何勝學(xué)，崔允汀

（上海理工大學(xué) 管理學(xué)院，上海 200093）

0 引 言

物流管理是一門(mén)管理類專業(yè)課程，也是物流工程、工業(yè)工程、管理科學(xué)與工程專業(yè)的重點(diǎn)課程。物流管理課程的內(nèi)容豐富，涵蓋眾多的實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景，需要利用一定的數(shù)學(xué)工具分析和解決問(wèn)題。目前物流管理課程的教學(xué)實(shí)踐中較少系統(tǒng)利用數(shù)學(xué)建模思想引入問(wèn)題、處理分析問(wèn)題、拓展問(wèn)題應(yīng)用場(chǎng)景。而數(shù)學(xué)建模作為“培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提升學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題能力”的一個(gè)主要方式在中學(xué)和大學(xué)都得到了廣泛關(guān)注和歡迎。一年一度的大學(xué)生數(shù)學(xué)建模大賽吸引了大量的學(xué)生參與，每年暑假許多高校校園里可以看到眾多的學(xué)生為該賽事備戰(zhàn)。在上述大環(huán)境下，“如何將數(shù)學(xué)建模思想引入物流管理課程的教學(xué)實(shí)踐，從而夯實(shí)物流管理課程教學(xué)的實(shí)效，提升學(xué)生利用數(shù)學(xué)建模理論解決實(shí)際問(wèn)題的能力”就成了相關(guān)教育工作者亟待解決的問(wèn)題。

下面簡(jiǎn)要介紹當(dāng)前相關(guān)的研究現(xiàn)狀。首先簡(jiǎn)介物流管理課程教學(xué)方面的研究。文獻(xiàn)[1]對(duì)物流系統(tǒng)中涉及的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了總結(jié)介紹。文獻(xiàn)[2]針對(duì)物流系統(tǒng)規(guī)劃與設(shè)計(jì)的課程內(nèi)容設(shè)置及教學(xué)效果提升給出了具體的策略。文獻(xiàn)[3]分析總結(jié)了物流建模與仿真課程教學(xué)改革的研究與實(shí)踐。文獻(xiàn)[4]探究物流管理學(xué)科中學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)產(chǎn)生問(wèn)題的根源，提議從教學(xué)模式、教學(xué)內(nèi)容、考評(píng)方式等方面有目的性地進(jìn)行一些改革。文獻(xiàn)[5]探討基于任務(wù)驅(qū)動(dòng)的物流管理課程混合式教學(xué)改革研究與實(shí)踐。文獻(xiàn)[6]以經(jīng)典的運(yùn)輸問(wèn)題為例對(duì)數(shù)學(xué)建模在物流管理中的應(yīng)用進(jìn)行了一個(gè)典型案例分析。文獻(xiàn)[7]基于物流管理課程教學(xué)的特點(diǎn)和現(xiàn)狀進(jìn)行分析，探討在信息化背景下如何發(fā)揮其教學(xué)優(yōu)勢(shì)。文獻(xiàn)[8]以物流管理課程為例，從知識(shí)空間映射的角度研究了混合式學(xué)習(xí)路徑。

