傷累積區(qū)并最終發(fā)生破壞。對(duì)比發(fā)現(xiàn)，除了位移法模型，其余各多尺度模型均能較好地反應(yīng)構(gòu)件在彈塑性階段的應(yīng)力和損傷分布，印證了基于位移協(xié)調(diào)理論構(gòu)建的多尺度模型在僅受軸力作用時(shí)，多尺度界面存在側(cè)向過(guò)約束。

圖7 軸力工況下塑性階段各模型混凝土壓應(yīng)力云圖

圖8 軸力工況下各模型混凝土受壓損傷累積云圖

提取各模型在加載過(guò)程中加載點(diǎn)的位移和對(duì)應(yīng)的軸力，作出頂點(diǎn)位移-軸力曲線如圖9所示。5組模型加載結(jié)束時(shí)頂點(diǎn)軸力分別為1510、1550、1610、1500、1530kN。相比精細(xì)化模型，各多尺度模型相對(duì)誤差分別為2.65%、5.88%、0.2%、1.12%。

圖9 頂點(diǎn)位移-軸力曲線

按照象限編號(hào)法則，由內(nèi)到外，在各模型多尺度界面上選取16個(gè)特征單元，如圖10所示。當(dāng)頂點(diǎn)豎向位移加載到2.15mm時(shí)構(gòu)件處于塑性階段，分別提取各模型16個(gè)特征單元的Min.principle應(yīng)力，統(tǒng)計(jì)精細(xì)化模型與多尺度模型在特征單元處的應(yīng)力值并計(jì)算相對(duì)誤差。觀察發(fā)現(xiàn)，平均相對(duì)誤差從大到小分別為位移法模型10.1%、能量法模型1.8%、結(jié)合法模型1.6%、DC法模型4.41%。位移法模型的13、14號(hào)特征單元相對(duì)誤差最大，達(dá)到32.1%。能量法模型的1、2、3、4號(hào)特征單元相對(duì)誤差最大，達(dá)到2.5%。結(jié)合法模型的1、2、3、4號(hào)特征單元相對(duì)誤差最大，達(dá)到2.1%。DC法模型的1、2、3、4號(hào)特征單元相對(duì)誤差最大，達(dá)到5.1%。在軸力工況下，位移法模型的相對(duì)誤差率高于其他多尺度模型，印證了位移協(xié)調(diào)法在僅受軸力作用下存在側(cè)向過(guò)約束局限性的分析。DC法模型的平均相對(duì)誤差為4.4%，控制在5%之內(nèi)，印證了使用連續(xù)分布耦合約束可以有效改善側(cè)向過(guò)約束降低誤差率。

圖10 多尺度界面特征單元編號(hào)

2.2 彎矩工況分析

在分析模型的底部設(shè)置固定約束，在頂部設(shè)置加載點(diǎn)通過(guò)施加繞X軸的彎矩荷載控制加載，彎矩從0逐漸增長(zhǎng)到40kN·m。

各模型在塑性階段混凝土單元的應(yīng)力云圖如圖11所示，各模型在破壞階段混凝土受拉損傷云圖如圖12所示。通過(guò)觀察加載過(guò)程中應(yīng)力云圖的變化可以發(fā)現(xiàn)，混凝土最大拉、壓應(yīng)力分別沿受拉、受壓側(cè)邊緣分布。隨著不斷加載，構(gòu)件在受拉側(cè)，沿柱身不斷形成損傷累積區(qū)并最終發(fā)生破壞。對(duì)比各模型可以發(fā)現(xiàn)，能量法模型相比精細(xì)化模型應(yīng)力分布和損傷累積差別都較大。位移法模型和DC發(fā)模型與精細(xì)化模型在應(yīng)力分布上吻合度比較高，但在多尺度界面附近的損傷累積有所差別。結(jié)合法模型與精細(xì)化模型吻合度極高，能很好地反應(yīng)構(gòu)件的應(yīng)力分布及損傷累積。

圖11 彎矩工況下塑性階段各模型混凝土軸向應(yīng)力云圖

圖12 彎矩工況下各模型混凝土受拉損傷累積云圖

提取各模型在加載過(guò)程中加載點(diǎn)繞X軸的彎矩和對(duì)應(yīng)繞X軸的轉(zhuǎn)角，作出頂點(diǎn)轉(zhuǎn)角-彎矩曲線如圖13所示。5組模型加載結(jié)束時(shí)頂點(diǎn)轉(zhuǎn)角分別為0.00718、0.00923、0.01768、0.00676、0.00493。相比精細(xì)化模型，各多尺度模型相對(duì)誤差分別為28.55%、91.55%、5.85%、31.94%。

圖13 頂點(diǎn)轉(zhuǎn)角-彎矩曲線

當(dāng)頂點(diǎn)彎矩加載到36.8kN·m時(shí)構(gòu)件處于塑性階段，分別提取各模型16個(gè)特征單元的S33應(yīng)力，統(tǒng)計(jì)精細(xì)化模型與多尺度模型在特征單元處的應(yīng)力值并計(jì)算相對(duì)誤差，觀察發(fā)現(xiàn)，平均相對(duì)誤差從大到小分別為能量法模型78.5%、位移法模型27.7%、DC法模型6.6%、結(jié)合法模型0.7%。能量法模型的3、4號(hào)特征單元相對(duì)誤差最大，達(dá)到239.2%。位移法模型的1、2、3、4號(hào)特征單元相對(duì)誤差最大，達(dá)到50%。DC法模型的1、2、3、4號(hào)特征單元相對(duì)誤差最大，達(dá)到7.1%。結(jié)合法模型的9、10、11、12號(hào)特征單元相對(duì)誤差最大，達(dá)到2.3%。在彎矩工況下，能量法模型的相對(duì)誤差率遠(yuǎn)大于其他多尺度模型，印證了能量協(xié)調(diào)法在彎矩作用下局限性的分析，既當(dāng)構(gòu)件進(jìn)入塑性階段后，彎矩產(chǎn)生的正應(yīng)力呈非線性分布，基于能量協(xié)調(diào)的多點(diǎn)約束方程不再適用。

