李 惠, 曾 波, 茍小義, 白 云

(1.重慶工商大學(xué) 管理科學(xué)與工程學(xué)院,重慶 400067 2.重慶工商大學(xué) 工商管理學(xué)院,重慶 400067)

0 引言

灰色預(yù)測(cè)模型是灰色理論的重要組成部分，按變量個(gè)數(shù)可分為單變量灰色預(yù)測(cè)模型和多變量灰色預(yù)測(cè)模型兩類[1]。單變量灰色預(yù)測(cè)模型通過(guò)灰色累加生成算子弱化原始序列隨機(jī)性并挖掘其變化規(guī)律與演化趨勢(shì)，具有變量個(gè)數(shù)少、建模過(guò)程簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)[2]，近年來(lái)得到了更為廣泛的應(yīng)用[3～6]。GM(1,1)模型[7]是鄧聚龍教授最早提出的含一階差分方程一個(gè)變量的灰色預(yù)測(cè)模型，是灰色理論預(yù)測(cè)分支的起點(diǎn)和基礎(chǔ)。目前，GM(1,1)已成為一個(gè)重要的單變量灰色預(yù)測(cè)模型，被廣泛應(yīng)用于國(guó)計(jì)民生的多個(gè)領(lǐng)域[8～10]。

GM(1,1)本質(zhì)上為齊次指數(shù)函數(shù)。然而，當(dāng)建模序列嚴(yán)格滿足齊次指數(shù)特征時(shí)，該模型同樣存在模擬誤差。謝乃明教授較早發(fā)現(xiàn)并對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行了系統(tǒng)分析和深入研究，認(rèn)為GM(1,1)模型參數(shù)估計(jì)源于離散形式的差分方程，而模擬和預(yù)測(cè)采用的是連續(xù)形式的微分方程[11]。從離散形式的估計(jì)到連續(xù)形式的預(yù)測(cè)這一變換過(guò)程存在模型機(jī)理誤差。在此基礎(chǔ)上提出了含一階差分方程一個(gè)變量的離散灰色預(yù)測(cè)模型DGM(1,1)[12]。DGM(1,1)模型能實(shí)現(xiàn)對(duì)齊次指數(shù)序列的無(wú)偏模擬，是對(duì)GM(1,1)模型在建模機(jī)理方面的拓展和優(yōu)化。

然而現(xiàn)實(shí)世界中，大多數(shù)時(shí)間序列呈現(xiàn)出非齊次指數(shù)的特點(diǎn)。在此情況下，DGM(1,1)固有的模型結(jié)構(gòu)導(dǎo)致其面向非齊次指數(shù)序列時(shí)很難得到一個(gè)滿意的預(yù)測(cè)效果。因此，曾波以DGM(1,1)為基礎(chǔ)，通過(guò)引入線性灰作用量構(gòu)建了一個(gè)含三個(gè)參數(shù)的離散灰色預(yù)測(cè)模型TDGM(1,1)[13]。該模型具有結(jié)構(gòu)自適應(yīng)性和面向齊次/非齊次指數(shù)序列及線性函數(shù)序列的無(wú)偏性，是一個(gè)性能良好的單變量灰色預(yù)測(cè)模型。

為了進(jìn)一步提高TDGM(1,1)模型精度，何承香等[14]借助粒子群算法對(duì)模型參數(shù)，包括初始值、背景值系數(shù)及累加生成階數(shù)進(jìn)行了組合優(yōu)化，從實(shí)際應(yīng)用效果來(lái)看，該研究有效提高了TDGM(1,1)的綜合建模性能。進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，累加生成階數(shù)對(duì)模型性能的影響大于模型初始值和背景值系數(shù)的影響，說(shuō)明階數(shù)是影響灰色預(yù)測(cè)模型性能的一個(gè)重要參數(shù)。

曾波等在文獻(xiàn)[15]中提出了面向?qū)崝?shù)域的統(tǒng)一灰色生成算子，實(shí)現(xiàn)了累加生成階數(shù)從R+到R的拓展，同時(shí)解決了灰色累加生成算子與灰色累減還原算子及灰色零化算子的統(tǒng)一問(wèn)題，指出灰色算子階數(shù)可小于0(r<0)，表示該算子具備挖掘時(shí)序數(shù)據(jù)差異信息的功能。然而，當(dāng)前TDGM(1,1)模型中的灰色累加生成算子仍局限于正實(shí)數(shù)R+，其同等重要的序列差異信息挖掘功能未得到充分利用。

為此，本文借助文獻(xiàn)[15]中面向?qū)崝?shù)域統(tǒng)一灰色生成算子的思想，對(duì)TDGM(1,1)模型的累加生成算子進(jìn)行實(shí)數(shù)域拓展和優(yōu)化，在此基礎(chǔ)上構(gòu)建了一個(gè)新的TDGM(1,1)模型，簡(jiǎn)稱TDGM(1,1,r)，其中階數(shù)r∈R。本文詳細(xì)介紹了新模型的定義、參數(shù)估計(jì)方法、模型時(shí)間響應(yīng)式和還原式的推導(dǎo)。本文通過(guò)構(gòu)建TDGM(1,1,r)模型的某裝甲裝備維修費(fèi)用預(yù)測(cè)模型，對(duì)該模型的有效性和實(shí)用性進(jìn)行了檢驗(yàn)，結(jié)果顯示其模型綜合性能優(yōu)于其他同類單變量灰色預(yù)測(cè)模型。

