劉久兵, 彭莉莎, 李華雄, 黃 兵, 周獻(xiàn)中

(1.汕頭大學(xué) 商學(xué)院,廣東 汕頭 515063; 2.南京大學(xué) 工程管理學(xué)院,江蘇 南京 210093; 3.南京審計(jì)大學(xué) 信息工程學(xué)院,江蘇 南京 211815)

0 引言

加拿大華人學(xué)者姚一豫教授等人根據(jù)貝葉斯最小風(fēng)險(xiǎn)決策理論首次提出決策粗糙集模型，該模型將Pawlak粗糙集的等價(jià)關(guān)系放寬為概率包含關(guān)系，使其對(duì)數(shù)據(jù)的處理具有容錯(cuò)能力[1]。近年來(lái)，有關(guān)決策粗糙集的研究贏得學(xué)者的廣泛關(guān)注，并后續(xù)發(fā)展為三支決策理論與方法[2,5]。同時(shí)，三支決策理論與方法廣泛應(yīng)用于多屬性決策[3]、推薦系統(tǒng)[4]、三支聚類[5]等諸多領(lǐng)域。

在三支決策理論與方法中，決策粗糙集概率閾值對(duì)的確定是重要研究問題之一。國(guó)內(nèi)外學(xué)者就此問題提出了諸多方法。Yao等[1]提出經(jīng)典決策粗糙集模型，并理論上導(dǎo)出概率閾值對(duì)的解析解或數(shù)學(xué)表達(dá)式，為概率粗糙集模型中的閾值確定提供了合理的語(yǔ)義解釋。Herbert和Yao[6]提出基于博弈決策粗糙集的閾值確定方法。Jia等[7]構(gòu)建一種自適應(yīng)學(xué)習(xí)算法來(lái)確定決策粗糙集的閾值對(duì)?？紤]到?jīng)Q策粗糙集代價(jià)損失函數(shù)的不確定性描述，Liang和Liu等系統(tǒng)研究了代價(jià)損失函數(shù)分別以區(qū)間數(shù)[8]、直覺模糊集[9]、勾股模糊集[10]等形式描述的經(jīng)典決策粗糙集拓展模型,通過拓展模型能有效獲取三支決策規(guī)則，但在一些情形下仍然存在難以確定閾值對(duì)的不足。為此,Liu等[11]結(jié)合閾值對(duì)的實(shí)踐語(yǔ)義提出經(jīng)典決策粗糙集的等價(jià)模型，并將該等價(jià)模型推廣到區(qū)間、三角模糊和直覺模糊環(huán)境中，建立基于優(yōu)化表示的概率閾值確定方法，為三支決策閾值確定及規(guī)則獲取提供了新思路。顯然，上述提及的模型主要是基于單個(gè)決策者給出的損失函數(shù)評(píng)價(jià)矩陣構(gòu)建的。事實(shí)上，單個(gè)決策者給出的損失函數(shù)評(píng)價(jià)往往存在單一性和片面性且難以反映代價(jià)損失函數(shù)的真實(shí)風(fēng)險(xiǎn),而專家群體決策能集成不同領(lǐng)域的專家智慧和知識(shí)，這為群決策背景下的三支決策提供了新路徑。自2016年以來(lái)，一些學(xué)者亦做了這方面的研究并取得一些成果。Liang等[12]從區(qū)間信息粒化的角度研究專家群體的區(qū)間值損失函數(shù)集成及三支群決策方法。Sun等[3]將語(yǔ)言信息引入代價(jià)損失函數(shù)中，提出基于語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)評(píng)價(jià)的三支群決策模型。Liu等[13]針對(duì)直覺模糊偏好信息下專家權(quán)重完全已知的三支群決策問題，提出基于優(yōu)化模型的直覺模糊三支決策閾值確定及三支群決策方法。最近，Zhang和Yang[14]研究基于集成蘊(yùn)含測(cè)度的區(qū)間三支群決策方法。

值得注意的是，上述提出的三支群決策方法是以專家權(quán)重信息完全已知為前提，而目前對(duì)專家權(quán)重信息完全未知或部分已知情形下的三支群決策問題研究較少。實(shí)際決策過程中，決策者或?qū)＜彝茈y提供確切的專家權(quán)重信息，而相對(duì)容易獲取部分權(quán)重甚至完全無(wú)法獲取專家權(quán)重信息。為此，我們有必要探究群決策環(huán)境下專家權(quán)重完全未知或部分已知的三支決策概率閾值確定及三支決策方法?？紤]到區(qū)間直覺模糊集在評(píng)價(jià)決策粗糙集代價(jià)損失函數(shù)時(shí)能集成區(qū)間數(shù)和直覺模糊集評(píng)價(jià)二者的優(yōu)勢(shì)，本文將區(qū)間直覺模糊集引入代價(jià)損失函數(shù)中，設(shè)計(jì)了區(qū)間直覺模糊偏好信息下專家權(quán)重信息未知的三支群決策機(jī)制，并提出基于專家權(quán)重信息未知的區(qū)間直覺模糊三支群決策方法。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 區(qū)間直覺模糊集

