李旭，喬學(xué)工

（太原理工大學(xué)信息與計(jì)算機(jī)學(xué)院，山西太原 030600）

光子搜索算法(Photon Search Algorithm,PSA)是劉永歷等人[1]于2019 年提出的一種基于物理現(xiàn)象的啟發(fā)式算法，常見(jiàn)的物理啟發(fā)式算法有模擬退火算法（Simulated Annealing，SA）[2]、引力搜索算法（Gravitational Search Algorithm，GSA）[3]、水循環(huán)算法（Water Cycle Alogrithm，WCA）[4]和閃電搜索算法（Lightning Search Algorithm，LSA）[5]。光子搜索算法的理論基礎(chǔ)來(lái)源于Max Planck、Einstein 和Broglie等[6-7]人提出的光子假說(shuō)和量子理論。PSA 算法具有較強(qiáng)的全局探索能力和較高的搜索效率，但是局部開(kāi)發(fā)能力很差，收斂精度低。

哈里斯鷹優(yōu)化算法（Harris Hawk Optimization,HHO）是Heidari 等人[8]于2019 年提出的一種基于群體捕食行為的算法，其改進(jìn)的算法有EHHO[9]和CHHO[10]等。常見(jiàn)的基于群體的算法還有粒子群算法（Particle Swarm Optimization，PSO）[11]、蟻群算法（Ant Colony Optimization，ACO）[12]和灰狼算法（Grey Wolf Optimizer，GWO）[13]等。PSA 算法有較為豐富的開(kāi)發(fā)策略，并且結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，參數(shù)易于調(diào)節(jié)。

文中針對(duì)PSA 算法的不足進(jìn)行改進(jìn)。首先將HHO 的4 種開(kāi)發(fā)策略引入PSA 算法，以增強(qiáng)其局部尋優(yōu)能力，并且對(duì)原始HHO 中的逃逸能量函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，避免算法陷入局部最優(yōu)。

1 光子搜索算法

1）光子運(yùn)動(dòng)的初始化

假設(shè)初始有N個(gè)光子（個(gè)體），則第i個(gè)個(gè)體的位置[1]通過(guò)式（1）更新：

Rig表示第i個(gè)光子與當(dāng)前擁有全局最佳適應(yīng)度值的光子X(jué)g之間的歐式距離,RLen表示光子在迭代中通過(guò)的距離，計(jì)算如式（2）、（3）所示[1]：

其中，Scl為權(quán)重值。

于是，在特定時(shí)間t中，第i個(gè)光子在第d維中的速度v通過(guò)式（4）更新[1]：

所以，第i個(gè)光子的位置通過(guò)式（5）進(jìn)行更新[1]：

其中，De為收斂權(quán)重，用來(lái)調(diào)整搜索過(guò)程中的收斂速度，ext表示收斂系數(shù)。

2）觀察行為

為了模擬量子的不確定性原理，設(shè)計(jì)了算法的觀察行為，第i個(gè)光子的位置根據(jù)式（7）進(jìn)行計(jì)算[1]。

3）搜索排除原則

根據(jù)泡利不相容原理設(shè)計(jì)了搜索排除原則。個(gè)體位置通過(guò)式（8）更新[1]。其中，是指相應(yīng)維度的下邊界值，而是指相應(yīng)維度的上邊界值，randB是范圍[0,1]的隨機(jī)數(shù)。

2 HHO-APSA算法

2.1 HHO算法的開(kāi)發(fā)策略

HHO 算法的實(shí)現(xiàn)過(guò)程可以分為探索階段和開(kāi)發(fā)階段兩個(gè)階段：探索階段進(jìn)行全局搜索；開(kāi)發(fā)階段個(gè)體進(jìn)行局部尋優(yōu)。通過(guò)7 種掠奪性策略[14]中的4種策略進(jìn)行局部開(kāi)發(fā)。

