張 權(quán), 莫禎祥, 李艷君, 韓 旸

(齊齊哈爾大學(xué) 理學(xué)院,黑龍江 齊齊哈爾 161006)

0 引言

沖擊模型中強(qiáng)度的預(yù)測(cè)[1]一文中已經(jīng)給出了自回歸強(qiáng)度沖擊模型(Autoregressive Shock，簡(jiǎn)記為ARS(p))中沖擊對(duì)將來(lái)影響的預(yù)測(cè)問(wèn)題。這個(gè)問(wèn)題的局限是模型僅與以前時(shí)刻的自身沖擊有關(guān)，而文章具有隨機(jī)擾動(dòng)強(qiáng)度沖擊模型的預(yù)測(cè)[2]一文中，又僅僅討論了將來(lái)系統(tǒng)與以前進(jìn)入系統(tǒng)的隨機(jī)干擾存在一定關(guān)系。非常自然的考慮到一個(gè)問(wèn)題，是否有這樣的沖擊系統(tǒng)，它不僅與以前時(shí)刻的自身值有關(guān)，而且還與以前進(jìn)入系統(tǒng)的隨機(jī)干擾存在一定關(guān)系？本文將討論兩種模型的結(jié)合，既考慮自身退化的影響也考慮外部環(huán)境沖擊的干擾，稱之為退化沖擊強(qiáng)度自回歸移動(dòng)平均模型(Autoregressive Moving Average Shock，簡(jiǎn)記為ARMAS(p,q)模型)，其中參數(shù)p代表系統(tǒng)自身退化的階數(shù)，q代表隨機(jī)擾動(dòng)的階數(shù)。沖擊模型研究的中心問(wèn)題是系統(tǒng)失效時(shí)間或系統(tǒng)壽命。現(xiàn)有的文獻(xiàn)都是以傳統(tǒng)的沖擊模型為主要考慮對(duì)象，如：

(i)逐次沖擊的強(qiáng)度累積值落入某參數(shù)區(qū)域?qū)е孪到y(tǒng)失效[3]；

(ii)單個(gè)沖擊的強(qiáng)度落入某參數(shù)區(qū)域?qū)е孪到y(tǒng)失效[4,5]；

(iii)相繼k次沖擊的強(qiáng)度均落入某參數(shù)區(qū)域?qū)е孪到y(tǒng)失效[6]。

這些模型都是用來(lái)刻畫在隨機(jī)環(huán)境下工作系統(tǒng)的失敗、維修等壽命現(xiàn)象。如置于動(dòng)力車間中的精密儀表系統(tǒng)將會(huì)收到一些設(shè)備的運(yùn)轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的隨機(jī)沖擊等。最近，許多具有Phase-type 分布的沖擊模型被廣泛研究。比如 Montoro-Cazorla et al.[7]應(yīng)用 phase-type分布研究了具有策略N的沖擊模型。 Montoro-Cazorla et al.[8]中提出了具有馬爾科夫到達(dá)過(guò)程的沖擊模型。Montoro-Cazorla and Pe′rez-Oco′n[9]又提出了具有三類維修的隨機(jī)退化沖擊模型。 還有許多關(guān)于沖擊模型[10～12]的工作，詳見(jiàn)Montoro-Cazorla and Pérez-Ocón[13], Montoro-Cazorla and Pérez-Ocón[14]，Tang and Lam[15]。但這些工作均沒(méi)有提出過(guò)對(duì)沖擊強(qiáng)度作預(yù)測(cè)的模型，目前，僅有的兩篇關(guān)于沖擊強(qiáng)度的預(yù)測(cè)問(wèn)題的文章是沖擊模型中強(qiáng)度的預(yù)測(cè)和具有隨機(jī)擾動(dòng)強(qiáng)度沖擊模型，但又都有一定的局限。本文建立了ARMAS(p,q)沖擊強(qiáng)度估計(jì)的模型，克服了上面兩篇文章的局限，并利用線性最小方差的方法給出了第η步?jīng)_擊的強(qiáng)度預(yù)測(cè)值Yt+n|Yt,Yt-1…的置信度為1-α的置信區(qū)間。從而為保護(hù)系統(tǒng)能提前做出有效的預(yù)防。本文的結(jié)構(gòu)如下：第一部分提出了退化沖擊模型ARMAS(p,q)；第二部分推導(dǎo)了退化沖擊ARMAS(p,q)模型的方差；第三部分給出了退化沖擊強(qiáng)度未來(lái)n步Y(jié)t+n的估計(jì)和正態(tài)假設(shè)下的模型的區(qū)間估計(jì)；最后是本文的結(jié)論。