進(jìn)一步地，下面給出一種區(qū)間直覺模糊集的相似性測(cè)度。

其中|O|為集合O的基數(shù)。Zhang和Jiang指出[15],0≤S(A,B)≤1且S(A,B)越大,A和B越相似。

2 基于專家權(quán)重未知的區(qū)間直覺模糊三支群決策

2.1 區(qū)間直覺模糊三支群決策問題描述

在這里，我們將區(qū)間直覺模糊集引入決策粗糙集的群代價(jià)損失函數(shù)評(píng)價(jià)中，進(jìn)而延伸出區(qū)間直覺模糊三支群決策問題：假設(shè)Ω={C,C}為兩種狀態(tài)集，分別代表對(duì)象屬于C和不屬于C兩種狀態(tài)，A={αP,αB,αN}分別表示接受決策、延遲決策和拒絕決策三種決策行動(dòng)。顯然，兩種狀態(tài)下采取三種行動(dòng)將產(chǎn)生六種代價(jià)損失λPP,λPN,λBP,λBN,λNP和λNN。考慮到?jīng)Q策者通常難以對(duì)這些代價(jià)損失給出具體的實(shí)值評(píng)價(jià)，相對(duì)容易給出區(qū)間直覺模糊集評(píng)價(jià)，而表1給出了群決策環(huán)境下專家ek(k=1,2,…,n)關(guān)于對(duì)象集O={o1,o2,…,om}的區(qū)間直覺模糊損失函數(shù)評(píng)價(jià)值,其中分別為專家在上述六種代價(jià)損失函數(shù)下的評(píng)價(jià)結(jié)果。設(shè)專家權(quán)重向量為W=(w1,w2,…,wn)T,滿足且wk≥0?；谝陨闲畔?，如何獲取對(duì)象oi(i=1,2,…,m)的三支決策規(guī)則？

表1 專家ek關(guān)于m個(gè)對(duì)象的區(qū)間直覺模糊損失函數(shù)評(píng)價(jià)值

對(duì)于表1,考慮六種損失函數(shù)參數(shù)的一種合理情形，即滿足：

(2)

(3)

(4)

(5)

值得注意的是，專家在實(shí)際決策中往往很難給出權(quán)重向量W=(w1,w2,…,wn)T的具體值。因此，本文著重討論專家權(quán)重信息完全未知和部分已知情形下的區(qū)間直覺模糊三支群決策規(guī)則獲取問題。根據(jù)文獻(xiàn)[16]的結(jié)果，專家權(quán)重信息部分已知滿足下列約束中的一種或多種。

約束1弱排序關(guān)系：{wj≥wk},其中j≠k;

約束2嚴(yán)格序關(guān)系：{wj-wk≥αj},其中αj≥0且j≠k;

約束3嚴(yán)格倍數(shù)關(guān)系：{wj≥αjwk},其中0≤αj≤1且j≠k;

約束4區(qū)間序關(guān)系：{αj≤wj≤αj+εj},其中0≤αj≤αj+εj≤1;

約束5差異序關(guān)系：{wj-wk≥wl-wr},其中j≠k≠l≠r。

在此基礎(chǔ)上，本文提出基于專家權(quán)重信息未知的區(qū)間直覺模糊三支群決策方法，包括兩個(gè)決策過程: 專家權(quán)重確定和區(qū)間直覺模糊三支決策概率閾值確定。下面首先探究區(qū)間直覺模糊三支群決策下專家權(quán)重確定模型的構(gòu)建。

2.2 區(qū)間直覺模糊三支群決策下專家權(quán)重確定模型

我們首先定義了區(qū)間直覺模糊線性加權(quán)平均(IVIFLWA)算子(即定義3)如下：

(6)

顯然，式(6)集結(jié)結(jié)果仍為區(qū)間直覺模糊數(shù)。因此,利用該集結(jié)算子可集成不同專家提供的損失函數(shù)評(píng)價(jià)信息，獲得綜合損失函數(shù)評(píng)價(jià)結(jié)果,進(jìn)而利用(1)來(lái)度量專家個(gè)體評(píng)價(jià)與綜合評(píng)價(jià)的相似程度。易知，越高的相似測(cè)度值表明該專家個(gè)體評(píng)價(jià)與群體綜合評(píng)價(jià)越接近，則其越能代表專家群體的綜合評(píng)價(jià)意見，因而賦予較高的專家權(quán)重[17]。為此，下面建立權(quán)重信息完全未知和部分已知的專家權(quán)重確定模型。

