鄒 圓 王立威

（1 重慶工商大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院，重慶 400067；2 六盤水師范學(xué)院物理與電氣工程學(xué)院，貴州六盤水 553004）

能源強度是國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）所消耗的能量，反映了一國或地區(qū)能源利用效率、經(jīng)濟結(jié)構(gòu)、經(jīng)濟發(fā)展方式的變化，對其準確預(yù)測有助于科學(xué)把握經(jīng)濟發(fā)展的現(xiàn)實特征。其與現(xiàn)實中廣泛存在的一些預(yù)測問題相似，均帶有非線性、時變性和不確定性的特點，加之樣本數(shù)據(jù)量少、波動大、影響因素眾多，因而對其精確預(yù)測是一個既復(fù)雜又極具挑戰(zhàn)的重要課題。目前所采用的方法大致可歸納為四種類型：傳統(tǒng)統(tǒng)計學(xué)模型、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、灰色預(yù)測模型和組合預(yù)測模型。傳統(tǒng)統(tǒng)計學(xué)模型包括博克思（Box）和詹金斯（Jenkins）提出的時間序列自回歸積分滑動平均模型（Autoregressive In?tegrated Moving Average Model，ARIMA）［1］、多元線性回歸［2］、二次指數(shù)平滑法［3］等。其缺陷在于難以刻畫預(yù)測問題中的非線性情形，易造成預(yù)測誤差偏大且整體趨勢擬合度偏低。BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為一種非線性建模方法，其多層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能以任意給定精度逼近任意非線性函數(shù)，常被用于各種預(yù)測如稅收預(yù)測［4］、GDP 預(yù)測［5］等，但對訓(xùn)練樣本數(shù)量與質(zhì)量要求較高，適應(yīng)范圍和預(yù)測精度往往受到制約［6］。

灰色系統(tǒng)理論是由鄧聚龍教授于1982 年首次提出的一種能有效針對小樣本、貧信息系統(tǒng)的不確定性理論［7］，隨后被廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟、管理、電力、機械、生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域［8-12］。GM(1,1)是灰色系統(tǒng)中的經(jīng)典模型，它的核心思想是以一條較為平滑的指數(shù)型曲線去擬合原始數(shù)據(jù)序列。而其固有缺陷在于對隨時間階段發(fā)展特征不一，即帶時間冪函數(shù)項的非齊次指數(shù)數(shù)據(jù)序列擬合較差、預(yù)測精度較低。錢吳永等［13］將傳統(tǒng)灰色GM(1,1)模型推廣到含時間冪次項的灰色GM(1,1,tα)模型，并通過具體應(yīng)用檢驗了所構(gòu)建模型的有效性。崔杰等［14］揭示了該模型的病態(tài)特征，表明其魯棒性較強。吳紫恒等［15］提出一種改進的含時間冪次項灰色模型，進一步提高了模型的擬合與預(yù)測精度。馬爾可夫鏈作為一個離散變量的隨機過程，通過狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣將前后狀態(tài)聯(lián)系起來，該過程要求具備特定類型“無記憶性”，即下一狀態(tài)的概率分布只能由當前狀態(tài)決定，能提升灰色模型的適用性和預(yù)測精度。灰色馬爾可夫模型在能源消費［16］、事故預(yù)測［17］、醫(yī)療需求［18］、設(shè)備故障［19］、財務(wù)危機預(yù)警［20］等領(lǐng)域得到具體應(yīng)用?；疑R爾可夫模型與傳統(tǒng)GM(1,1)模型共同缺陷在于不能很好處理現(xiàn)實中廣泛存在的帶非齊次指數(shù)規(guī)律的預(yù)測問題。

