筅江蘇省海安市海陵中學(xué) 楊亞平

1 引言

最近有機(jī)會(huì)觀摩學(xué)習(xí)了全國著名特級(jí)教師李庾南老師執(zhí)教的一元二次方程習(xí)題課．李老師講評(píng)習(xí)題并不滿足于學(xué)生說出答案、核對(duì)解法步驟的層次，而是帶領(lǐng)學(xué)生全面理解題意，先從整體上看清問題，然后各個(gè)擊破，最終實(shí)現(xiàn)問題解決．本文中先梳理李老師對(duì)3道習(xí)題的講評(píng)過程，再與同行交流筆者的一些學(xué)習(xí)體會(huì)．

2 李庾南老師講評(píng)3道習(xí)題的課堂記錄

例1k為何值時(shí)，關(guān)于x的二次三項(xiàng)式x2-10x+k+5為一個(gè)完全平方式？

課堂記錄：學(xué)生很快得出答案k=20，李老師讓其中一個(gè)學(xué)生講講思路．

生1：由完全平方式的結(jié)構(gòu)，我先分析出公式中的b應(yīng)該是5，所以k+5=52，從而求出k=20．

生1點(diǎn)頭認(rèn)可，李老師追問其他學(xué)生，他們也表示是這樣思考的．

師：你們還有其他思路嗎？

生2：我是用一元二次方程的根的判別式求解的．先假設(shè)二次三項(xiàng)式x2-10x+k+5為一個(gè)完全平方式，那么它對(duì)應(yīng)的一元二次方程x2-10x+k+5=0可以寫成（x+m）2=0的形式，也就是說，這個(gè)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以Δ=b2-4ac=0，即（-10）2-4×1×（k+5）=-4k+80=0，解得k=20.

師：很好！活學(xué)活用，能運(yùn)用方程的眼光看待二次三項(xiàng)式ax2+bx+c（a≠0），想到這個(gè)式子為完全平方式的條件就是它所對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式b2-4ac=0．

例2當(dāng)k為何值時(shí)，關(guān)于x的方程kx2-4x+4=0有實(shí)數(shù)根？

課堂記錄：有個(gè)別學(xué)生很快就做好了，李老師巡視時(shí)發(fā)現(xiàn)他是典型的默認(rèn)本題中的方程是一元二次方程，運(yùn)用根的判別式求解，出現(xiàn)了漏解的情形，于是李老師安排該生上臺(tái)講解他的思路．

生3：由題意可得b2-4ac=16-16k≥0，即k≤1時(shí)，原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．

師：大家同意他的解法嗎？

生4：還要考慮k≠0，因?yàn)檫@是一元二次方程．

師：生3，你同意嗎？（生3表示忽略了這個(gè)限制）生4，問題中有沒有明確說明這是一元二次方程？

生4：沒有，所以還要分類討論k=0的情況，也就是說，它有可能是一元一次方程．

師：那你們?cè)偃嫠伎家幌?，看要考慮哪些可能的情形．

1分鐘后，生4示意他已想清思路.

生4：已知條件中并沒有明確指出原方程是什么方程，也沒有說明有幾個(gè)實(shí)數(shù)根，因而必須分類討論.

李老師根據(jù)生4的講解，在黑板上板書示意：

接著李老師安排學(xué)生寫出解法，生4上臺(tái)板演，如下：

①當(dāng)k=0時(shí)，原方程為一元一次方程-4x+4=0，有一根為x=1．

②當(dāng)k≠0時(shí)，原方程為一元二次方程，當(dāng)b2-4ac=16-16k≥0，即k≤1且k≠0時(shí)，原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．

李老師在學(xué)生解答的基礎(chǔ)上，提醒學(xué)生可以寫出結(jié)語：

綜上，當(dāng)k≤1時(shí)，關(guān)于x的方程kx2-4x+4=0有實(shí)數(shù)根．

課堂記錄：經(jīng)過2分鐘左右，就有學(xué)生示意求出了m=3，李老師檢查后對(duì)結(jié)果表示肯定，指導(dǎo)該生再思考如何更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亟M織語句，又過了1分鐘后，安排該生上臺(tái)講解．

李老師在學(xué)生講解時(shí)，梳理她的思路，形成如下板書：

師：大家同意她的解法嗎？有沒有補(bǔ)充的？

生6：還應(yīng)該考慮這個(gè)方程是否有實(shí)數(shù)解，也就是要計(jì)算一下根的判別式．我算了一下，根的判別式是m2+24，恒大于0，所以這個(gè)方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

李老師對(duì)生6的補(bǔ)充表示肯定，并將生6的意見書寫在生5的思路的上面，然后整體上用“大括號(hào)”括起來，如下板書示意：

李老師隨后提醒學(xué)生注意在運(yùn)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系前，要優(yōu)先考慮一元二次方程的根的判別式．

3 解題教學(xué)要幫助學(xué)生“學(xué)會(huì)尋找思路”

3.1 從讀題到審題，讓學(xué)生形成解題“整體觀”

