安浩俊，王健，許冬冬，劉公平，馬德鋒

(1.中國航發(fā)哈爾濱軸承有限公司，哈爾濱 150025；2.洛陽軸承研究所有限公司,河南 洛陽 471039;3.河南省高性能軸承技術重點實驗室,河南 洛陽 471039)

壽命及可靠性試驗是判定軸承可靠性指標的重要手段。經長期研究積累，通用滾動軸承壽命及可靠性的試驗方法已趨于成熟，GB/T 24607—2009《滾動軸承 壽命與可靠性試驗及評定》對試驗類型、載荷、轉速、樣本數(shù)量、試驗時間、試驗數(shù)據(jù)分析方法等給出了明確的界定范圍。用戶可根據(jù)自身軸承產品的特點，參照標準選取相應的試驗類型，并確定試驗樣本數(shù)量及試驗時長。

航空軸承、高鐵軸承等高成本、高可靠性軸承的可靠性試驗，一般會進行小樣本、無失效數(shù)據(jù)的定時截尾試驗， 即將一組軸承樣品在相同試驗條件下試驗至規(guī)定時間后停止。在定時截尾試驗中，試驗樣本、分組數(shù)及試驗時間的選取對軸承可靠性評價的影響十分明顯。文獻[1]對多層貝葉斯法及E-Bayes法進行對比分析，認為航空軸承應按照試驗時間對試驗數(shù)據(jù)進行分組，當分組數(shù)在6～9組之間選擇時評估效果相對較好，且航空軸承的試驗時間越長，分組數(shù)可以越少。但在實際工程應用中，往往只有很少量的軸承樣品，無法滿足6～9組的分組數(shù)量要求；同時，試驗時間也受到產品研發(fā)進度、試驗成本等客觀因素的限制。如何在受限條件下合理設計試驗樣本數(shù)量和試驗時間，保證試驗結果的有效性，成為困擾航空軸承可靠性試驗設計的關鍵問題。

大量的試驗研究和理論分析表明，韋布爾分布可用于小樣本情況下的可靠性評估：文獻[2]采用韋布爾分布研究該市高壓電纜的壽命分布；文獻[3]介紹3種韋布爾分布的小樣本分析方法，對比分析了不同韋布爾分布參數(shù)、樣本量和失效數(shù)下的評估結果，對小樣本可靠性試驗中最小樣本數(shù)的選擇有一定的指導意義；文獻[4]采用貝葉斯方法對累計失效概率進行估計，再運用韋布爾分布計算其可靠度；文獻[5]研究了韋布爾分布形狀參數(shù)的變化對產品接收和拒收概率的影響；文獻[6]在已知形狀參數(shù)下限的情況下給出了可靠度和使用壽命的單側置信下限，能夠根據(jù)定時無失效數(shù)據(jù)對產品進行高置信水平的可靠性評定。

軸承的壽命服從韋布爾分布，因此，本文擬利用韋布爾分布原理推演航空軸承小樣本、無失效數(shù)據(jù)的可靠性試驗時間、樣本數(shù)量與可靠度指標、給定壽命、錯判概率等給定指標的相互關系，并探索試驗時間、樣本數(shù)量的設計方法。

1 航空軸承壽命分布模型

韋布爾分布具有冪率特性，能夠有效反映產品的不同失效模式，被廣泛應用于可靠性研究領域。在Lundberg-Palmgren滾動軸承經典疲勞壽命理論[7]以及相關標準中，滾動軸承疲勞壽命符合二參數(shù)韋布爾分布，其累積分布函數(shù)為

(1)

概率密度函數(shù)為

(2)

則可靠度函數(shù)為

(3)

軸承的失效率函數(shù)為

(4)

式中：m為函數(shù)的形狀參數(shù)，反映不同的失效模式；η為函數(shù)的形狀參數(shù)；t為軸承壽命。

2 韋布爾分布定時截尾試驗設計

2.1 考慮置信度的定時截尾試驗

航空軸承具有可靠性要求高，制造困難，壽命長，試驗成本高等特點。為節(jié)約試驗成本，航空軸承可靠性試驗通常采用小樣本定時截尾試驗的方式。設試驗樣本數(shù)為n，各航空軸承的壽命ti(i=1,2,3,…,n)服從韋布爾分布，在試驗時間內所有產品均未失效。令z=tm，則z服從指數(shù)分布

F(z)=1-exp(-λz)；z>0，

(5)

對于指數(shù)分布，在已知可靠度和壽命置信度γ的情況下，壽命的單側置信下限為[8]

(6)