1）軟圍攻

該搜索策略下，獵物具有足夠的能量進(jìn)行逃脫，通過(guò)式（9）更新個(gè)體位置：

其中，X(t)和X(t+1) 分別表示鷹的當(dāng)前位置和下一次迭代的位置，ΔX(t)表示獵物與鷹當(dāng)前位置的差值，E表示獵物的逃逸能量，J表示獵物在整個(gè)逃逸過(guò)程中的隨機(jī)跳躍強(qiáng)度，Xprey(t)表示獵物的當(dāng)前位置，r表示[0,1]之間的隨機(jī)數(shù)。

2）硬圍攻

獵物沒(méi)有足夠的能量進(jìn)行逃脫。個(gè)體通過(guò)式（10）更新位置：

其中，X(t+1)、Xprey(t)、E和ΔX(t)的含義與式（9）中參數(shù)的含義相同。

3）漸進(jìn)式快速俯沖的軟包圍

獵物有足夠的能量逃脫哈里斯鷹的抓捕，并在突襲之前就進(jìn)行了軟圍攻，個(gè)體位置通過(guò)式（11）更新：

其中，Y表示鷹下一步行動(dòng)的評(píng)估指標(biāo)，J、Xprey(t)、E和X(t)與式(10)中的參數(shù)含義相同。Z表示鷹基于Levy 飛行模式[15]進(jìn)行潛水的指標(biāo)，D表示解空間的維數(shù)，S∈R1×D表示[0,1]之間的隨機(jī)矩陣，Levy表示飛行函數(shù)。

4）漸進(jìn)式快速俯沖的硬包圍

獵物沒(méi)有足夠的能量逃脫，在突襲之前就進(jìn)行了硬圍攻。個(gè)體位置更新公式與式（12）相同，其中Y和Z根據(jù)式（13）進(jìn)行計(jì)算：

Xm(t)代表所有個(gè)體每一維度相對(duì)應(yīng)的平均值，剩余參數(shù)與式（11）相同。

2.2 HHO-APSA算法設(shè)計(jì)

PSA 是一種全局搜索能力很強(qiáng)的算法。但是，由于個(gè)體位置更新方法過(guò)于簡(jiǎn)單，因此其開(kāi)發(fā)能力受到限制，從實(shí)驗(yàn)結(jié)果來(lái)看仍有改善的空間。PSA算法要確保在增強(qiáng)局部開(kāi)發(fā)能力的同時(shí)，對(duì)其全局探索能力不會(huì)產(chǎn)生太大影響。文中通過(guò)HHO 的4 種局部開(kāi)發(fā)策略來(lái)改進(jìn)原始個(gè)體的移動(dòng)方式。

1）種群初始化

哈里斯鷹的4 個(gè)局部捕食策略的連續(xù)切換擴(kuò)大了種群的搜索范圍，避免陷入局部最優(yōu)，并且使該算法在局部范圍內(nèi)更快地找到最優(yōu)解?；谶@4 種開(kāi)發(fā)策略的優(yōu)勢(shì)，將哈里斯鷹的開(kāi)發(fā)策略與光子搜索算法結(jié)合起來(lái)，提出了一種基于哈里斯鷹優(yōu)化的自適應(yīng)光子搜索算法（HHO-APSA）。首先，需要初始化種群，所有個(gè)體均根據(jù)式（14）初始化：

其中，Lb和Ub是上下邊界，r1是[0,1]之間的隨機(jī)數(shù)。

2）改進(jìn)的逃逸能量函數(shù)

HHO 中的逃逸能量E決定了探索與開(kāi)發(fā)之間的轉(zhuǎn)換，原始逃逸能量函數(shù)利用式（15）計(jì)算：

其中，初始能量E0是介于[-1,1]之間的隨機(jī)數(shù)，t是當(dāng)前迭代次數(shù)，T是最大迭代次數(shù)。當(dāng)|E|＜1 時(shí)，該算法處于開(kāi)發(fā)階段。從圖1(a)中可以看出，參數(shù) |E|從2 線性減小到0，這使得 |E|的值在迭代結(jié)束時(shí)完全小于1。換句話說(shuō)，原始HHO 算法在后期僅進(jìn)行局部開(kāi)發(fā)，而完全忽略了全局探索。

