趙法舜，馬曉劍

(東北林業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，哈爾濱 150040)

證據(jù)理論又稱為Dempster-Shafer證據(jù)理論，由Dempster提出，Shafer進一步發(fā)展了該理論[1-2].作為一種不確定性多源信息融合方法，證據(jù)理論可以表達(dá)不確定信息，因而在不確定推理和多源數(shù)據(jù)融合中獲得了廣泛的應(yīng)用[3-5].然而在實際問題中，證據(jù)理論的融合規(guī)則僅適合于解決高置信度、低沖突的情況，不能有效地處理信任度趨近于零或證據(jù)之間嚴(yán)重相悖的高度沖突情況，在這些情況下可能導(dǎo)致產(chǎn)生錯誤的融合結(jié)果.

為了解決高度沖突證據(jù)的融合問題，眾多學(xué)者提出了很多改進方法，這些方法主要可以歸結(jié)為兩類:一類是修改Dempster組合規(guī)則[6-7]，主要解決沖突再分配問題；另一類是修改原始證據(jù)[8]，核心思路是修改原始證據(jù)后，再利用Dempster融合規(guī)則進行融合.

本文主要提出了一種關(guān)聯(lián)系數(shù)定義下的沖突證據(jù)合成方法，通過修改原始證據(jù)對所有證據(jù)源進行預(yù)處理.基于概率轉(zhuǎn)換，提出關(guān)聯(lián)系數(shù)來衡量證據(jù)間的關(guān)聯(lián)程度，該關(guān)聯(lián)系數(shù)能夠反映單元素子集和多元素子集之間的相互影響，并以此獲得可信度權(quán)重；同時，利用信度熵考察每條證據(jù)的信息量大小，以確定賦予其信息量權(quán)重.聯(lián)合關(guān)聯(lián)系數(shù)與信度熵作為權(quán)重因子，根據(jù)Shafer提出的證據(jù)折扣思想，利用權(quán)重因子代替折扣系數(shù)對原始證據(jù)進行加權(quán)修正，最后利用Dempster融合規(guī)則完成融合.本文所提出的基于概率轉(zhuǎn)換的關(guān)聯(lián)系數(shù)可以很好地度量證據(jù)間的關(guān)聯(lián)程度，給出的融合算法可以有效解決高度沖突問題，并優(yōu)于其他經(jīng)典算法.

1 D-S證據(jù)理論

Dempster-Shafer證據(jù)理論用于處理不確定信息，在沒有先驗信息的情況下可以進行多源證據(jù)的有效融合.當(dāng)概率確定后，證據(jù)理論可以轉(zhuǎn)化為貝葉斯理論，因此被認(rèn)為是貝葉斯理論的擴展，但是證據(jù)理論需要的條件比貝葉斯概率理論更弱，適用范圍更加廣泛.基本概念介紹如下：

定義1.1(辨識框架)：

令Θ是由n個兩兩互斥元素組成的有限的完備集合，表示為:

Θ={A1,A2,…,Ai,…,An}

集合Θ被稱為識別框架，A1,A2,…,An是辨識框架Θ的元素，Θ的冪集2Θ所構(gòu)成的2n個元素的集合表示為：

2Θ={?,{A1},…,{An},{A1,A2},…,{A1,A2,…,Ai},…,Θ}

定義1.2(基本概率指派)：

對于辨別框架Θ，基本概率指派是從2Θ到[0,1]的映射m，形式為：

m∶2Θ→ [0,1]

其滿足以下條件：m(?)=0，∑A∈2Θm(A)=1.

在Dempster-Shafer證據(jù)理論中，如果m(A)大于0，則將A稱為辨別框架Θ上的焦元，基本概率指派后面簡單記作BBA.

定義1.3(Dempster融合規(guī)則)：

在辨識框架Θ上，設(shè)有n個BBA為m1,m2,…,mn，并假設(shè)這n個BBA是相互獨立的，則由m=m1⊕m2⊕…mn表示的Dempster融合規(guī)則稱為正交和，定義如下：

(1)

其中：K=∑(A1∩A2∩…∩An≠?)m1(A1)m2(A2)…mn(An)稱作沖突系數(shù)，表示BBA之間的沖突，且Dempster的融合規(guī)則適用于沖突系數(shù)K<1的情況.