在給定壽命z和可靠度置信度λ下，可靠度單側置信下限為

(7)

對于韋布爾分布，當形狀參數(shù)已知時，由(1)，(5)式可得，在可靠度和壽命置信度已知的情況下，壽命的單側置信下限為

(8)

則對于給定樣本數(shù)，滿足壽命T、可靠度R的產品定時截尾試驗所需要的試驗時間t0為

(9)

給定試驗時間t0時所需試驗樣本數(shù)n為

(10)

由于受時間、成本等因素的影響，航空軸承試驗所得數(shù)據(jù)為無失效數(shù)據(jù)，不包含壽命分布信息，形狀參數(shù)無法直接得到，對于軸承，m的取值范圍一般為0.7～2.0，因此取其下限m1為0.7，上限m2為2.0，使m1≤m≤m2。

對(9)式兩邊取對數(shù)得

(11)

求偏導得

(12)

2.2 考慮錯判概率的定時截尾試驗

產品可靠性試驗在生產實際中較為復雜，應盡可能多的考慮影響因素，因此引入錯判概率的概念。錯判概率α也稱為生產方風險，指當批質量符合要求卻不被接收時生產方承擔的風險。

由(3)，(4)式可得

(13)

兩邊取對數(shù)可得

(14)

當F(t)很小時有

(15)

即

(16)

當F(t)較小且近似服從泊松分布時，其接受概率可表示為

(17)

當無失效數(shù)據(jù)時，c=0，(17)式可表示為

(18)

當考慮錯判概率時，對應于可接受的失效率上限λ0(t)，接受概率為

(19)

兩邊取對數(shù)可得

(20)

設軸承壽命目標值為T，可靠性試驗時間為t0，有

t0=kT，

(21)

則由(5)，(12)，(13)式可得

(22)

當軸承可靠度、錯判概率、壽命目標值已確定時，由(22)式可得壽命試驗時間與樣本數(shù)的關系式，即

(23)

當可靠度接近100%，錯判概率取值較小時，計算結果的精確度更高。計算可知，可靠度接近100%，錯判概率α=0.1時，計算誤差大約為5%。

由(23)式可以看出，試驗時間、樣本數(shù)與壽命目標值、錯判概率正相關，與累積失效概率F=1-R的倒數(shù)正相關，與以往試驗情況相符。另外，在給定指標要求和試驗條件的情況下，增加樣本數(shù)可對應減少試驗時長，該趨勢性也與實際相符。

軸承壽命目標值、試驗時間均已確定時，可由(23)式得到軸承樣本數(shù)，即

(24)

3 航空軸承工程實例

某航空用角接觸球軸承的壽命目標值為1 100 h，可靠度目標值R≥98%，置信度為95%，使用方可提供最大試驗樣本數(shù)n為10。

對于航空軸承，形狀參數(shù)m一般取1.5～2.0，因此取形狀參數(shù)的下限為1.5，上限為2.0，分別代入(9)式可得試驗時間的下限t02和上限t01，具體結果見表1：形狀參數(shù)和樣本數(shù)對試驗時間的影響很大，隨著樣本數(shù)的增加，試驗時間的上、下限均呈下降趨勢，且試驗時間的選取區(qū)間逐漸縮小。

表1 試驗樣本數(shù)與試驗時間區(qū)間匹配方案

在錯判概率α分別為0.01，0.05，0.10時，由(23)式計算可得不同m值時試驗時間與樣本數(shù)的匹配方案見表2，形狀參數(shù)m和錯判概率α對試驗時間的影響均很大。

表2 試驗樣本數(shù)與試驗時間匹配方案 Tab.2 Matching scheme of sample numbers and duration of test h

不同形狀參數(shù)和不同錯判概率對試驗樣本和試驗時間的影響如圖1所示：隨著錯判概率和形狀參數(shù)的增大，試驗樣本-試驗時間曲線的走勢不變，但取值呈上升趨勢，且變化較大。為準確設計試驗時間和試驗樣本數(shù)量，仍需進行大量試驗以確定錯判概率和形狀參數(shù)的取值范圍。

(a) α=0.05

4 結束語

基于韋布爾分布理論，對小樣本無失效數(shù)據(jù)下航空軸承可靠性試驗的試驗時間、樣本數(shù)與可靠度目標值、置信度、錯判概率、壽命指標等因素的相關性進行了推演，得到了一種考慮置信度和錯判概率的試驗時間和樣本數(shù)量的計算方法，對試驗時間和樣本數(shù)等試驗參數(shù)的確定，以及小樣本無失效數(shù)據(jù)下航空軸承可靠性試驗的設計提供一定的參考。