基于以上分析，文中提出了一種新的逃逸能量函數(shù)Enew，將Enew作為HHO-APSA 種群遷移策略的切換指標(biāo)：

其中，參數(shù)E0、t、T的含義與式（15）相同，衰減因子μ表示獵物能量的衰減強(qiáng)度。μ值越大，逃逸能量函數(shù)Enew衰減越快。由表1 中10 次測(cè)試結(jié)果的均值和標(biāo)準(zhǔn)差可以看出，μ為0.8 時(shí)優(yōu)化效果較好。如圖1（b）所示，當(dāng)μ=0.8 時(shí)，逃逸能量函數(shù)Enew在250 次迭代后仍能提供足夠的擾動(dòng)。在某些情況下，|Enew|可以大于1。這也表明，在一定概率下，μ可以幫助算法在探索與開(kāi)發(fā)之間取得平衡，并避免陷入局部最優(yōu)狀態(tài)。

表1 衰減因子對(duì)HHO-APSA算法在3個(gè)基準(zhǔn)函數(shù)上的影響

圖1 逃逸能量變化曲線對(duì)比圖

從圖1（b）可以看到，當(dāng)?shù)螖?shù)增加時(shí)，|Enew|總體上呈現(xiàn)一個(gè)下降的趨勢(shì)，它模擬的是獵物逃逸能量的變化過(guò)程。|Enew|=1 是HHO-APSA 算法切換搜索策略的分界線。當(dāng)|Enew|≥1 時(shí)，個(gè)體根據(jù)式（4）、式（5）、式（7）、式（8）移動(dòng)，此時(shí)種群處于全局搜索階段；當(dāng)|Enew|＜1 時(shí)，個(gè)體根據(jù)式（9）、式（10）、式（12）移動(dòng)，此時(shí)種群可以選擇多種移動(dòng)方法，從而擴(kuò)大個(gè)體在特定區(qū)域的移動(dòng)范圍，并增加對(duì)個(gè)體的利用。因此，HHO-APSA 算法可以在搜索空間中尋找到更好的解決方案。簡(jiǎn)言之，PSA 的改進(jìn)可以分為兩部分：1）引入改進(jìn)的逃逸能量函數(shù)Enew，作為探索與開(kāi)發(fā)兩部分之間的切換指標(biāo)；2）引入HHO 的4 種開(kāi)發(fā)策略來(lái)改進(jìn)PSA 的局部開(kāi)發(fā)能力。HHO 開(kāi)發(fā)策略的引入可以使PSA 算法具有更強(qiáng)的局部開(kāi)發(fā)能力，并能找到更準(zhǔn)確的解決方案。算法流程圖如圖2所示。

圖2 HHO-APSA算法流程圖

3 仿真與分析

文中在Matlab 2018b 環(huán)境下對(duì)HHO-APSA 算法進(jìn)行仿真測(cè)試，并與PSA、LSA 和WCA 算法進(jìn)行比較。為了避免實(shí)驗(yàn)出現(xiàn)意外結(jié)果，每個(gè)基準(zhǔn)函數(shù)的優(yōu)化過(guò)程都獨(dú)立重復(fù)10 次，并使用這10 個(gè)結(jié)果的最優(yōu)值、平均值和方差來(lái)評(píng)估HHO-APSA 算法的性能，所有算法的迭代次數(shù)均為500 次。仿真參數(shù)設(shè)置如表2 所示。