基于此，本文構(gòu)建了帶時間冪次項的灰色馬爾可夫預(yù)測模型。其集成了帶時間冪次項的灰色模型和馬爾可夫鏈的各自優(yōu)點，適用范圍和預(yù)測精度都獲得較大提升。主要體現(xiàn)在三個方面：一是不受樣本量限制，能有效克服訓(xùn)練樣本數(shù)不足的問題；二是根據(jù)具體問題確定時間冪次項指數(shù)，可以有效擬合帶齊次指數(shù)或非齊次指數(shù)規(guī)律的數(shù)據(jù)序列；三是馬爾可夫鏈針對偏差較大的預(yù)測結(jié)果序列提取狀態(tài)信息轉(zhuǎn)移規(guī)律，進一步增強預(yù)測精度。本文將之應(yīng)用于中國能源強度預(yù)測問題并進行了模型預(yù)測精度的比較分析，證實了所提模型的有效性和可行性。

1 帶時間冪次項的灰色馬爾可夫預(yù)測模型構(gòu)建

本節(jié)首先簡要回顧了灰色GM(1,1)和帶時間冪次項的灰色GM(1,1,tα)模型，通過引入馬爾可夫鏈，構(gòu)建了帶時間冪次項的灰色馬爾可夫預(yù)測模型并給出了相應(yīng)的算法流程，為了比較不同模型的預(yù)測能力，介紹了一些常用的定量評價指標，為接下來對中國能源強度的預(yù)測奠定了方法基礎(chǔ)。

1.1 帶時間冪次項的GM(1,1,tα)模型

1.1.1 灰色GM(1,1)模型

在對現(xiàn)實問題預(yù)測中，影響考察對象的因素眾多，且易受到各種隨機沖擊，從而表現(xiàn)出不同程度的不確定性和非典型波動特征。灰色模型具有不依賴樣本分布、所需數(shù)據(jù)量較少、計算簡便、預(yù)測精度較高等優(yōu)點，可根據(jù)待考察對象變動的時間序列特性，挖掘其內(nèi)部變化規(guī)律，預(yù)測結(jié)果較為準確且穩(wěn)定。傳統(tǒng)灰色GM(1,1)建模基本流程如下：

Step 4:由于上述累加生成序列X(1)與一階線性微分方程的解曲線相似，因此可以導(dǎo)出GM(1,1)模型中的白化微分方程如下：

Step 5:用最小二乘法解得白化微分方程中的參數(shù)a,b為：

其中，a稱為發(fā)展系數(shù)，b稱為灰色作用量。

Step 6:將參數(shù)向量代入微分方程并進行求解，得：

Step 7:將上式進行累減還原，獲得預(yù)測值：

1.1.2 灰色GM(1,1,tα)模型

傳統(tǒng)GM(1,1)模型對滿足齊次指數(shù)規(guī)律的數(shù)據(jù)序列具有較好的預(yù)測效果，但現(xiàn)實中存在許多系統(tǒng)，其發(fā)展和演化規(guī)律無法簡單采用指數(shù)規(guī)律來精確描述。通過考慮時間冪次項對傳統(tǒng)灰色模型進行修訂，以期準確反映在現(xiàn)實預(yù)測問題中大量存在的非指數(shù)規(guī)律變化特征，灰色GM(1,1,tα)建模過程如下［13］：

令α為非負常數(shù)，Step 1和Step 2同上，構(gòu)建新的矩陣B和常數(shù)向量Y如下：

當α=0 時，GM(1,1,tα)模型退化為傳統(tǒng)GM(1,1)模型，預(yù)測值如公式（6）所示；當α=1 時，GM(1,1,tα)變?yōu)镚M(1,1,t)，預(yù)測值為：

當α=2 時，GM(1,1,tα)變?yōu)镚M(1,1,t2)，預(yù)測值為：

1.2 馬爾可夫鏈修正

在進行預(yù)測中往往受到一些未知或隨機因素的影響，如隨機的外部沖擊，導(dǎo)致數(shù)據(jù)出現(xiàn)一定的波動性和無序性，這對灰色模型的預(yù)測精度影響較大?？捎民R爾可夫模型抽取數(shù)據(jù)序列波動信息，修正灰色模型預(yù)測結(jié)果，來提高預(yù)測的精確度。首先利用灰色模型獲得預(yù)測值，求出比率序列{s(k)}，；其次對比率序列進行狀態(tài)劃分，確定比率序列中各值所處的狀態(tài)，獲得狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣；最后根據(jù)初始狀態(tài)的概率向量和狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣來推測預(yù)測對象未來某一時間所處的狀態(tài)和預(yù)測值。其建模包括三個基本步驟：第一，劃分狀態(tài)序列；第二，建立狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣；第三，確立新的經(jīng)修正后的預(yù)測值。