針對(duì)數(shù)學(xué)建模在課程教學(xué)中的應(yīng)用，近年研究者也進(jìn)行了大量研究。其中，文獻(xiàn)[9]論述了數(shù)學(xué)建模實(shí)質(zhì)上就是科學(xué)研究的主要思想和武器，建議從科學(xué)研究的角度重構(gòu)了數(shù)學(xué)建模教學(xué)內(nèi)容。文獻(xiàn)[10]提出從建?；顒?dòng)的基礎(chǔ)、數(shù)學(xué)建模與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)系、數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的形式和教師培訓(xùn)等方面出發(fā)完善數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)。文獻(xiàn)[11]提出開(kāi)展數(shù)學(xué)建模教育的最佳方式是融入數(shù)學(xué)課程的教學(xué)。文獻(xiàn)[12]將數(shù)學(xué)建模課程分為預(yù)期課程、實(shí)施課程和達(dá)到課程，并闡述了實(shí)施數(shù)學(xué)建模的教育研究的主要方法。文獻(xiàn)[13]總結(jié)了數(shù)學(xué)建模對(duì)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)底層思維的作用。文獻(xiàn)[14]回顧了數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽活動(dòng)的起源和發(fā)展，并介紹了國(guó)內(nèi)外學(xué)者關(guān)于提高數(shù)學(xué)建模教學(xué)質(zhì)量的主要觀點(diǎn)。文獻(xiàn)[15]指出教育量化研究的本質(zhì)就是通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型以達(dá)到解決相關(guān)教育問(wèn)題的目的。文獻(xiàn)[16]從科學(xué)發(fā)展的角度解釋了什么是數(shù)學(xué)建模，指出數(shù)學(xué)建模在推動(dòng)數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展及培養(yǎng)創(chuàng)新型人才方面發(fā)揮著重要作用。文獻(xiàn)[17]提出在智能教育背景下應(yīng)當(dāng)全方位開(kāi)展數(shù)學(xué)建模教育教學(xué)。

與現(xiàn)有研究不同，本文將數(shù)學(xué)建模處理問(wèn)題的基本框架和思想引入物流管理課程的教學(xué)，給出了具體的實(shí)施步驟，從而使物流管理中應(yīng)用場(chǎng)景的建模與分析更完善更有效。本文后續(xù)內(nèi)容的組織如下：分析物流管理與數(shù)學(xué)建模的內(nèi)在聯(lián)系；給出在課程教學(xué)中引入數(shù)學(xué)建模思想的具體步驟；利用一個(gè)例子說(shuō)明方法的有效性；最后，對(duì)全文加以總結(jié)，并展望本研究對(duì)其他課程教學(xué)實(shí)踐改革的借鑒意義。

1 物流管理與數(shù)學(xué)建模的關(guān)聯(lián)性

數(shù)學(xué)建模是利用數(shù)學(xué)工具與數(shù)學(xué)語(yǔ)言將現(xiàn)實(shí)中問(wèn)題場(chǎng)景加以抽象表述，從而有利于抓住問(wèn)題的核心或關(guān)鍵矛盾，便于解決問(wèn)題，揭示現(xiàn)象背后的內(nèi)在規(guī)律。數(shù)學(xué)建模是一個(gè)復(fù)雜但有序的思考并解決問(wèn)題的方法。數(shù)學(xué)建模的基本操作過(guò)程包括：審視現(xiàn)實(shí)場(chǎng)景，明確問(wèn)題；選擇數(shù)學(xué)工具，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型；考察模型特征，確定求解的思路方法；將模型求解轉(zhuǎn)化為計(jì)算機(jī)程序，實(shí)現(xiàn)模型的數(shù)值求解；將數(shù)值解轉(zhuǎn)化為現(xiàn)實(shí)問(wèn)題需要的答案；判斷求解結(jié)果的合理性，對(duì)模型進(jìn)一步加以修正和改進(jìn)。一般而言，數(shù)學(xué)建模涉及現(xiàn)實(shí)場(chǎng)景分析、數(shù)學(xué)建模與求解，以及計(jì)算機(jī)處理三個(gè)部分。數(shù)學(xué)建模通過(guò)對(duì)問(wèn)題抽象與分析，不僅可以加深對(duì)問(wèn)題的理解，也可以提升建模者自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和增強(qiáng)其利用數(shù)學(xué)理論處理現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的能力。文獻(xiàn)[14]將數(shù)學(xué)建模的基本框架總結(jié)為圖1給出的9個(gè)步驟。

圖1 數(shù)學(xué)建模的基本流程框架[14]