1 灰色累加及累減算子的統(tǒng)一

傳統(tǒng)灰色累加生成算子主要是挖掘原始序列增量信息的預(yù)處理工具，而其逆算子灰色累減算子則主要用于對(duì)累加后的模擬序列作還原處理。實(shí)數(shù)域灰色生成算子[15]通過(guò)引入實(shí)數(shù)δ將灰色生成算子的階數(shù)近似地拓展到了實(shí)數(shù)域，從而實(shí)現(xiàn)了傳統(tǒng)灰色累加生成算子及灰色累減生成算子的統(tǒng)一。

(1)

根據(jù)文獻(xiàn)[15]可知，定義1中通過(guò)r的正負(fù)性可判斷實(shí)數(shù)域灰色生成算子類型，其中，r>0對(duì)應(yīng)累加算子；r<0對(duì)應(yīng)累減算子，因而其具有更強(qiáng)的數(shù)據(jù)預(yù)處理能力。另一方面，r的正負(fù)性可判斷實(shí)數(shù)域灰色生成算子的功能，具體地，當(dāng)r>0，表示獲取序列增量信息的功能；當(dāng)r<0，表示獲取差異信息的功能。因而其能有效滿足不同實(shí)例情況下灰色生成算子對(duì)原始序列數(shù)據(jù)增量或差異信息的挖掘。因此，將實(shí)數(shù)域灰色生成算子運(yùn)用到灰色預(yù)測(cè)模型的構(gòu)建有益于挖掘模型預(yù)處理能力及拓寬模型作用空間的潛力。

2 面向統(tǒng)一灰色生成算子的三參數(shù)離散灰色預(yù)測(cè)模型

以灰色累加及累減算子的統(tǒng)一為基礎(chǔ)，本小節(jié)引入實(shí)數(shù)域灰色生成算子，構(gòu)建了預(yù)處理能力更強(qiáng)、作用空間更廣的面向統(tǒng)一灰色生成算子的三參數(shù)離散灰色預(yù)測(cè)模型。

2.1 模型定義

(2)

為面向統(tǒng)一灰色生成算子的三參數(shù)離散灰色預(yù)測(cè)模型，簡(jiǎn)稱TDGM(1,1,r)模型。其中，階數(shù)r∈R，特別地，當(dāng)r<0時(shí)，灰色生成算子對(duì)原始序列差異信息的挖掘功能在TDGM(1,1,r)模型中首次得以體現(xiàn)，有效增加了模型的作用空間和適應(yīng)性。

2.2 模型求解方法

(3)

證明略。

(1)TDGM(1,1,r)的時(shí)間響應(yīng)式為

(4)

(2)TDGM(1,1,r)的還原式為

(5)

3 應(yīng)用舉例：裝甲裝備維修經(jīng)費(fèi)預(yù)測(cè)

裝備維修經(jīng)費(fèi)是用于武器裝備維護(hù)、修理及維修器材、設(shè)備購(gòu)置等相關(guān)保障活動(dòng)的經(jīng)費(fèi)，是裝備經(jīng)費(fèi)的重要組成部分[16]。裝甲裝備是裝備維修經(jīng)費(fèi)按專業(yè)劃分中的一項(xiàng)。目前，裝甲裝備維修經(jīng)費(fèi)存在發(fā)展趨勢(shì)判斷不準(zhǔn)、經(jīng)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)不盡合理等問(wèn)題[17]。預(yù)測(cè)裝甲裝備維修經(jīng)費(fèi)總量，可為裝甲裝備維修經(jīng)費(fèi)配置及管理提供科學(xué)依據(jù)。

表1 裝備維修經(jīng)費(fèi)投入

以某單位 2010～2018 年裝甲裝備維修經(jīng)費(fèi)為例(數(shù)據(jù)來(lái)自文獻(xiàn)[16]，詳見(jiàn)表1)，預(yù)測(cè)該單位未來(lái)5年經(jīng)費(fèi)投入。針對(duì)該單位樣本數(shù)量少及規(guī)律性不強(qiáng)的特點(diǎn)，構(gòu)建了基于TDGM(1,1,r)的裝甲裝備維修經(jīng)費(fèi)投入預(yù)測(cè)模型。

具體地，選取前7個(gè)數(shù)據(jù)為建模序列，后2個(gè)數(shù)據(jù)為預(yù)測(cè)序列，其中,

=(593,586,…,1539)