將比率序列{s(i)} 劃分為m個狀態(tài)，記作{Q1,Q2,…,Qm}，每個比率值s(i)可唯一地劃入狀態(tài)Qj中，即滿足s(i)∈Qj。其中Q j滿足：

這里L(fēng)j、Uj分別表示狀態(tài)Qj的下限和上限，滿足：

用Pij(λ)表示預(yù)測對象由狀態(tài)Qi經(jīng)過λ步轉(zhuǎn)移至狀態(tài)Qj的概率，該λ步轉(zhuǎn)移概率可近似由轉(zhuǎn)移頻率來估計，即：

這里Mij(λ)為狀態(tài)Qi經(jīng)過λ步轉(zhuǎn)移至狀態(tài)Qj的比率序列樣本數(shù)，Mi為處于狀態(tài)Qi的比率序列樣本數(shù)。由Pij(λ)組成的矩陣即是馬爾可夫鏈中的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，即：

假定( π1(k),π2(k),…,πm(k))為狀態(tài)概率分布向量，πj(0)為初始狀態(tài)概率，利用此狀態(tài)概率分布向量和狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣可估算未來任一時期所處狀態(tài)和預(yù)測值。第k+1期預(yù)測值可表示為［21］：

帶時間冪次項的灰色馬爾可夫預(yù)測模型流程如圖1所示：

圖1 帶時間冪次項的灰色馬爾可夫預(yù)測模型流程

1.3 預(yù)測誤差度量指標

為合理評價模型的預(yù)測能力，需要量化預(yù)測誤差。本文參照常用的相對誤差（Relative Per?centage Error,RPE）、平均絕對誤差百分比（Mean Absolute Percentage Error,MAPE）以及均方根誤差（Root Mean Squared Error,RMSE）作為模型預(yù)測能力的測度指標，計算公式如下：

2 模型應(yīng)用

為了分析帶時間冪次項的灰色馬爾可夫模型是否能夠提升對中國能源強度的預(yù)測能力，本文選取了在預(yù)測中得到廣泛應(yīng)用的灰色GM(1,1)和帶不同時間冪次項的GM(1,1,tα)(α=1,2)進行了相同的預(yù)測，旨在對不同模型的預(yù)測能力進行對比分析。

2.1 研究設(shè)計

2.1.1 問題描述與指標選取

為了驗證所提出的模型在預(yù)測問題中的有效性和可操作性，本文對中國能源強度指標單位產(chǎn)值能耗進行預(yù)測，該指標計算公式為能源消費總量（噸標煤）/GDP（萬元），用A表示。利用灰色GM(1,1)模型，帶時間冪次項的GM(1,1,t)和GM(1,1,t2)進行對照分析，從中提取出最優(yōu)α值，以此來構(gòu)建經(jīng)馬爾可夫鏈修正后的GM(1,1,tα)模型，并評價其預(yù)測精度表現(xiàn)。

本文將樣本區(qū)間設(shè)置為1995—2020 年，其中以1995—2018 年數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集訓(xùn)練模型，2019—2020年數(shù)據(jù)作為測試集用于預(yù)測不同模型的預(yù)測性能，并對2021年指標值進行預(yù)測。

首先利用自然對數(shù)變換對原始數(shù)據(jù)進行平滑性處理。

2.1.2 參數(shù)α的確定

將α取值分別設(shè)定為0,1,2，獲得三個灰色模型GM(1,1)、GM(1,1,t)和GM(1,1,t2)，利用MATLAB軟件（R2010a版）分別對各模型進行算法實現(xiàn)，獲得lnA的擬合預(yù)測值后，再通過逆自然對數(shù)轉(zhuǎn)換為原值。三個模型關(guān)于A在1995—2020 年的擬合結(jié)果趨勢如圖2所示：