物流管理是一門(mén)應(yīng)用型的管理類課程，包含大量的實(shí)際物流問(wèn)題。這些問(wèn)題可以為數(shù)學(xué)建模提供大量的分析素材。其中主要的一些問(wèn)題場(chǎng)景包括：物流設(shè)施的選址、物流線路的規(guī)劃、物流倉(cāng)儲(chǔ)的設(shè)計(jì)、物流車隊(duì)的管理、物流庫(kù)存的管理、物流的需求預(yù)測(cè)等。上述的場(chǎng)景可以進(jìn)一步細(xì)分，如庫(kù)存管理可以分為單一貨物的庫(kù)存管理、多種貨物的庫(kù)存管理、隨機(jī)的庫(kù)存管理、動(dòng)態(tài)的庫(kù)存管理等。物流課程也大量應(yīng)用各種數(shù)學(xué)工具，包括：統(tǒng)計(jì)學(xué)工具、概率論、最優(yōu)化理論、現(xiàn)代控制理論、人工智能、大數(shù)據(jù)分析等。

盡管物流管理課程包括大量可以用作數(shù)學(xué)建模實(shí)踐的素材，但在一般的教學(xué)過(guò)程中，教師會(huì)基于這些應(yīng)用場(chǎng)景直接給出相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，同時(shí)較少涉及尋找問(wèn)題模型的有效解法。上述做法的前提是學(xué)生已經(jīng)通過(guò)其他課程的學(xué)習(xí)掌握了相關(guān)的數(shù)學(xué)工具，因此可以對(duì)相關(guān)模型進(jìn)行有效求解。但是實(shí)際情況往往并非如此，在作者多年的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生即使學(xué)習(xí)過(guò)相關(guān)的知識(shí)，也較難將其加以適當(dāng)應(yīng)用。因此，在物流管理教學(xué)中，理解相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，并對(duì)模型加以求解往往成為學(xué)生和老師共同頭痛的問(wèn)題。

通過(guò)前面的分析，可以看出物流管理課程與數(shù)學(xué)建模之間存在一種相互依存互補(bǔ)的關(guān)系。一方面，數(shù)學(xué)建模提供一套完善的處理現(xiàn)實(shí)物流管理類問(wèn)題的思路方法。另一方面，物流管理課程本身的內(nèi)容為數(shù)學(xué)建模的實(shí)踐提供了豐富的素材。如果在物流管理的課程教學(xué)中引入數(shù)學(xué)建模的思想，將為解決目前物流管理教學(xué)中存在的問(wèn)題提供一種新思路。

2 應(yīng)用數(shù)學(xué)建模思想的具體方法

基于上一節(jié)對(duì)數(shù)學(xué)建模和物流管理課程的分析，可以設(shè)計(jì)在課程教學(xué)中引入數(shù)學(xué)建模思想的具體方法。下面從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)活動(dòng)場(chǎng)所、教學(xué)活動(dòng)形式角度對(duì)引入數(shù)學(xué)建模思想的具體步驟加以闡述。具體步驟如下：

步驟1：給出現(xiàn)實(shí)場(chǎng)景，提出問(wèn)題。在這一步，教師可以通過(guò)提供場(chǎng)景資料，并進(jìn)行簡(jiǎn)要分析，提出需要解決的問(wèn)題，并布置學(xué)生課后需要思考的問(wèn)題。

步驟2：了解背景知識(shí)，分析現(xiàn)實(shí)場(chǎng)景，提煉關(guān)鍵信息。這一步需課外完成，學(xué)生可以自主搜集資料，學(xué)習(xí)相關(guān)的背景知識(shí)，然后深入研讀問(wèn)題提出的現(xiàn)實(shí)場(chǎng)景，提煉解決問(wèn)題的關(guān)鍵信息。

步驟3：選擇合適的數(shù)學(xué)工具，構(gòu)建模型。在學(xué)生已經(jīng)深入學(xué)習(xí)背景知識(shí)的條件下，老師可以在課堂上引導(dǎo)學(xué)生選擇合適的數(shù)學(xué)建模工具對(duì)問(wèn)題加以模型化描述。模型的建構(gòu)以滿足約束，明晰簡(jiǎn)潔為原則。鼓勵(lì)學(xué)生參與，以試錯(cuò)的方式對(duì)各種提議加以分析。