2.2.1 專家權(quán)重完全未知情形下的權(quán)重確定模型

我們采用優(yōu)化技術(shù)(如LINGO軟件)求解Z1-model,獲得專家權(quán)重W=(w1,w2,…,wn)T,類似地, 下面建立基于專家權(quán)重信息部分已知的權(quán)重確定模型。

2.2.2 專家權(quán)重部分已知情形下的權(quán)重確定模型

正如2.1部分所言，專家權(quán)重信息部分已知滿足約束1～5中的一種或多種。顯然，這些約束可作為構(gòu)建的模型的附加約束條件，從而添加到模型約束條件中。例如，若滿足約束1和2,則W∈D={(w1,w2,…,wn)|wj≥wk∧wj-wk≥αj∧j≠k∧αj≥O}將添加到構(gòu)建的模型約束條件中。根據(jù)上述分析，我們建立基于專家權(quán)重部分已知的權(quán)重確定模Z2-model。

對(duì)于Z2-model,我們?nèi)圆捎肔INGO求解并獲得專家權(quán)重W=(w1,w2,…,wn)T。綜上可知，不管專家權(quán)重是完全未知還是部分已知，采用構(gòu)建的優(yōu)化模型均可確定專家權(quán)重計(jì)算綜合損失函數(shù)值。進(jìn)而建立區(qū)間直覺模糊三支群決策概率閾值確定模型，以便獲得對(duì)象oi(i=1,2,…,m)的三支決策規(guī)則。

2.3 區(qū)間直覺模糊三支群決策概率閾值確定模型

我們首先給出一種區(qū)間直覺模糊數(shù)排序方法及引理1,具體如下：

(7)

特別地, 文獻(xiàn)[18]指出，s(a)越大，區(qū)間直覺模糊數(shù)a越優(yōu)。

根據(jù)定義4和引理1,我們可導(dǎo)出命題1。

(·=P,B,N)

(8)

結(jié)合貝葉斯最小風(fēng)險(xiǎn)決策理論，可得如下決策規(guī)則：

采用式(7 )對(duì)區(qū)間直覺模糊數(shù)排序，則決策規(guī)則(P1)～(N1)可轉(zhuǎn)化為:

進(jìn)一步地,我們將文獻(xiàn)[11]中的方法推廣到區(qū)間直覺模糊三支決策概率閾值確定中，結(jié)合(P2)～(N2)建立基于優(yōu)化視角的區(qū)間直覺模糊三支決策閾值確定模型，即對(duì)任意的i=1,2,…,m,恒有：

根據(jù)上述構(gòu)建的優(yōu)化模型，我們可得下列命題。

證明命題2的證明過程與文獻(xiàn)[11]類似。

3 基于專家權(quán)重信息未知的區(qū)間直覺模糊三支群決策方法

下面給出所提出決策方法的詳細(xì)步驟：

4 算例分析

針對(duì)人機(jī)任務(wù)分配問題，現(xiàn)有方法更多側(cè)重于構(gòu)建多目標(biāo)決策模型或優(yōu)化模型獲得確定性的任務(wù)分配方案，即單元任務(wù)確定性地分配給航天員或自動(dòng)控制系統(tǒng)，體現(xiàn)更多的是硬求解策略。在實(shí)際應(yīng)用中，載人航天單元任務(wù)在信息不充分或獲取信息代價(jià)較高情形下有時(shí)無(wú)法作出這種即時(shí)性的確定性決策?；诖耍Q策考慮到該決策行為的不確定性和風(fēng)險(xiǎn)，將相對(duì)確定域(決策正域和負(fù)域)和相對(duì)不確定域(決策邊界域)分開，并給出相應(yīng)類別的決策結(jié)果，為載人航天的系統(tǒng)任務(wù)分配提供了軟求解策略方案。我們的分配策略是確定性分配給航天員的單元任務(wù)即決策正域POS(C)分給航天員操作;完全拒絕分配給航天員的單元任務(wù)即決策負(fù)域NEG(C)才分給自動(dòng)控制系統(tǒng)操作；考慮到人在處理模糊、不精確信息方面的優(yōu)勢(shì)，對(duì)于邊界域單元任務(wù)BND(C)將分給人進(jìn)行操作以便于修正。下面以載人航天任務(wù)分配為例探究船載系統(tǒng)故障時(shí)功能恢復(fù)(o1)、控制載人航天器使其繞質(zhì)心運(yùn)動(dòng)(o2)、與其它飛行器的交會(huì)對(duì)接(o3)等任務(wù)分配方案。航天員結(jié)合他們專業(yè)素質(zhì)易將上述任務(wù)分為他們認(rèn)為容易完成的任務(wù)(C)和難以完成的任務(wù)(C)兩種狀態(tài)。 現(xiàn)有三位專家e1,e2和e3在上述兩種狀態(tài)下對(duì)單元任務(wù)o1,o2和o3選擇操作(aP)、進(jìn)一步考慮(aB)和不予操作(aN)后的代價(jià)損失采用區(qū)間直覺模糊值進(jìn)行評(píng)價(jià)，詳見表2～4。設(shè)專家權(quán)重向量W=(w1,w2,w3)T,滿足部分權(quán)重信息：w1≥0.5,w1-2w3≤w2和0.1≤w3≤0.3及情形1:條件概率Pr(C|[o1])=0.7500,Pr(C|[o2])=0.5000和Pr(C|[o3])=0.2500。根據(jù)以上提供的信息，三種單元任務(wù)如何決策？