定義1.4(Pignistic概率轉(zhuǎn)換[9])：

假設(shè)m是辨識框架Θ下的BBA，通過概率轉(zhuǎn)換可以轉(zhuǎn)變?yōu)楦怕蕼y度BetP:

(2)

其中:|B|表示B的基數(shù).

定義1.5(相似系數(shù))：

王肖霞[10]在Dempster融合規(guī)則的基礎(chǔ)上引入了相似系數(shù)的概念，用來衡量證據(jù)間置信度分布的相似程度，證據(jù)mi和mj之間的相似系數(shù)定義為：

i,j=1,2,…,n

(3)

其中：Ax和Ay分別表示證據(jù)mi和mj的焦元.

2 關(guān)聯(lián)系數(shù)定義下的證據(jù)合成方法

為降低高度沖突發(fā)生的可能性，本文算法選取修改原始證據(jù)的方法，對證據(jù)源進行預(yù)處理，首先利用關(guān)聯(lián)系數(shù)來衡量證據(jù)間的關(guān)聯(lián)程度；同時利用信度熵考察每條證據(jù)的信息量大小，聯(lián)合關(guān)聯(lián)系數(shù)與信度熵作為權(quán)重因子，對證據(jù)源進行加權(quán)修正，再將得到的結(jié)果利用Dempster融合規(guī)則自身融合(n-1)次，完成多源證據(jù)間的合成.

2.1 基于概率轉(zhuǎn)換的關(guān)聯(lián)系數(shù)

相似系數(shù)可以度量證據(jù)之間的相似程度，但將多元素子集作為單元素子集進行計算，忽略了多元素子集對證據(jù)間相似程度的影響，以下給出反例：給定三個BBA分別為m1、m2和m3，辨識框架Θ={A,B}，它們的置信度分布如下：

m1∶m1(A)=0.6;m1(B)=0.2;m1(A,B)=0.2

m2∶m2(A)=0.2;m2(B)=0.6;m2(A,B)=0.2

m3∶m3(A)=0.2;m3(B)=0.2;m3(A,B)=0.6

由式(3)可以得到，m1與m2及m3的相似系數(shù)相同，即SIM(m1,m2)=SIM(m1,m3)=SIM(m2,m3)=0.636 4.顯然，m1與m2及m3之間互有差異，且m1與m2的相似度要小于m1與m3的相似度.然而，相似系數(shù)計算的結(jié)果表明，m1與m2及m3之間沒有差異，這顯然違背常識.因此，為了解決上述問題，本文提出了關(guān)聯(lián)系數(shù)來衡量證據(jù)間的關(guān)聯(lián)程度.由定義1.4可知，Pignistic概率變換保持單元素子集的置信度不變，并將多子集的置信度均勻分配給所包含的單子集.受此啟發(fā)考慮利用每個單子集焦元的BetP來代替BBA進行計算，關(guān)聯(lián)系數(shù)既可以充分反映單子集和多子集之間的相互作用，又有效避免了相似系數(shù)將多子集視為單子集的情況.另外，當(dāng)BBA僅由單子集組成時，關(guān)聯(lián)系數(shù)與相似系數(shù)完全一致.

定義2.1(證據(jù)向量)：

假設(shè)Θ= {A1,A2,…,Ai,…,An}，存在證據(jù)集合E={E1,E2,…,Ei,…,En}，對應(yīng)的BBA分別為m1,m2,…,mi,…,mn,證據(jù)向量表示為：

Ei=(BetPmi(A1),BetPmi(A2),…,BetPmi(An))T,i=1,2,…,n

定義2.2(關(guān)聯(lián)系數(shù))：

關(guān)聯(lián)系數(shù)用來度量證據(jù)間的關(guān)聯(lián)程度，定義如下：

SBetP(mi,mj)=〈Ei,Ej〉=

i,j=1,2,…,n

(4)

定理1：關(guān)聯(lián)系數(shù)可滿足以下性質(zhì)：

1)SBetP(mi,mj)=SBetP(mj,mi)

2) 0≤SBetP(mi,mj)≤1

3)若mi=mj，則SBetP(mi,mj)=1

證明：

1) 由分子項均為實數(shù)可知，

SBetP(mi,mj)=

SBetP(mj,mi)，故滿足交換律.