步驟4：分析模型特征，確定求解方法。在模型建立完成后，需要對(duì)模型特征加以分析。這里需要明確模型的基本類型、模型的復(fù)雜度，以及模型的現(xiàn)有求解方法。在確定具體解決方法時(shí)，應(yīng)當(dāng)鼓勵(lì)學(xué)生嘗試各種可能，并對(duì)現(xiàn)有方法可能存在的問(wèn)題進(jìn)行討論。

步驟5：利用計(jì)算機(jī)完成問(wèn)題的數(shù)值求解。這一步主要需要學(xué)生分組在課后完成。根據(jù)選擇的解決方案，學(xué)生需要采用不同的軟件或計(jì)算機(jī)編程語(yǔ)言將求解方法加以程序?qū)崿F(xiàn)。這里同組同學(xué)的協(xié)作與討論必不可少。

步驟6：對(duì)得到的結(jié)果加以驗(yàn)證與分析。計(jì)算機(jī)程序完成后，學(xué)生需要將現(xiàn)實(shí)場(chǎng)景數(shù)據(jù)或收集的相關(guān)數(shù)據(jù)代入程序，通過(guò)計(jì)算得到數(shù)值解。學(xué)生課外需要對(duì)解的合理性和完備性等進(jìn)行初步的判斷，撰寫(xiě)相關(guān)的工作報(bào)告。

步驟7：根據(jù)問(wèn)題解決的情況，修正已有模型。這一步一般在課堂上進(jìn)行。首先各小組對(duì)前期工作進(jìn)行匯報(bào)，分析存在的問(wèn)題。如果求得的解不滿足一些現(xiàn)實(shí)的限制條件，就需要對(duì)模型加以完善或?qū)η蠼獬绦蜻M(jìn)行修改。

步驟8：拓展思考，引出后續(xù)研究。這一步是在完成問(wèn)題的解答后進(jìn)行的一個(gè)拓展性工作。教師可以在原有問(wèn)題基礎(chǔ)上增加或改變問(wèn)題條件，引導(dǎo)學(xué)生思考條件更為寬泛的問(wèn)題。當(dāng)然這一步也可以順便成為后續(xù)一個(gè)新問(wèn)題的引入環(huán)節(jié)。

3 案例分析

這一節(jié)將通過(guò)一個(gè)例子對(duì)上一節(jié)的方法進(jìn)行演示說(shuō)明。

首先，在課堂上從物流配送的角度出發(fā)對(duì)配送員的配送工作進(jìn)行簡(jiǎn)單介紹，并將上述問(wèn)題與圖論中的經(jīng)典中國(guó)郵遞員問(wèn)題（Chinese Postman Problem，CPP）加以類比，最后將如何求解和描述中國(guó)郵遞員問(wèn)題留作課后作業(yè)。

學(xué)生在課后需要搜索中國(guó)郵遞員問(wèn)題相關(guān)的資料，并加以研讀。對(duì)于部分學(xué)生而言，可能會(huì)對(duì)資料中涉及的圖論求解算法感到迷惑不解。接著，在回到課堂后，老師需要通過(guò)與學(xué)生的交流，一方面解釋圖論的相關(guān)基本概念，并對(duì)CPP問(wèn)題的三種基本形式加以介紹。令G（ V,E∪A ）表示一個(gè)由節(jié)點(diǎn)集合V、有向弧段集合A和無(wú)向邊集合E形成的網(wǎng)絡(luò)圖。令?為空集。如果E=?，圖G（ V,A）稱為有向圖；而當(dāng)A=?，圖G（ V,E）稱為無(wú)向圖；當(dāng)有向弧段集合A和無(wú)向邊集合E均為非空集合時(shí)，得到的圖為混合圖。一般而言，需假設(shè)考慮的圖為一個(gè)連通圖。令i∈V表示一個(gè)節(jié)點(diǎn)；（i,j）∈A表示一條從節(jié)點(diǎn)i到節(jié)點(diǎn)j的有向弧段；x和c分別表示郵遞員途經(jīng)（i,j）∈A的次數(shù)和途經(jīng)一次該弧段的費(fèi)用?；谇笆龅挠懻摵徒o出的圖論概念，可以分別就有向圖、無(wú)向圖和混合圖上的CPP問(wèn)題建立如下數(shù)學(xué)模型。

