◎曹 一

(上海市育才中學，上海 201801)

在數(shù)學學科教學與學習中，發(fā)現(xiàn)和提出問題能有效地激活課堂，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維，促進學生對新問題進行有效而且積極的探究，傳統(tǒng)數(shù)學教學注重訓練學生的解題能力，而學生善于準確、高效地解決教材和教輔中呈現(xiàn)的問題，善于“學答”而不善于“學問”，從而忽視了培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力，忽視了培養(yǎng)學生的批判性思維、創(chuàng)新性思維

一、原始問題

已知直線=-2與拋物線:=2相交于，兩點,為坐標原點求證：⊥

整理得：-2-4=0，∴+=2，=-4，

∴=(+2)(+2)=+2(+)+4=4，

二、問題提出

上述習題由直線、拋物線、原點、垂直等基本要件構成，如何能改變相關要件提出新的命題呢？首先，將上述命題推廣，使其成為特例，并做出解答；進一步適當改變或變換題目條件，提出問題，并進行多向探究本文先進行一般性探究，再從逆向、縱向、橫向探究，以上探究都能得到滿意的結論

(一)一般性探究

1已知直線=(-2)與拋物線:=2相交于、兩點求證：⊥

=1，即上述原始問題

設(,),(,),

得：-2-4=0，∴=-4

2已知直線=(-2)與拋物線:=2相交于，兩點求證：⊥

=1，=1，即上述原始問題

設(,),(,),

得：-2-4=0,∴=-4

通過上述研究，其中發(fā)生變化的量是斜率，定點(2,0),⊥沒有發(fā)生變化，本題中體現(xiàn)了變與不變的相對性及辯證性，⊥與無關，與定點(2,0)相關這里看似仍停留在傳統(tǒng)教學層面，但解題思維要靈活得多，要素分析得透徹，為后續(xù)深層挖掘做準備

(二)逆向探究

3已知,在拋物線:=2(>0)上，且⊥求證：直線經(jīng)過定點

設直線方程=(-)

∴=-4

得：-2-2=0,∴=-2

∴=-4=-2,∴=2

∴直線過定點(2,0)

4已知、在拋物線:=2(>0)上，點(,)是拋物線上一定點，且⊥求證：直線經(jīng)過定點

∵⊥，∴=-1，

設直線:=(-)代入=2,

得:-2-2=0，

所以，過定點(+2,-)

直線的方程為：

?-(+)+2=0 (2)

即定點(+2,-)

5已知，在拋物線:=2(>0)上，(,)是拋物線上一定點，·=，求證：直線經(jīng)過定點

上題中斜率乘積等于-1改為即可得證

∵⊥,∴·=

?-(+)+2=0 (2)

這里不僅有逆向思維，顯示了證法的多樣性，更將結論由特殊問題解決轉(zhuǎn)向一般問題解決促成思維的功能性發(fā)展，使提出問題的層面上升了一個臺階

(三)縱向探究

6已知，在拋物線:=2(>0)上，且⊥，⊥，垂足為求點的軌跡方程，并說明它表示什么曲線

由變式3可知，直線經(jīng)過定點(2,0)，又⊥,∴點的軌跡是以為直徑的圓(除去原點)，其方程為(-)+=(>0)

7已知、在拋物線:=2(>0)上，點(,)是拋物線上一定點，且⊥⊥，求點的軌跡方程，并說明它表示什么曲線

8已知，在拋物線:=2(>0)上，點(,)是拋物線上一定點，=⊥，求點的軌跡方程，并說明它表示什么曲線

上述探究又轉(zhuǎn)到了另一個層面，把問題引申到縱向，完全體現(xiàn)問題研究的多樣性，既保持主要元素的不變性，又體現(xiàn)多元性只有把握住可變要素，才能做出精彩的探究，提出更精彩的問題

(四)橫向探究

從拋物線上看，完成證明還是比較容易的，但是變?yōu)闄E圓、雙曲線后，猜想結論成立，構建命題比較容易，證明過于繁雜，只有勇于探究，一定能取得完美證明

設直線:=(+),

得(+)+2+-=0，

-2(1-)=(+)(+)+-)，(+)(+)

=-2(1-)-(+)(-)(+)(+)

=-(-)(+)

(-，0)，(，)，(，)，

得：(+)+2+-=0，

(+)(+)+=0，

(+)(+)+(+)(+)=0，

(1+)+(+)(+)++=0

(1+)(-)-2(+)

+(+)(+)=0，

(+)-2-(-)=0，

[(+)-(-)](-)=0,

代入直線:=+，得：

以下變式可讓學生課外小組進行研究雖然證明過程、方法更為復雜，但是能夠吸引學生做深入研究，使學生獲得成就感

11過圓錐曲線上的一定點(,)作兩互相垂直的弦、，若非等軸雙曲線，則必過定點；若為等軸雙曲線則直線必有定向

證明可仿上

拋物線:=2，定點(+2,-)

12過圓錐曲線(雙曲線、非等軸雙曲線)上的一定點(,)任作兩互相垂直的弦，，聯(lián)結，過作的垂足，則點在定圓上

方法略，模仿拋物線可完成

設(，)，(，)，直線:=+,

得：(+)+2+-=0，

+(+)(+)=0，

(1+)++=0，

(1+)(-)-2+(+)=0

-+--2++=0,

--+=0，

(+)-(1+)=0，

∵||||=||||,

隨著新一輪的課程改革，研究性學習已經(jīng)走進課堂，研究性試題也開始進入高考試題中教師應鼓勵學生敢于提出問題，積極構建問題場景，創(chuàng)建新的學習平臺、學習方式，培養(yǎng)創(chuàng)新型、研究型人才落實探究教學，還課堂研究氛圍，活躍學生思維，提高提出問題、解題問題、探究問題的能力，培養(yǎng)學生學習興趣，提高數(shù)學研究能力