觀摩李老師的解題教學(xué)可以看出，李老師并不是先帶領(lǐng)學(xué)生一起讀題、分析思路，而是讓學(xué)生先獨(dú)立解題，在學(xué)生有了思路之后，李老師會(huì)走到學(xué)生旁邊個(gè)別診評(píng)，然后根據(jù)學(xué)生的解答情況進(jìn)行評(píng)價(jià)或思路點(diǎn)撥，如果是比較典型的“問題解法”，李老師會(huì)“捕捉”“采集”出來，讓學(xué)生到講臺(tái)上板演或講解思路，然后師生共同分析，讓學(xué)生在反復(fù)讀題、理解關(guān)鍵條件或題設(shè)信息中完善解法．從上面幾道習(xí)題的講評(píng)看，李老師在學(xué)生講解、優(yōu)化、補(bǔ)充的同時(shí)，會(huì)梳理出解題思路，讓學(xué)生形成解題“整體觀”，而不是看見一個(gè)條件就急于演算，結(jié)果思考不全面而導(dǎo)致解題不嚴(yán)謹(jǐn)或有錯(cuò)漏．這里特別值得一說的是，所謂解題“整體觀”［1］，即審題要仔細(xì)，看清所有題設(shè)信息，而不是盯住某個(gè)條件“倉促上路”；或者從結(jié)論逆向出發(fā)，接通某個(gè)題設(shè)條件就以為思路貫通、解題成功，這樣的解題常常是缺少“整體觀”的體現(xiàn)．從這個(gè)意義上說，李老師的習(xí)題講評(píng)過程體現(xiàn)出來的“整體觀”是值得我們學(xué)習(xí)的．

3.2 從聽講到對(duì)話，讓學(xué)生解題“嚴(yán)謹(jǐn)而簡(jiǎn)明”

目前的初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，習(xí)題講評(píng)課占很大比例，不少日常習(xí)題講評(píng)課往往是教師講題為主，有些即使安排學(xué)生講題，也多是用學(xué)優(yōu)生的嘴代替教師的講解（有些專家認(rèn)為還不如教師親自講解）．我們看到專家教師李庾南老師的習(xí)題講評(píng)課就從學(xué)生單純聽講走向了生生對(duì)話、師生對(duì)話．從上文分享的3道習(xí)題的講評(píng)過程，可以看到一些高品質(zhì)的師生對(duì)話，更多學(xué)生的思維都被卷入對(duì)話中．特別是，李老師在學(xué)生講評(píng)或?qū)υ挼倪^程中，及時(shí)采集、梳理學(xué)生的思路，用體現(xiàn)“整體觀”的板書形象、生動(dòng)地再現(xiàn)學(xué)生的思路歷程，幫助學(xué)生展現(xiàn)他們解題過程中“火熱的思考”．在師生充分對(duì)話和交流之后，學(xué)生基于對(duì)問題解決的“整體觀”，只要列出相應(yīng)的關(guān)系式或方程組，然后簡(jiǎn)明寫出各步結(jié)果，最后給出結(jié)語即可，對(duì)較難題來說，讓學(xué)生懂得“省略非必要表達(dá)步驟”是使過程表達(dá)簡(jiǎn)明的重要技能［2］．

3.3 從糾錯(cuò)到究錯(cuò)，讓學(xué)生感悟“細(xì)節(jié)決定成敗”

從李老師組織的3個(gè)習(xí)題講評(píng)實(shí)錄來看，李老師善于捕捉“生成性資源”，并且那些解題速度快但有“錯(cuò)漏”的學(xué)生往往容易被李老師安排先上臺(tái)展示，接著李老師并不急于進(jìn)行糾正、訂正，而是以一個(gè)“促動(dòng)師”的角色，組織學(xué)生討論、對(duì)話，在這個(gè)過程中，往往原來出錯(cuò)的學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)他的錯(cuò)漏就在于“某個(gè)細(xì)節(jié)”沒有注意到，這些細(xì)節(jié)都在糾錯(cuò)中實(shí)現(xiàn)了究錯(cuò)［3］．事實(shí)上，這樣的教學(xué)過程正是著名小學(xué)數(shù)學(xué)特級(jí)教師華應(yīng)龍老師所倡導(dǎo)的“化錯(cuò)教學(xué)”．

自20世紀(jì)70年代末李庾南老師提出“自學(xué)·議論·引導(dǎo)”教學(xué)法以來，該教學(xué)法在新授課、單元教學(xué)的相關(guān)主題研究方面都比較豐富，但是關(guān)于“自學(xué)·議論·引導(dǎo)”教學(xué)法在習(xí)題課教學(xué)中的實(shí)踐，還有待進(jìn)一步深入研究．本研究是筆者近期有機(jī)會(huì)觀摩學(xué)習(xí)李老師在習(xí)題課中的一些精彩實(shí)錄后的有感而發(fā)，有些觀點(diǎn)和感悟不一定準(zhǔn)確，更不一定正確，期待專家、同行的批評(píng)指正．