1 退化沖擊預(yù)測(cè)模型ARMAS(p,q)的建立

假設(shè)退化沖擊系統(tǒng)不僅與以前時(shí)刻進(jìn)入系統(tǒng)的自身值有關(guān)，而且還與以前進(jìn)入系統(tǒng)的隨機(jī)干擾存在一定的關(guān)系，Yt-1,Yt-2,…是已知自身的退化歷史信息，εt,εt-1,εt-2,…是外部隨機(jī)沖擊干擾信息，且Yt是歷史數(shù)據(jù)信息Yt-1,Yt-2,…及外部隨機(jī)沖擊信息εt,εt-1,εt-2,…的線性函數(shù)。線性最小方差預(yù)測(cè)公式比較簡(jiǎn)單，只要知道歷史值Yt-1,Yt-2,…便可以得到任意步長(zhǎng)的預(yù)測(cè)值，正因?yàn)槟Ｐ偷慕：皖A(yù)測(cè)的簡(jiǎn)單性，它成為預(yù)測(cè)中應(yīng)用最廣泛的方法。而且這種反映外部沖擊持續(xù)影響的特性，線性模型是比較合理的。建模如下:Y1=φ1Yt-1+φ2Yt-2+…+φpYt-p+εt-θ1εt-1-…-θqεt-q,稱此模型為自回歸移動(dòng)平均退化沖擊模型，簡(jiǎn)記為：ARMAS(p,q)。此模型不僅考慮了自身的退化，也考慮了外部的沖擊所帶來(lái)的影響。

模型假設(shè):

(2)φ=(φ1,…,φp)為模型的自回歸系數(shù)，θ=(θ1,…,θq)為移動(dòng)平均系數(shù)；

(3)εt與Yt-i(i=1,2,…)不相關(guān)。即EYSεt=0,?S

(4)φp≠0,θq≠0；

(5)Yt由兩部分構(gòu)成，一部分依賴于自身退化信息Yt-1,Yt-2,…，令一部分則依賴于與自身退化信息Yt-1,Yt-2,…不相關(guān)的隨機(jī)沖擊干擾εt,εt-1,εt-2,…；

(6)引進(jìn)延遲算子B，退化沖擊沖擊ARMAS(p,q)模型可記為Φ(B)Yt=Θ(B)εt，稱為自回歸移動(dòng)平均退化沖擊模型。其中Φ(B)=1-φ1B-φ2B2-…-φpBp,Θ(B)=1-θ1B-θ2B2-…-θ2B2-…-θqBq，稱為延遲算子多項(xiàng)式。且假設(shè)λi(i=1,…,p)為此差分方程的特征根，有|λi|<1。

顯然，當(dāng)q=0時(shí)，ARMAS(p,q)模型就退化成了ARS(p)模型；當(dāng)p=0時(shí)，ARMAS(p,q)模型就退化成了MA(q)沖擊模型。這兩個(gè)特殊情況見(jiàn)參考文獻(xiàn)[1,2]。