2.3 剪力工況分析

在分析模型的底部設(shè)置固定約束，在頂部設(shè)置加載點(diǎn)通過(guò)施加沿X軸的剪力荷載控制加載，剪力從0逐漸增長(zhǎng)到20kN。

各模型在塑性階段混凝土單元的應(yīng)力云圖如圖14所示，各模型在破壞階段混凝土受拉損傷云圖如圖15所示。通過(guò)觀察加載過(guò)程中應(yīng)力云圖的變化可以發(fā)現(xiàn)，構(gòu)件在端部剪力的作用下，底部混凝土首先進(jìn)入塑性，并在拉壓兩側(cè)產(chǎn)生應(yīng)力集中。隨著不斷加載，構(gòu)件底部發(fā)生破壞，塑性變形快速增大。對(duì)比各模型可以發(fā)現(xiàn)，位移法模型與結(jié)合法模型的應(yīng)力分布、損傷累積計(jì)算結(jié)果均較貼合精細(xì)化模型所得結(jié)果。能量法模型在多尺度界面出現(xiàn)了明顯應(yīng)力突變，損傷積累也與精細(xì)化模型有較大差別。

圖14 剪力工況下塑性階段各模型混凝土軸向應(yīng)力云圖

提取各模型在加載過(guò)程中加載點(diǎn)沿X軸的剪力和對(duì)應(yīng)沿X軸的位移，作出頂點(diǎn)位移-剪力曲線如圖16所示。5組模型加載結(jié)束時(shí)頂點(diǎn)位移分別為1.92、1.89、1.89、1.87、1.89mm。相比精細(xì)化模型，各多尺度模型相對(duì)誤差分別為1.22%、1.22%、2.25%。

圖16 頂點(diǎn)位移-剪力曲線

當(dāng)頂點(diǎn)剪力加載到20kN時(shí)構(gòu)件處于塑性階段，分別提取各模型16個(gè)特征單元的S33應(yīng)力，統(tǒng)計(jì)精細(xì)化模型與多尺度模型在特征單元處的應(yīng)力值并計(jì)算相對(duì)誤差見(jiàn)表1，觀察發(fā)現(xiàn)，在剪力荷載工況下，平均相對(duì)誤差從大到小分別為能量法模型142.2%、位移法模型23.7%、DC法模型15.2%、結(jié)合法模型3.6%。能量法模型的1號(hào)特征單元相對(duì)誤差最大，達(dá)到341.6%。位移法模型的1、2、3、4號(hào)特征單元相對(duì)誤差最大，達(dá)到33.3%。DC法模型的1、2、3、4號(hào)特征單元相對(duì)誤差最大，達(dá)到45.1%。結(jié)合法模型的6、7、8號(hào)特征單元相對(duì)誤差最大，達(dá)到5.4%。在剪力工況下，能量法模型的相對(duì)誤差率遠(yuǎn)大于其他多尺度模型，是因?yàn)樵诙瞬考袅Φ淖饔孟聵?gòu)件底部產(chǎn)生彎矩，混凝土進(jìn)入塑性后彎矩產(chǎn)生的正應(yīng)力呈非線性分布，基于能量協(xié)調(diào)的多點(diǎn)約束方程不再適用。

表1 鋼筋混凝土節(jié)點(diǎn)平均應(yīng)力相對(duì)誤差統(tǒng)計(jì)

3 結(jié)語(yǔ)

文中針對(duì)鋼筋混凝土節(jié)點(diǎn)，基于位移協(xié)調(diào)、能量協(xié)調(diào)、位移協(xié)調(diào)與能量協(xié)調(diào)相結(jié)合以及基于連續(xù)分布耦合理論實(shí)現(xiàn)多尺度界面的連接并進(jìn)行算例分析，所得具體研究成果如下：

（1） 基于位移協(xié)調(diào)實(shí)現(xiàn)多尺度模型界面連接時(shí)，除了在僅受軸力這種工況外，可以較為合理地反應(yīng)構(gòu)件的應(yīng)力分布和損傷累積。

（2） 基于能量協(xié)調(diào)實(shí)現(xiàn)多尺度模型界面連接時(shí)，除了在軸力工況下得到的結(jié)果較為精確外，在剪力工況、彎矩工況下，由于材料進(jìn)入塑性，彎矩產(chǎn)生的正應(yīng)力分布公式不再成立，約束方程不再適用，塑性區(qū)域單元迭代運(yùn)算逐漸出現(xiàn)誤差累積。

（3） 基于位移協(xié)調(diào)和能量協(xié)調(diào)相結(jié)合實(shí)現(xiàn)多尺度模型界面連接時(shí)，在各工況下均可合理地反應(yīng)構(gòu)件應(yīng)力分布和損傷累積，得到的結(jié)果也最接近精細(xì)化模型，但需要輸入大量約束方程，建模前處理較為復(fù)雜。

（4） 基于連續(xù)分布耦合理論實(shí)現(xiàn)多尺度模型界面連接時(shí)，在各工況下均可合理地反應(yīng)構(gòu)件的應(yīng)力分布和損傷累積，相比位移協(xié)調(diào)理論不僅可以有效改善側(cè)向過(guò)約束，在軸力工況下得到較為精確的結(jié)果，還能避免輸入大量的約束方程等繁瑣的建模前處理。