圖2 不同時間冪次項下灰色模型的擬合預(yù)測值與真實值

通過比較可以發(fā)現(xiàn)，無論是從預(yù)測結(jié)果與實際值的擬合程度看，還是從整體變化趨勢狀況看，GM(1,1,t2)整體上擬合值較為接近真實值，擬合效果最佳。其次是GM(1,1)，表現(xiàn)最差的是GM(1,1,t)，與真實情況存在明顯的差異。利用上述的RPE誤差度量指標分別對三個灰色模型的預(yù)測性能進行定量考查，獲得計算結(jié)果如表1所示：

表1 不同時間冪次項下灰色模型的擬合預(yù)測結(jié)果比較

從表1測算結(jié)果表明，除個別年份以外，大部分年份GM(1,1,t2)模型的RPE 值均小于GM(1,1)和GM(1,1,t)。同時，可計算出GM(1,1,t2)的MAPE 指標在訓(xùn)練集和測試集上的數(shù)值分別為4.89%和2.43%，RMSE指標在訓(xùn)練集和測試集上的數(shù)值分別為0.209 7 和0.053 2，在三個模型中均為最低。這說明GM(1,1,t2)預(yù)測性能要優(yōu)于其他兩種模型，也反映了在對單位產(chǎn)值能耗A的預(yù)測中，參數(shù)α在可能取值為0,1,2情況下，帶時間二次冪項的灰色模型預(yù)測性能最優(yōu)。

2.1.3 帶時間冪次項的灰色馬爾可夫模型預(yù)測

利用GM(1,1,t2)模型計算出1995—2018 年單位產(chǎn)值能耗對數(shù)值lnA的擬合值，以擬合值與真實值比例構(gòu)建比率序列{s(k)}，根據(jù)比率序列的具體數(shù)值，按照公式（10-11）將之劃分的馬爾可夫狀態(tài)區(qū)域為：第一，Q1狀態(tài)界限為[ 0 .8779,0.9667)，屬于預(yù)測偏低情形；第二，Q2狀態(tài)界限為[0.9667,1.0555)，屬于預(yù)測適中情形；第三，Q3狀態(tài)界限為[1 .0555,1.1444]，屬于預(yù)測偏高情形。并以此將訓(xùn)練集中每年的比率值進行分類，得出如表2所示的預(yù)測擬合狀態(tài)匯總表：

表2 預(yù)測擬合狀態(tài)匯總

按照上述分類匯總情況，可得到一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為：

根據(jù)馬爾可夫鏈的預(yù)測原理，由P(1)獲得λ步轉(zhuǎn)移概率矩陣P(λ)，基于訓(xùn)練集的樣本數(shù)據(jù)和GM(1,1,t2)的擬合結(jié)果，利用公式（14）和逆自然對數(shù)轉(zhuǎn)換可計算出2019—2020年的擬合結(jié)果，經(jīng)馬爾可夫鏈修正后的GM(1,1,t2)模型的RPE 絕對值均小于GM(1,1,t2)，預(yù)測精度得到進一步提升。具體結(jié)果如表3、表4所示。

表3 帶二次時間冪項的灰色馬爾可夫模型預(yù)測結(jié)果

表4 四種模型的預(yù)測精度比較

2.2 預(yù)測精度檢驗

從表3 和表4 可以看出，首先，經(jīng)馬爾可夫鏈修正后的GM(1,1,t2)預(yù)測模型無論是RPE（相對誤差），還是MAPE（平均絕對誤差百分比）檢驗以及RMSE（均方根誤差）檢驗，均一致優(yōu)于其他三種模型，這說明在對單位產(chǎn)值能耗對數(shù)值lnA的預(yù)測中，帶時間二次冪項的灰色馬爾可夫模型預(yù)測精度最高，整體上優(yōu)于其他三種灰色預(yù)測模型。其次是GM(1,1,t2)模型，預(yù)測精度最差的是GM(1,1,t)，在訓(xùn)練集年份MAPE 超過了20%，測試集年份MAPE 則高達60.91%，從擬合度和變化態(tài)勢上均與現(xiàn)實情況存在明顯偏差，這說明其不適宜用來對中國歷年單位產(chǎn)值能耗變化進行擬合預(yù)測。