表2 仿真參數(shù)設(shè)置

文中選取了6個(gè)經(jīng)典的基準(zhǔn)函數(shù)[16]來(lái)測(cè)試HHOAPSA 算法的性能，表3 中列出了這些基準(zhǔn)函數(shù)的表達(dá)式、自變量的范圍、理論最優(yōu)值等。F1(x)為單峰基準(zhǔn)函數(shù)，F(xiàn)2(x)、F3(x)為多峰基準(zhǔn)函數(shù)。F4(x)、F5(x)、F6(x)為固定維度基準(zhǔn)函數(shù)。6 個(gè)經(jīng)典基準(zhǔn)函數(shù)的基準(zhǔn)測(cè)試數(shù)據(jù)如表4 所示。

表3 基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)

表4 基準(zhǔn)測(cè)試數(shù)據(jù)

收斂曲線如圖3 所示。

由整個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，PSA 的收斂速度非常快，但收斂精度很差，HHO-APSA 算法在很大程度上改善了PSA 算法的收斂精度。從圖3（a）中可以看出，對(duì)于單峰基準(zhǔn)函數(shù)F1(x)，HHO-APSA 的收斂精度相比于PSA 高出約100%，迭代至60 次左右時(shí)收斂，在收斂速度方面相較于HHO 有很大的改善，這證明其具有較強(qiáng)的開(kāi)發(fā)能力，可以更準(zhǔn)確地找到單峰函數(shù)的最優(yōu)值。從圖3（b）和圖3（c）可以看出，對(duì)于多峰基準(zhǔn)函數(shù)F2(x)、F3(x),雖然收斂精度相較于HHO 有較大差異，但是HHO-APSA 算法的收斂速度遠(yuǎn)優(yōu)于HHO，在迭代至70 次左右時(shí)收斂，這是由于在迭代初期使用PSA 進(jìn)行全局探索，加快了算法的收斂速度，在迭代的中后期將衰減因子引入到逃逸能量函數(shù)之中，避免了算法后期陷入局部最優(yōu)，使得HHO-APSA 相較于PSA 可以找到更準(zhǔn)確的解。同時(shí)表明，當(dāng)開(kāi)發(fā)能力得到極大改善時(shí)，其探索能力并沒(méi)有受到過(guò)多的破壞。從圖3（d）-圖3（f）可以看出，對(duì)于固定維數(shù)的基準(zhǔn)函數(shù)F4(x)～F6(x)，除F4(x)之外，HHO-APSA 算法的收斂精度相較于其他算法有較大的提升，并且收斂速度也擁有一定的優(yōu)勢(shì)，大約在迭代至30～50 次之內(nèi)收斂。而且從表4 測(cè)試數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差中可以看出，HHO-APSA 的穩(wěn)定性遠(yuǎn)高于PSA。

圖3 測(cè)試函數(shù)尋優(yōu)收斂曲線

4 結(jié)束語(yǔ)

為了解決PSA 算法局部開(kāi)發(fā)能力的不足，即收斂精度過(guò)低的問(wèn)題，文中提出了一種基于哈里斯鷹優(yōu)化的自適應(yīng)光子搜索算法，即HHO-APSA，其中改進(jìn)涉及到兩個(gè)方面：1）將HHO 的4 種開(kāi)發(fā)策略引入到PSA 中；2）提出了一種新的逃逸能量函數(shù)Enew。為了驗(yàn)證HHO-APSA 的優(yōu)化能力，文中使用6 個(gè)經(jīng)典的基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)對(duì)其進(jìn)行測(cè)試，并將實(shí)驗(yàn)結(jié)果與PSA、HHO、LSA 和WCA 算法進(jìn)行了比較。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，相較于PSA，HHO-APSA 算法在保持探索能力的同時(shí)極大地提高了開(kāi)發(fā)效率，這表明HHO 的4 種開(kāi)發(fā)策略對(duì)HHO-APSA 產(chǎn)生了巨大的影響。在大多數(shù)的測(cè)試結(jié)果中，HHO-APSA 算法的收斂速度都優(yōu)于HHO 算法。下一步的研究方向是將HHOAPSA 算法應(yīng)用到無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化之中。