◎陳明輝

(福建省莆田市仙游縣私立第一中學，福建 莆田 351200)

一、引言

分類討論思想在高中數(shù)學解題中的實際應(yīng)用，更加偏重于對存在不確定性條件的題目進行求解，該思想方法能夠充分激發(fā)學生的發(fā)散性思維，并促進其對數(shù)學概念和知識點進行深度理解分類討論思想在數(shù)學解題中的應(yīng)用需要根據(jù)題目中的關(guān)鍵內(nèi)容進行變化，便于對專項內(nèi)容求解高中數(shù)學學科的知識體系比較復雜，因此教師需要科學地引導學生運用分類討論的數(shù)學思想

二、分類討論思想的應(yīng)用原則

(一)整體的完整性

知識分類能夠有效地激發(fā)學生的關(guān)聯(lián)記憶能力，并對高中數(shù)學的關(guān)鍵知識結(jié)構(gòu)進行完善實現(xiàn)高層次的知識體系構(gòu)建過程在應(yīng)用分類討論思想解題的過程中，我們需要考慮整體的完整性，對某個數(shù)學問題進行拆解的同時，還需要保障分類要素與整體之間的關(guān)聯(lián)性在保證問題完整性的基礎(chǔ)上，對數(shù)學問題的不同維度和量化分析過程進行模塊化分析，并對分類討論之后的分類各項內(nèi)容進行有效整合，保障解題結(jié)果的完整性以解析幾何問題為例，我們解題時需要將問題中的點線面作為關(guān)鍵的分類脈絡(luò)信息，并對平面解析幾何和空間立體解析幾何問題中不同的側(cè)重點進行詳細分析，并在完成分類討論之后，對解題過程進行整合整體的完整性是保障分類討論過程實效性的基礎(chǔ)要素，也是逐步拆解數(shù)學問題的主要方式根據(jù)整體的完整性，我們需要對分類討論過程中的“整—分—整”解題思路進行深度解析

(二)分類各項的相斥性

我們在數(shù)學解題過程中，需要確定分類各項之間的相斥性，不能夠存在交叉條件，熟悉這一過程能夠有效提升學生的數(shù)學抽象思維能力分類各項存在的相斥性，與統(tǒng)計概率之間的互相獨立原理基本相似，需要將不同控制條件與分類討論結(jié)果進行有效關(guān)聯(lián)，并將單一條件下的題目進行分類討論針對在數(shù)學解題過程中分類各項之間存在的相斥性，我們需要引導和激發(fā)學生對分類討論步驟和流程的完整性記憶能力，并強化學生的抽象邏輯思維能力根據(jù)相互獨立的控制條件，學生可在解題過程中對分類各項存在的相斥性特征進行深度解析，并能夠?qū)Σ煌毩⒎种У臈l件進行單獨論述，充分保障解題過程的完整性和正確性分類各項之間的相斥性，也是構(gòu)造分類討論應(yīng)用解析過程的關(guān)鍵因素之一

(三)分類層次的遞進性

教師在講述數(shù)學解題過程時應(yīng)用分類討論思想，還需要重點關(guān)注分類層次的遞進性，并保障分類各項之間的獨立性根據(jù)不同知識結(jié)構(gòu)中的實際應(yīng)用類問題，學生需要分析應(yīng)用題型中的關(guān)鍵知識點，并合理運用分類討論思想，對分類層次的遞進性特征進行深度理解有些平面解析幾何題目需要從多個角度分別探討點線面之間存在的關(guān)系，因此，學生在分類討論的過程中，需要對單一變量進行控制，并對其他兩項條件進行分類討論，雖然過程煩瑣一些，但是能夠充分體現(xiàn)各分類層次之間存在的遞進性特征分類層次與學生的抽象邏輯思維能力直接關(guān)聯(lián)，有些需要分類討論的題目就是在考查學生是否具備應(yīng)用某個知識體系的能力，因此對遞進的分類層次進行詳細探討，有利于學生不斷完善自身解決不同類別的實際應(yīng)用問題的知識體系