使用MATLAB及PSO算法(MATLAB自帶)構(gòu)造TDGM(1,1,r)模型并得到最優(yōu)階數(shù)r*=-0.119996，表明當(dāng)r*=-0.119996時(shí)，TDGM(1,1,r)模型對(duì)該單位裝甲裝備維修經(jīng)費(fèi)預(yù)測(cè)具有最佳的模擬性能。在本例中，r*=-0.119996<0，階數(shù)r突破了傳統(tǒng)灰色模型階數(shù)取值為r>0的約束，表示灰色生成算子具備挖掘時(shí)序數(shù)據(jù)差異信息的功能，且對(duì)原始序列差異信息的挖掘功能得到了有效應(yīng)用。

進(jìn)一步，根據(jù)TDGM(1,1,r)模型可得到裝甲裝備維修經(jīng)費(fèi)模擬值/預(yù)測(cè)值，并可計(jì)算殘差、相對(duì)模擬/預(yù)測(cè)誤差。模擬/預(yù)測(cè)誤差的公式如下:

(6)

為比較TDGM(1,1,r)模型中r取值不同對(duì)模型性能的影響，本文分別取r=r*,0.1,0.5,1對(duì)該裝甲裝備維修經(jīng)費(fèi)進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果見(jiàn)表2。

(7)

表2 不同模型對(duì)裝甲裝備維修經(jīng)費(fèi)的模擬與預(yù)測(cè)結(jié)果

表3 不同模型的誤差對(duì)比

圖1 不同模型誤差柱狀對(duì)比圖

圖2 裝甲裝備維修經(jīng)費(fèi)增長(zhǎng)曲線圖

為直觀地對(duì)比不同模型的誤差，根據(jù)表3計(jì)算結(jié)果繪制階數(shù)取值不同所對(duì)應(yīng)模型的誤差柱狀對(duì)比圖，如圖1所示。

根據(jù)圖1可知，四種模型的平均相對(duì)預(yù)測(cè)誤差柱狀都較低，且r=0.1, 0.5, 1所對(duì)應(yīng)模型的平均相對(duì)模擬誤差及綜合百分誤差柱狀圖明顯高于r=r*所對(duì)應(yīng)模型。因此，r=r*時(shí)模型性能最佳。進(jìn)一步，根據(jù)表3結(jié)果，r=r*時(shí)模型綜合精度為94.56%，精度等級(jí)為II級(jí)，可用于預(yù)測(cè)。

應(yīng)用TDGM(1,1,r)模型對(duì)該單位2019～2023年裝甲裝備維修經(jīng)費(fèi)投入進(jìn)行預(yù)測(cè)，結(jié)果如表4所示。

根據(jù)表1及表4繪制2010～2023年裝甲裝備維修經(jīng)費(fèi)增長(zhǎng)曲線圖，如圖2所示。

根據(jù)表4預(yù)測(cè)結(jié)果可知，到2023年，裝甲裝備的維修經(jīng)費(fèi)將近24+32萬(wàn)元，較2010年上漲3倍之多。同時(shí)根據(jù)圖3，可以直觀地看出歷年來(lái)裝甲裝備維修經(jīng)費(fèi)投入總體呈現(xiàn)上漲趨勢(shì)，特別地，裝甲裝備維修經(jīng)費(fèi)在未來(lái)五年的投入均較穩(wěn)定的增漲，且增長(zhǎng)趨勢(shì)較往年平均趨勢(shì)更為陡峭。該預(yù)測(cè)對(duì)未來(lái)裝甲裝備維修經(jīng)費(fèi)投入具有一定的參考價(jià)值，可為裝備維修經(jīng)費(fèi)總量的投入、管理、分配提供科學(xué)依據(jù)，避免造成預(yù)算過(guò)度。

表4 2019～2023年裝甲裝備維修經(jīng)費(fèi)投入預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)

4 結(jié)論

灰色生成算子挖掘原始序列增量信息的功能已得到大量運(yùn)用，而其挖掘原始序列差異信息的功能未得到有效利用。為此，本文引入實(shí)數(shù)域統(tǒng)一灰色生成算子構(gòu)造了面向r-RGO的三參數(shù)離散灰色預(yù)測(cè)模型，該模型中階數(shù)的正負(fù)性可用于判定灰色生成算子功能，特別地，r<0表明灰色生成算子具有對(duì)原始序列差異信息挖掘功能，該功能在TDGM(1,1,r)模型中首次體現(xiàn)。將TDGM(1,1,r)模型應(yīng)用于裝甲裝備維修經(jīng)費(fèi)的預(yù)測(cè)，結(jié)果顯示灰色算子r<0,突破了傳統(tǒng)灰色模型階數(shù)取值r>0的約束，同時(shí)灰色生成算子挖掘原始序列差異信息的功能得到了有效應(yīng)用。

本文通過(guò)構(gòu)建新型灰色預(yù)測(cè)模型及案例應(yīng)用驗(yàn)證了挖掘原始序列差異信息也是重要數(shù)據(jù)預(yù)處理手段。如何將灰色生成算子差異信息挖掘功能應(yīng)用于其他灰色預(yù)測(cè)模型是本團(tuán)隊(duì)下一步擬研究的主要內(nèi)容。