圖1 軸向減速器截面圖

2 ARMAS(p,q)退化沖擊預(yù)測(cè)模型的方差

2.1 模型ARMAS(p,q)的Green函數(shù)及模型的方差

定理1退化沖擊模型ARMAS(p,q)的格林公式

因此模型ARMAS(p,q)的格林函數(shù)為

則稱Gj為Green函數(shù)。

模型格林函數(shù)的意義：

(1)退化沖擊模型的格林函數(shù)Gj是前j個(gè)時(shí)間單位以前進(jìn)入系統(tǒng)的外部沖擊εt-j對(duì)系統(tǒng)Yt現(xiàn)在行為影響的權(quán)數(shù)，Gj越大，過(guò)去的沖擊對(duì)t時(shí)刻系統(tǒng)Yt的影響也就越大。

(2)退化沖擊模型的格林函數(shù)Gj刻畫了系統(tǒng)Yt隨時(shí)間變化的動(dòng)態(tài)響應(yīng)規(guī)律，是系統(tǒng)自身和外部環(huán)境影響的真實(shí)描述。

(3)退化沖擊模型的格林函數(shù)Gj決定了外部沖擊的影響權(quán)重，如果Gj→0(j→∞)，則過(guò)去外部環(huán)境沖擊的影響逐漸衰減。如果當(dāng)→∞時(shí)，Gj不收斂于零，那么過(guò)去沖擊的影響隨時(shí)間推移而不衰減，顯然，這樣的系統(tǒng)方差將無(wú)窮大，是不平穩(wěn)的，不是本文討論的范圍。

3 退化沖擊ARMAS(p,q)模型未來(lái)n步Y(jié)t+n的預(yù)測(cè)

3.1 模型ARMAS(p,q)系統(tǒng)Yt的第n步預(yù)測(cè)值

3.2 正態(tài)假設(shè)下退化沖擊模型ARMAS(p,q)預(yù)測(cè)值Yt+n的置信區(qū)間

4 實(shí)例分析

(2)預(yù)測(cè)的方差,由格林函數(shù)遞推公式得:

未來(lái)三個(gè)時(shí)刻(步長(zhǎng)均為1年)95%的置信區(qū)間如表所示:

表1 未來(lái)三個(gè)時(shí)刻(步長(zhǎng)均為1年)95%的置信區(qū)間

圖2 未來(lái)三期預(yù)測(cè)值Yt的走勢(shì)及其置信區(qū)間

從表1中的數(shù)據(jù)和圖2可看出，如果不在受到外界的隨機(jī)沖擊的影響，當(dāng)期的沖擊對(duì)未來(lái)的影響相對(duì)要逐漸減弱。當(dāng)期的沖擊對(duì)臨近時(shí)刻的影響較大。這個(gè)與理論中給出的格林函數(shù)值的影響相符。

5 結(jié)論

沖擊模型本身在科學(xué)、技術(shù)、經(jīng)濟(jì)與管理等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用前景，此模型的提出，為沖擊模型的研究框架的進(jìn)一步擴(kuò)展提供了理論支撐，將使得更深刻的理論結(jié)果的出現(xiàn)和更重要的應(yīng)用價(jià)值的產(chǎn)生成為可能。此模型不僅與以前時(shí)刻的自身沖擊值有關(guān)，而且還與以前進(jìn)入系統(tǒng)的隨機(jī)干擾存在一定關(guān)系，擴(kuò)展了沖擊模型中強(qiáng)度的預(yù)測(cè)問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題的局限是模型僅與以前時(shí)刻的自身沖擊有關(guān)。同時(shí)，也克服了僅僅討論了將來(lái)系統(tǒng)與以前進(jìn)入系統(tǒng)的隨機(jī)干擾存在一定關(guān)系局限。本文提出的模型將兩個(gè)模型的特點(diǎn)融合在一起，并結(jié)合歷史數(shù)據(jù)信息，給出了沖擊強(qiáng)度未來(lái)n步的預(yù)測(cè)值，并在正態(tài)假設(shè)下，推導(dǎo)出預(yù)測(cè)值的置信水平為1-α的置信區(qū)間。