三、分類討論思想在高中數(shù)學解題中的有效應(yīng)用

(一)三角函數(shù)求解問題

該題目需要利用分類討論思想進行分析和解答，教師可以此為例，引導學生運用分類討論思想分析三角函數(shù)求解問題

(二)數(shù)列分析問題

在高中數(shù)學學科的知識體系中，數(shù)列分析問題是分類討論思想主要應(yīng)用的題型之一，也是協(xié)助學生構(gòu)建多維度數(shù)學知識網(wǎng)絡(luò)的關(guān)鍵內(nèi)容高中生需要對數(shù)列的基本概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列以及數(shù)學歸納法等相關(guān)知識進行理解和應(yīng)用，并對分類討論思想的應(yīng)用思路展開探討以人教版必修教材為例，教師可以充分引導學生對實際應(yīng)用類問題中的數(shù)列分布規(guī)律以及累加和、累積等題目進行自主探究式學習，并對分類思想的應(yīng)用方法思路進行深度分析對于分析數(shù)列問題的不同實際應(yīng)用場景，學生能夠?qū)⑾鄳?yīng)的等差數(shù)列和等比數(shù)列的分類過程進行深度梳理，并對數(shù)列求和等相關(guān)實際問題進行分類討論學生在應(yīng)用分類討論思想的過程中，可能會存在較多問題和障礙，此時高中數(shù)學教師需要將不同解題思路和思維模式的構(gòu)建方式進行深度拆解，協(xié)助學生完善解題策略

在該題目中，問題(1)相對簡單，基本所有學生能夠通過函數(shù)求導計算和基本的已知條件進行分析解答而問題(2)相對復雜，由于數(shù)列項數(shù)的奇偶性未知，且其奇偶性對表達式和表達式均有影響，需要學生進行分類討論

(三)曲線類型討論問題

在高中數(shù)學學科的知識體系中，函數(shù)與方程是大多數(shù)學生學習的難點，曲線類型討論問題是分類討論思想在實際應(yīng)用類問題中的主要內(nèi)容很多學生對平面解析幾何和空間立體幾何類問題比較迷惑，以人教版必修教材為例，圓錐曲線方程需要將橢圓、雙曲線以及拋物線作為主要解題思路在對曲線類型進行分類討論的過程中，教師需要引導學生重點關(guān)注關(guān)鍵點坐標的位置變化規(guī)律，以及極值點在平面直角坐標系中的變動規(guī)律有些綜合類題目會將空間幾何體中的動點作為研究對象，并對動點不同的運動軌跡進行分類討論，那么曲線類型的基本概念和關(guān)鍵點的位置坐標就是主要分類討論的分類項，并對不同遞進關(guān)系進行有效排序曲線類型分類討論問題需要對變化項和不變項之間存在的線性與非線性關(guān)系進行深度解析，協(xié)助學生深度理解曲線類型討論問題的解題策略

由于雙曲線焦點位置不確定，既可能在軸上，又可能在軸上，因此其離心率數(shù)值也不確定，需要展開分類討論

(四)函數(shù)極值問題

函數(shù)極值問題是高中數(shù)學學科知識體系中的重點內(nèi)容之一，也是迷惑很多學生的難點內(nèi)容函數(shù)極值問題不僅可以參考函數(shù)導數(shù)的計算方式，還可以利用數(shù)形結(jié)合的方式進行求解，并對分類項進行遞進排序，教師可引導學生進行有效地分類討論以人教版必修教材為例，很多學生在面對冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等相關(guān)函數(shù)應(yīng)用類問題時，思維模式很容易被固定住，因此教師需要引導學生合理運用分類討論的解題思想，并對不同函數(shù)的極值分布情況進行分類討論，對于具備較多隱含條件的函數(shù)極值問題進行分類求解，對所有分類項進行有效排序，保障分類過程的可視性和遞進性函數(shù)極值問題的分類討論方法，主要集中在函數(shù)圖像的變換方法、極值坐標的分布規(guī)律以及變化規(guī)律等方面

已知函數(shù)()=-4+，(∈)(1)討論函數(shù)的單調(diào)性(2)若函數(shù)在[-1,1]上的最大值為1，求實數(shù)的取值范圍

在該題目中，無論是問題(1)還是問題(2)，都需要應(yīng)用分類討論思想尤其是問題(2)，函數(shù)極值已知，分析實數(shù)的取值范圍，需要對的具體取值范圍展開分類討論下面重點對問題(2)的分類討論展開分析

當=0時，≤1+4即0≤1，無論取任何值，條件均成立

四、結(jié)束語

分類討論思想是數(shù)學學科的重要思想理論體系之一，在高中數(shù)學學科的解題教學過程中，更加重視學生對分類討論思想的解題策略的應(yīng)用能力分類討論思想在數(shù)學解題中的應(yīng)用，需要根據(jù)題目中的內(nèi)容進行變化，并針對專項訓練內(nèi)容進行變式求解根據(jù)相互獨立條件，學生在數(shù)學解題過程中需要對分類各項存在的相斥性特征進行深度解析，并對不同獨立分支條件進行單獨論述