2)顯然SBetP(mi,mj)為大于等于0的實數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)Ax∩Ay=?時，SBetP(mi,mj)=0，由柯西-施瓦茨不等式：

3)mi(Ax)=mj(Ay)?BetPmi(Ax)=BetPmj(Ay)，由式(2)的證明可知，SBetP(mi,mj)=1.

證畢.

例1：假設(shè)Θ={A,B},兩個BBAm1和m2表示為：

m1:m1({A})=x，m1({B})=1-x
m2:m2({A})=1-x，m2({B})=x

圖1描繪了x在[0,1]變化范圍內(nèi)SBetP(mi,mj)變化的曲線，Δx=0.02.由圖1可以看出，當(dāng)x取0或1時關(guān)聯(lián)系數(shù)為0，表示證據(jù)完全相悖；當(dāng)x取0.5時關(guān)聯(lián)系數(shù)為1，表示證據(jù)完全相同；且越接近于中值0.5時關(guān)聯(lián)系數(shù)越大，即關(guān)聯(lián)程度越高，符合現(xiàn)實規(guī)律.另外，在本例中再次驗證了關(guān)聯(lián)系數(shù)滿足對稱性和非負(fù)性等基本性質(zhì).

圖1 關(guān)聯(lián)系數(shù)隨x的變化Figure 1 The coefficient of correlation varies with x

例2：假設(shè)有兩個BBAm1和m2，置信度分布如下所示.辨識框架Θ={A,B,C,D,E,F,G,H}，α從0以Δ=0.1的速度增加到1，子集的基數(shù)T從1變?yōu)?，如表1所示.

m1∶m1 (B)=α，m1 (T)=1-αm2∶m2 (B)=0.9，m2 (T)=0.1

關(guān)聯(lián)系數(shù)隨|T|及α的變化如圖2所示，可以看出，無論變量|T|及α如何變化，關(guān)聯(lián)系數(shù)在0～1之間波動，這驗證了關(guān)聯(lián)系數(shù)的有界性，其范圍取值為[0,1].當(dāng)|T|=1時，證據(jù)m1和m2由單子集組成，子集之間沒有交集，因此關(guān)聯(lián)系數(shù)小于其他|T|值的關(guān)聯(lián)系數(shù).當(dāng)|T|從2增加到8時，關(guān)聯(lián)系數(shù)相應(yīng)減小，這是因為多子集的基數(shù)擴展使不確定性增加.圖2(B)所展示的是當(dāng)|T|固定時，關(guān)聯(lián)系數(shù)隨著α的增加而增加，這符合直觀判斷，因為兩個BBA的置信度分布越來越相似.

圖2 例2中SBetP(mi,mj)隨α & |T|的變化曲線Figure 2 The change of SBetP(mi,mj) with α & |T| in example 2

2.2 證據(jù)合成新方法

關(guān)聯(lián)系數(shù)SBetP(mi,mj)可以反映證據(jù)mi和mj之間的關(guān)聯(lián)程度，證據(jù)間的置信度分布差別越小，對應(yīng)的關(guān)聯(lián)系數(shù)越高，被其他證據(jù)支持的程度越高.為了便于表達(dá)，本文使用Sij替代SBetP(mi,mj).通過以上公式得到關(guān)聯(lián)系數(shù)矩陣SM，表示為：

計算每條證據(jù)的支持度定義如下：

(5)

將每個證據(jù)的支持度歸一化處理作為可信度權(quán)重，可信度表示為：

(6)

同時，鄧勇[11]提出了信度熵，作為香農(nóng)熵的推廣，信度熵是測量不確定信息的有效方法，它可以應(yīng)用于證據(jù)理論中，其中不確定信息用BBA表示.令A(yù)i為BBA的焦元，|Ai|是集合Ai的基數(shù)，Ai的信度熵Ed定義如下：

(7)

當(dāng)僅將BBA分配給單個元素時，信度熵退化為香農(nóng)熵，即：

(8)