有向圖上的CPP模型如下：

無(wú)向圖上的CPP模型如下：

最后是混合圖上的CPP模型：

模型建立后，需要對(duì)三個(gè)模型的目標(biāo)、約束、以及三者之間的差異加以解釋和分析。對(duì)于三個(gè)模型差異，以及將一條無(wú)向邊轉(zhuǎn)化為兩條有向弧段的操作需從建模的角度特別加以說(shuō)明。

從上述模型變量的非負(fù)整數(shù)取值范圍，以及約束與目標(biāo)函數(shù)的線性特征，可將其歸于線性整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題。在確定上述模型的具體解法時(shí)，應(yīng)當(dāng)從現(xiàn)實(shí)中郵遞員的個(gè)人決策出發(fā)，引入諸如啟發(fā)式的最近鄰居法，并從問(wèn)題發(fā)展的角度介紹奇偶點(diǎn)圖上作業(yè)。而從模型的基本類別出發(fā)，對(duì)如何應(yīng)用一些經(jīng)典算法，如分支定界法，做一些操作層面的分析。通過(guò)討論，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用一些常用的啟發(fā)式算法，如遺傳算法，對(duì)問(wèn)題求解。

在進(jìn)行課外的計(jì)算機(jī)編程求解活動(dòng)時(shí)，可以將學(xué)生分組，并分配不同的算法實(shí)現(xiàn)任務(wù)；而在小組內(nèi)部鼓勵(lì)進(jìn)一步分工協(xié)作，如將數(shù)據(jù)收集、編寫(xiě)程序與結(jié)果分析分派給不同的組員負(fù)責(zé)。

接下來(lái)，在匯總已有的工作基礎(chǔ)上，在課堂上對(duì)所建模型和各種算法的差異及優(yōu)劣進(jìn)行比較分析；通過(guò)討論來(lái)改進(jìn)模型描述或算法實(shí)現(xiàn)的具體步驟等。

最后，需要對(duì)問(wèn)題的現(xiàn)實(shí)場(chǎng)景進(jìn)行拓展。通過(guò)課堂討論，將對(duì)基本CPP問(wèn)題的研究引入到對(duì)更加復(fù)雜和應(yīng)用范圍更加廣泛的問(wèn)題的思考?？赏卣沟膯?wèn)題包括鄉(xiāng)村郵遞員問(wèn)題、弧路徑問(wèn)題、旅行商問(wèn)題和一般的車輛路徑問(wèn)題。這些拓展性的討論與分析，可以作為接下來(lái)的問(wèn)題導(dǎo)引。事實(shí)上，從CPP可以引入的問(wèn)題還很多，如現(xiàn)在的無(wú)人機(jī)配送研究。

通過(guò)對(duì)CPP教學(xué)過(guò)程的梳理和介紹，可以看出將數(shù)學(xué)建模的思想引入物流管理的課程教學(xué)是可行且有效的。當(dāng)然，教師也應(yīng)根據(jù)具體的問(wèn)題對(duì)實(shí)施的步驟做一些適應(yīng)的調(diào)整。

4 結(jié)論

數(shù)學(xué)建模思想提供了一個(gè)對(duì)物流管理中各種應(yīng)用場(chǎng)景進(jìn)行分析建模的系統(tǒng)化方法。通過(guò)將數(shù)學(xué)建模思想的分析框架引入物流管理的課程教學(xué)，不僅加深了學(xué)生對(duì)物流問(wèn)題的理解，使其產(chǎn)生對(duì)問(wèn)題深入學(xué)習(xí)的興趣，而且提高了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。本文提出的方法也可以通過(guò)適當(dāng)?shù)恼{(diào)整應(yīng)用于其他課程的教學(xué)實(shí)踐，例如可以將本文的方法應(yīng)用于《運(yùn)籌學(xué)》與《生產(chǎn)與運(yùn)作管理》的課程教學(xué)。