表2 專家e1給出的區(qū)間直覺模糊損失評(píng)價(jià)值

表3 專家e2給出的區(qū)間直覺模糊損失評(píng)價(jià)值

表4 專家e3給出的區(qū)間直覺模糊損失評(píng)價(jià)值

采用本文提出的方法進(jìn)行決策，具體步驟如下：

(0.45-0.45w1-0.8w2-0.6w3)2+(0.55-0.55w1-0.9w2-0.8w3)2+

(0.1-0.1w1-0.15w2-0.05w3)2+(0.3-0.3w1-0.2w2-0.15w3)2+

(0.6-0.6w1-0.7w2-0.7w3)2+(0.7-0.7w1-0.8w2-0.75w3)2+

(0.1-0.1w1-0.1w2-0.15w3)2+(0.2-0.2w2-0.3w2-0.3w3)2+

進(jìn)而構(gòu)建專家權(quán)重信息部分已知情形下的權(quán)重確定模型:

Z2-model

maxZ2(w1,w2,…,wn)

步驟2采用LINGO求解上述模型，并計(jì)算出專家權(quán)重W=(0.5000,0.3227,0.1773)T。進(jìn)一步地，計(jì)算出專家群體的綜合區(qū)間直覺模糊損失函數(shù)評(píng)價(jià)矩陣，詳見表5。

為了突出本文提出方法的優(yōu)勢(shì)，設(shè)上述情形1中的條件概率分別更改為情形2:Pr(C|[o1])=0.5500,Pr(C|[o2])=0.4500,Pr(C|[o3])=0.3500或情形 3:Pr(C|[o1])=0.9000,Pr(C|[o2])=0.6000,Pr(C|[o3])=0.3000或情形4:Pr(C|[o1])=0.1500,Pr(C|[o2])=0.3600,Pr(C|[o3])=0.8500。類似地，采用本文提出方法直接可得o1∈BNG(C),o2∈BNG(C),o3∈NEG(C)或o1∈POS(C),o2∈POS(C),o3∈NEG(C)或o1∈NEG(C),o2∈NEG(C),o3∈POS(C),進(jìn)而獲得三種單元任務(wù)的人機(jī)任務(wù)分配方案。

表5 3個(gè)對(duì)象的區(qū)間直覺模糊群綜合損失函數(shù)評(píng)價(jià)結(jié)果

表6 子任務(wù)的三支決策概率閾值對(duì)及人機(jī)任務(wù)分配方案

5 總結(jié)與展望

本文提出基于專家權(quán)重未知的區(qū)間直覺模糊三支群決策方法。首先采用IVIFLWA算子集結(jié)專家給出的區(qū)間直覺模糊損失評(píng)價(jià)信息，以獲取群體綜合損失評(píng)價(jià)結(jié)果。然后根據(jù)專家個(gè)體與群體綜合評(píng)價(jià)相似度越高，其越能反映群體綜合評(píng)價(jià)意見且賦予高的專家權(quán)重為原則建立專家權(quán)重確定模型。進(jìn)一步地，結(jié)合基于相似測(cè)度函數(shù)的區(qū)間直覺模糊排序法討論了群體綜合損失函數(shù)之間的關(guān)系，并建立基于優(yōu)化表示的區(qū)間直覺模糊三支群決策閾值確定模型及三支群決策機(jī)制。最后，采用人機(jī)任務(wù)分配算例說明該機(jī)制的有效性。后續(xù)將進(jìn)一步探討具有專家群體共識(shí)的區(qū)間直覺模糊三支決策規(guī)則獲取問題。