2.3 預(yù)測結(jié)果與分析

分別應(yīng)用上述四個模型對2021 年反映中國單位產(chǎn)值能耗對數(shù)值進行預(yù)測，利用逆自然對數(shù)變換為標準預(yù)測值，并匯總測試集2019—2020年的預(yù)測結(jié)果以便于比較，具體如表5所示。

表5 2021年中國單位產(chǎn)值能耗預(yù)測值（單位：t/萬元）

灰色GM(1,1,t2)模型預(yù)測曲線與中國單位產(chǎn)值能耗原始數(shù)據(jù)的趨勢大致相同，可以較好地擬合中國單位產(chǎn)值能耗的變化態(tài)勢。帶時間二次冪項的灰色馬爾可夫模型通過轉(zhuǎn)移概率矩陣對灰色GM(1,1,t2)模型進行修正，得到了更為接近真實值的結(jié)果。按照預(yù)測精度=1-| |RPE的計算公式，其在2019 和2020 年的預(yù)測精度進一步提升至98.67%和99.15%。這表明了所提出的預(yù)測方法的科學(xué)性和合理性。同時，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)可以合理預(yù)測2021 年中國單位產(chǎn)值能耗為1.805 8 t/萬元。

3 結(jié)語

本文提出了一種新的帶時間冪次項的灰色馬爾可夫預(yù)測模型?；谥袊?995—2020 年單位產(chǎn)值能耗數(shù)據(jù)序列進行了數(shù)值預(yù)測，并與傳統(tǒng)灰色GM(1,1)模型和帶時間冪次項的灰色GM(1,1,tα)(α=1,2)模型進行了比較分析。實驗結(jié)果發(fā)現(xiàn)：第一，在灰色模型中，帶時間二次冪項的GM(1,1,t2)的預(yù)測精度最高，擬合曲線趨勢與實際情況較為吻合，預(yù)測效果最好；其實是灰色GM(1,1)模型；帶時間一次冪項的GM(1,1,t)模型預(yù)測值嚴重偏離真實值，預(yù)測效果最差。第二，在灰色GM(1,1,t2)模型預(yù)測的基礎(chǔ)上，借助馬爾可夫鏈在無后效性事件預(yù)測上的優(yōu)勢，利用轉(zhuǎn)移概率矩陣對GM(1,1,t2)的預(yù)測結(jié)果進行修正，修正后精度得到進一步提升，能更準確預(yù)測中國能源強度的變化趨勢，據(jù)此估計未來一年中國單位產(chǎn)值能耗數(shù)值。

總體來說，帶時間冪次項的灰色馬爾可夫模型集成了灰色GM(1,1,tα)模型，在有限樣本下的預(yù)測性能和非指數(shù)變化規(guī)律刻畫能力，以及馬爾可夫鏈針對預(yù)測結(jié)果的校準能力。根據(jù)樣本序列指數(shù)或非指數(shù)變動規(guī)律的問題特征選擇時間最優(yōu)冪次項，并利用馬爾可夫鏈對預(yù)測結(jié)果進行校正以縮小其偏差，這使其預(yù)測精度更高且應(yīng)用場景更為廣泛。但需要指出的是，對單位產(chǎn)值能耗的中長期預(yù)測中，通常會受到更多不確定因素的影響。在實踐過程中，有必要在該模型基礎(chǔ)上適當附加其他條件，以彌補單一數(shù)據(jù)序列的缺陷，提高中長期預(yù)測的準確性。