信度熵可以表示證據(jù)信息量的大小，當(dāng)涉及證據(jù)間的信息增多時，熵會增加.在圖2中信度熵隨集合元素個數(shù)的增加而增加，說明信度熵越大，它應(yīng)該得到其他證據(jù)更多的支持.此外，為了避免在某些情況下給證據(jù)分配零權(quán)重，使用信息量ICi來測量證據(jù)的信息量大小，取對數(shù)使得信息量與信度熵成正比.Ai的信息量為：

(9)

綜上實現(xiàn)了兩個權(quán)重因子的提取，修改證據(jù)完成證據(jù)預(yù)處理過程的偽代碼如下：

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算法:基于關(guān)聯(lián)系數(shù)定義下的證據(jù)合成方法

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輸入:輸入原始證據(jù)

1)計算n個證據(jù)的關(guān)聯(lián)系數(shù)矩陣SMij,1≤i≤n,1≤j≤n.

2)計算證據(jù)可信度Rei，i=1,2,…,n.

3)由信度熵計算證據(jù)的信息量ICi，i=1,2,…,n.

6)將預(yù)處理的結(jié)果利用證據(jù)理論的融合規(guī)則，自融合(n-1)次得到最終結(jié)果.

輸出:新的證據(jù)

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2.3 合成方法的算例分析

為了驗證該方法的有效性，本文給出了一個診斷應(yīng)用，現(xiàn)有三條證據(jù)如表2所示.其中Θ={A,B,C}，m(A)、m(B)和m(C)分別表示A、B、C的BBA.

表2 原始證據(jù)BBA

根據(jù)偽代碼的算法流程，可以得到本文算法的融合結(jié)果，并與其他經(jīng)典算法比較如表3所示.

表3 仿真算例結(jié)果比較

根據(jù)多源證據(jù)的融合結(jié)果，本文算法可以診斷A具有最大的置信度，符合直觀判斷.然而，Dempster的組合規(guī)則方法不能很好地處理沖突證據(jù)，常常得出錯誤的結(jié)果，即診斷為B.此外，Murphy等人的方法雖然可以正確識別對象，但沒有考慮證據(jù)間的關(guān)聯(lián)性，導(dǎo)致有效識別目標(biāo)的速度較慢；鄧勇的方法在多源證據(jù)診斷下可以保證準(zhǔn)確率，但決策源較少時容易產(chǎn)生誤判，穩(wěn)定性低于本文算法.同時，隨著更多證據(jù)源的加入，融合信息增多，支持診斷為A的置信度也發(fā)生改變.從圖3可以看出，當(dāng)融合的證據(jù)源只有兩個時，關(guān)聯(lián)系數(shù)為兩個BBA分配相同的支持度，所以置信度較低是合理的.當(dāng)證據(jù)源增多時，診斷為A的置信度不斷增加，通過與其他算法不同數(shù)量證據(jù)源融合結(jié)果的比較，說明在有證據(jù)沖突的情況下，本文算法具有更為有效的融合結(jié)果.

圖3 不同數(shù)量證據(jù)源融合的置信度比較Figure 3 Comparison of confidence in fusion of different number of evidence sources

3 結(jié) 語

本文提出了一種新的證據(jù)間關(guān)聯(lián)程度的度量—關(guān)聯(lián)系數(shù)，它加入了概率轉(zhuǎn)換的元素，能夠反映不同子集之間的相關(guān)性，并具有有界性、非負(fù)性和對稱性等良好性質(zhì). 本文提出的基于關(guān)聯(lián)系數(shù)定義下的多源證據(jù)融合方法，為了充分反映證據(jù)之間的關(guān)系，利用證據(jù)的可信度權(quán)重和信息量權(quán)重來確定證據(jù)的權(quán)重因子，并通過具體算例說明了算法的有效性.該證據(jù)合成方法不僅可以有效實現(xiàn)多源證據(jù)的合成，而且提高了證據(jù)沖突時融合結(jié)果的可靠性和合理性.在未來的研究中，將進一步利用關(guān)聯(lián)系數(shù)和證據(jù)融合方法在更多實際應(yīng)用中實現(xiàn)有效決策.